2023年高考數(shù)學(xué)第09講 二次函數(shù)的最值

第09講二次函數(shù)的最值-配方法的運(yùn)用

一、知識(shí)聚焦

二次型函數(shù)通常是指可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，求這類(lèi)函數(shù)的最值，通常用配方法,

但是必須結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)性加以討論求解,配方法在高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣

泛.如三角函數(shù)中的最值問(wèn)題，解析幾何中與圓錐曲線(xiàn)相關(guān)的最值問(wèn)題以及不等式的證明中，

配方法的作用至關(guān)重要.

1配方目標(biāo)的確定性

配方目標(biāo)的確定性:出現(xiàn)平方式,但出現(xiàn)怎樣的平方式又具有靈活性，所以配方途徑又是

多向的.

2配方對(duì)象的多樣性

配方對(duì)象的多樣性不排除對(duì)更高次數(shù)多項(xiàng)式的配方.數(shù)、字母具體的數(shù)學(xué)式、抽象的函

數(shù)關(guān)系等都可以進(jìn)行配方.

3配方后必須注重問(wèn)題的細(xì)節(jié)

任何一種解題方法的應(yīng)用都有其適用范圍，配方法也不例外,求二次型函數(shù)的最值必須把

相應(yīng)簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)討論，不應(yīng)竟目擴(kuò)大或縮小方法的使用范圍，不要忽視問(wèn)題中的

約束條件.

二、精講與訓(xùn)練

3

【核心例題1】已知函數(shù)/(x)=o?+(2a_i)x-3在區(qū)間-：,2上的最大值為1,求“的值.

解題策略求解含參二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域或最值問(wèn)題，需首先討論二次項(xiàng)系數(shù)的符

號(hào)，經(jīng)配方后再討論對(duì)稱(chēng)軸的范圍,最后結(jié)合圖像來(lái)求解.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正，即二次函數(shù)圖像

開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值有2種情況，可通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)

系而求得;最小值分3種情況，可對(duì)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)3種情況分類(lèi)討論求解.

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，即二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下時(shí)的討論亦類(lèi)似,讀者自行總結(jié)其解題規(guī)律.

【解】：(i)當(dāng)。=0時(shí),/(幻=一》一3.

.?函數(shù)/(幻在區(qū)間一g,2上單調(diào)遞減,；./(幻1Tm=/(-1)=一^x1.不符合題意，舍

去.

(ii)當(dāng)a>0時(shí)=-(2fl-lr-3.

I2aJ4Q

3個(gè)

2a-1一廣22

若-二,§Pa..-,/(x)max=〃2)=85=1.

2a25

3

解得。=7符合題意.

若一/即0<*/（尤）2=/（一：）=—；&一'=1解得.=一￥（舍去）

2a2512J423

（iii）當(dāng)a<0時(shí),/（x）=a[x+網(wǎng)口]一坦上匕—3,若—即二L.2,則a.」,與a<0矛盾.

I2aJ4a2a6

若一三一一1則a..T時(shí)，/（X）max==1?解得"-?舍去）?若

2a212/423

32a—1（^-3=

-5（-H<2,—皿=

4a

-g-3+20—--3-272

解得a=（舍去），或a=.

3-3-2\/2

綜上可得a=:,或a=一~一.

42

【變式訓(xùn)練1】函數(shù)/（乃=/+奴+3.

(1)當(dāng)x€R時(shí),/(x)..a恒成立，求a的范圍.

(2)當(dāng)xG[-2,2]時(shí)J(x).”恒成立，求C的范圍.

變式訓(xùn)練2已知a為實(shí)數(shù)函數(shù)/(x)=x2+|x-a|+l,xeR.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)求函數(shù)/(x)的最小值.

|yJ、

【核心例題2】⑴已知2二256且log?x...-，求函數(shù)f(x)=log2-?log應(yīng)行的最大值和最

小直

53「4一

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)丁=5由2工+。以)S%+7。一彳在0,—上的最大值為1?若

822_

存在，求出對(duì)應(yīng)的a值;若不存在，說(shuō)明理由.

【解題策略】第⑴問(wèn)為求對(duì)數(shù)函數(shù)的最大值和最小值.由于/(x)可以通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)

于Iog2X的二次型函數(shù)，可以運(yùn)用配方法求解，但首先應(yīng)由兩個(gè)條件不等式的限制求出10g2X

的取值方國(guó)，在此范國(guó)內(nèi)求最值.第⑵問(wèn),可利用二次型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，對(duì)于含參

數(shù)的問(wèn)題要注意討論所有可能的情況.

【解】（1油2\,256得%,8,則1082%,3,即；別082%3.

2

3

f(x)=log?'log點(diǎn)學(xué)=(log2x-l)(log2x-2)=log2%-31og2x+2=x——

2一『

當(dāng)log2X=g,即X=2正時(shí)J(x)min=-；

當(dāng)log2X=3,即X=23=8時(shí),/(X)max=2.

函數(shù)/⑺的最大值為2,最小值為1

a25

(2)y=<1-COS"2X+6TCOSX+-J6Z--D=-|COSX--U+一+一。

482

當(dāng)0,—時(shí)處OSX1.

2

53

?1?若彳>1,即。>2,則當(dāng)cosx=l時(shí),y=a+-a--^\.

21raxo2

20

解得a=—<2（舍去）；

若嵌與1，即噴打2，則當(dāng)COSX=—時(shí),Pmax=1+弓--~.

3

解得。=5得。=~4<0（舍去）；

若?<0,即a<0,則當(dāng)85%=（）時(shí),%政=7。-彳=1，解得。='7'>°（舍去）,綜上可知，存

2825

3

在。=5符合題設(shè).

【變式訓(xùn)練1]⑴函數(shù)/（x）=log2五-log&（2x）的最小值為.

⑵已知a>0,6>0,"=8,當(dāng)a的值為時(shí),log?a-log2(2Z?)取得最大值.

一.sin%+sina+l

【變式訓(xùn)練2］求函數(shù)y=-----：-----^的最值.

cos-a-sina-3

【核心例題3］如圖9-1所示，已知拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)為。(0,0)，焦點(diǎn)為尸(0,1).

⑴求拋物線(xiàn)。的方程.

⑵過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn),若直線(xiàn)AO、B。分別交直線(xiàn)/:y=x-2于M,N兩

點(diǎn)，求|MN|的最小值

圖9-1

圖9一1

【解題策略】本例是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系的探究，求最值問(wèn)題一般可用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合

方程理論,建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.通常所得函數(shù)解析式較為復(fù)

雜.可運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，通過(guò)配方求最值.求解時(shí)要注意新元的取值范圍.

【解】(1)由題意可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為x2=2py(p>0)，則g=l,p=2,:.拋物線(xiàn)C的方

程為f=4y.

(2)設(shè)A(x,%),8(打必)，直線(xiàn)AB的方程為y=去+1.

y=kx+L…、

由《消去y,整理得x——4=0,.二七+々=44,玉%1=—4,從而

口二4乂

|.￥|-x91—+1

由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與=：^=3L<=/_

v-x2為一XX—五4一%

[y-x-Z,X4

Q

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)4=^一.

4-X2

.?,IMN|=V2同-/1=&----------=872---------工廠(chǎng)%、=8'2迎一+1

一七

44-X2X}X2—4(^+X2)+1614Z:—31

令4Z—3=r,rwO,則后=彳，當(dāng)。＞0時(shí)，|削|=2血小卷+5+1＞20,當(dāng)「＜0時(shí),

1MN|=2&J'+|j+*|立

綜上所述，當(dāng)/=—g,即％=-1時(shí)MN|的最小值為：JL