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文檔簡介
第09講二次函數(shù)的最值-配方法的運用
一、知識聚焦
二次型函數(shù)通常是指可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù),求這類函數(shù)的最值,通常用配方法,
但是必須結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對稱性加以討論求解,配方法在高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣
泛.如三角函數(shù)中的最值問題,解析幾何中與圓錐曲線相關(guān)的最值問題以及不等式的證明中,
配方法的作用至關(guān)重要.
1配方目標(biāo)的確定性
配方目標(biāo)的確定性:出現(xiàn)平方式,但出現(xiàn)怎樣的平方式又具有靈活性,所以配方途徑又是
多向的.
2配方對象的多樣性
配方對象的多樣性不排除對更高次數(shù)多項式的配方.數(shù)、字母具體的數(shù)學(xué)式、抽象的函
數(shù)關(guān)系等都可以進(jìn)行配方.
3配方后必須注重問題的細(xì)節(jié)
任何一種解題方法的應(yīng)用都有其適用范圍,配方法也不例外,求二次型函數(shù)的最值必須把
相應(yīng)簡單函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來討論,不應(yīng)竟目擴(kuò)大或縮小方法的使用范圍,不要忽視問題中的
約束條件.
二、精講與訓(xùn)練
3
【核心例題1】已知函數(shù)/(x)=o?+(2a_i)x-3在區(qū)間-:,2上的最大值為1,求“的值.
解題策略求解含參二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域或最值問題,需首先討論二次項系數(shù)的符
號,經(jīng)配方后再討論對稱軸的范圍,最后結(jié)合圖像來求解.當(dāng)二次項系數(shù)為正,即二次函數(shù)圖像
開口向上時,函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值有2種情況,可通過討論對稱軸與區(qū)間中點的位置關(guān)
系而求得;最小值分3種情況,可對對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)3種情況分類討論求解.
當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù),即二次函數(shù)圖像開口向下時的討論亦類似,讀者自行總結(jié)其解題規(guī)律.
【解】:(i)當(dāng)。=0時,/(幻=一》一3.
.?函數(shù)/(幻在區(qū)間一g,2上單調(diào)遞減,;./(幻1Tm=/(-1)=一^x1.不符合題意,舍
去.
(ii)當(dāng)a>0時=-(2fl-lr-3.
I2aJ4Q
3個
2a-1一廣22
若-二,§Pa..-,/(x)max=〃2)=85=1.
2a25
3
解得。=7符合題意.
若一/即0<*/(尤)2=/(一:)=—;&一'=1解得.=一¥(舍去)
2a2512J423
(iii)當(dāng)a<0時,/(x)=a[x+網(wǎng)口]一坦上匕—3,若—即二L.2,則a.」,與a<0矛盾.
I2aJ4a2a6
若一三一一1則a..T時,/(X)max==1?解得"-?舍去)?若
2a212/423
32a—1(^-3=
-5(-H<2,—皿=
4a
-g-3+20—--3-272
解得a=(舍去),或a=.
3-3-2\/2
綜上可得a=:,或a=一~一.
42
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)/(乃=/+奴+3.
(1)當(dāng)x€R時,/(x)..a恒成立,求a的范圍.
(2)當(dāng)xG[-2,2]時J(x).”恒成立,求C的范圍.
變式訓(xùn)練2已知a為實數(shù)函數(shù)/(x)=x2+|x-a|+l,xeR.
⑴當(dāng)a=2時,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.
(2)求函數(shù)/(x)的最小值.
|yJ、
【核心例題2】⑴已知2二256且log?x...-,求函數(shù)f(x)=log2-?log應(yīng)行的最大值和最
小直
53「4一
(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)丁=5由2工+。以)S%+7。一彳在0,—上的最大值為1?若
822_
存在,求出對應(yīng)的a值;若不存在,說明理由.
【解題策略】第⑴問為求對數(shù)函數(shù)的最大值和最小值.由于/(x)可以通過對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為關(guān)
于Iog2X的二次型函數(shù),可以運用配方法求解,但首先應(yīng)由兩個條件不等式的限制求出10g2X
的取值方國,在此范國內(nèi)求最值.第⑵問,可利用二次型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解,對于含參
數(shù)的問題要注意討論所有可能的情況.
【解】(1油2\,256得%,8,則1082%,3,即;別082%3.
2
3
f(x)=log?'log點學(xué)=(log2x-l)(log2x-2)=log2%-31og2x+2=x——
2一『
當(dāng)log2X=g,即X=2正時J(x)min=-;
當(dāng)log2X=3,即X=23=8時,/(X)max=2.
函數(shù)/⑺的最大值為2,最小值為1
a25
(2)y=<1-COS"2X+6TCOSX+-J6Z--D=-|COSX--U+一+一。
482
當(dāng)0,—時處OSX1.
2
53
?1?若彳>1,即。>2,則當(dāng)cosx=l時,y=a+-a--^\.
21raxo2
20
解得a=—<2(舍去);
若嵌與1,即噴打2,則當(dāng)COSX=—時,Pmax=1+弓--~.
3
解得。=5得。=~4<0(舍去);
若?<0,即a<0,則當(dāng)85%=()時,%政=7。-彳=1,解得。='7'>°(舍去),綜上可知,存
2825
3
在。=5符合題設(shè).
【變式訓(xùn)練1]⑴函數(shù)/(x)=log2五-log&(2x)的最小值為.
⑵已知a>0,6>0,"=8,當(dāng)a的值為時,log?a-log2(2Z?)取得最大值.
一.sin%+sina+l
【變式訓(xùn)練2]求函數(shù)y=-----:-----^的最值.
cos-a-sina-3
【核心例題3]如圖9-1所示,已知拋物線。的頂點為。(0,0),焦點為尸(0,1).
⑴求拋物線。的方程.
⑵過點F作直線交拋物線于A,B兩點,若直線AO、B。分別交直線/:y=x-2于M,N兩
點,求|MN|的最小值
圖9-1
圖9一1
【解題策略】本例是直線與圓錐曲線關(guān)系的探究,求最值問題一般可用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合
方程理論,建立目標(biāo)函數(shù),然后運用求函數(shù)最值的方法確定最值.通常所得函數(shù)解析式較為復(fù)
雜.可運用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型,通過配方求最值.求解時要注意新元的取值范圍.
【解】(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則g=l,p=2,:.拋物線C的方
程為f=4y.
(2)設(shè)A(x,%),8(打必),直線AB的方程為y=去+1.
y=kx+L…、
由《消去y,整理得x——4=0,.二七+々=44,玉%1=—4,從而
口二4乂
|.¥|-x91—+1
由解得點M的橫坐標(biāo)與=:^=3L<=/_
v-x2為一XX—五4一%
[y-x-Z,X4
Q
同理點N的橫坐標(biāo)4=^一.
4-X2
.?,IMN|=V2同-/1=&----------=872---------工廠%、=8'2迎一+1
一七
44-X2X}X2—4(^+X2)+1614Z:—31
令4Z—3=r,rwO,則后=彳,當(dāng)。>0時,|削|=2血小卷+5+1>20,當(dāng)「<0時,
1MN|=2&J'+|j+*|立
綜上所述,當(dāng)/=—g,即%=-1時MN|的最小值為:JL
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