適用于老高考舊教材廣西專版2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1部分思想方法研析指導(dǎo)三數(shù)形結(jié)合思想課件文

三、數(shù)形結(jié)合思想第一部分內(nèi)容索引0102思想方法?聚焦詮釋高頻考點(diǎn)?探究突破03預(yù)測(cè)演練?鞏固提升思想方法?聚焦詮釋高考命題聚焦數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,在高考試題中,數(shù)形結(jié)合思想主要用于解選擇題和填空題,有直觀、簡(jiǎn)單、快捷等特點(diǎn);而在解答題中,考慮到推理論證的嚴(yán)密性,圖形只是輔助手段,最終要用“數(shù)”寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.思想方法詮釋1.數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.它包含兩個(gè)方面:(1)“以形助數(shù)”,把抽象問(wèn)題具體化,這主要是指用幾何的方法去解決代數(shù)或三角問(wèn)題;(2)“以數(shù)解形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確,這主要是指用代數(shù)或三角的方法去解決幾何問(wèn)題.2.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍、研究方程根的范圍、研究量與量之間的大小關(guān)系.(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式.(3)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題.(4)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題.(5)構(gòu)建方程模型,求根的個(gè)數(shù).3.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的渠道(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng);(2)函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng);(3)曲線與方程的對(duì)應(yīng);(4)以幾何元素及幾何條件為背景,通過(guò)坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的對(duì)應(yīng),如復(fù)數(shù)、三角、空間點(diǎn)的坐標(biāo)等.高頻考點(diǎn)?探究突破命題熱點(diǎn)一利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【思考】

如何利用函數(shù)圖象解決函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題?例1若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)=x1,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是(

)A.3 B.4C.5 D.6A解析:由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,可知關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程f'(x)=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,則方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,即f(x)=x1或f(x)=x2,原方程根的個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)方程f(x)=x1和f(x)=x2的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)之和,若x1<x2,作y=x1,y=x2與f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn),如圖①.即方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有三個(gè)不同的實(shí)根.若x1>x2,如圖②,同理方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有三個(gè)不同實(shí)根.題后反思

因?yàn)榉匠蘤(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)和g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以用數(shù)形結(jié)合的思想討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù),其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí),需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)),然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知λ∈R,函數(shù)f(x)=當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0的解集是

.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則λ的取值范圍是

.

(1,4)(1,3]∪(4,+∞)當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.當(dāng)x<2時(shí),f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.綜上可知,1<x<4,即f(x)<0的解集為(1,4).分別畫(huà)出y1=x-4和y2=x2-4x+3的圖象如圖,由函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象可知1<λ≤3或λ>4.故λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).命題熱點(diǎn)二利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍及解不等式【思考】

如何利用函數(shù)圖象解決不等式問(wèn)題?函數(shù)的哪些性質(zhì)與函數(shù)圖象的哪些特征聯(lián)系密切?D題后反思

在解含有參數(shù)的不等式時(shí),由于涉及參數(shù),往往需要討論,導(dǎo)致演算過(guò)程煩瑣冗長(zhǎng).如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系,那么利用數(shù)形結(jié)合的方法,問(wèn)題將會(huì)簡(jiǎn)練地得到解決.(1)解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題,往往可以避免煩瑣的運(yùn)算,獲得簡(jiǎn)捷的解答.(2)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降;奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性;最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2022廣西浦北中學(xué)高三檢測(cè))已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f'(x)=-f(x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),f(0)=0,若不等式f(x)-k>0的解集中恰有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)D所以[f(x)+f'(x)]ex=1,即[exf(x)]'=1,設(shè)g(x)=exf(x)=x+c(c為常數(shù)),令x=0,可得c=0,令f'(x)>0,可得f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增,令f'(x)<0,可得f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,命題熱點(diǎn)三利用數(shù)形結(jié)合求最值、值域(范圍)【思考】

如何利用圖形求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域?∴x2+ax+2b<0,依題意x2+ax+2b<0只有唯一的整數(shù)解x=1,∴方程x2+ax+2b=0的一根在區(qū)間[0,1)內(nèi),另一根在(1,2]內(nèi),即函數(shù)f(x)=x2+ax+2b的圖象與x軸在區(qū)間[0,1)和(1,2]內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn).題后反思

1.首先畫(huà)出滿足條件的圖形區(qū)域,然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)(或所求量的幾何意義),轉(zhuǎn)化為距離或直線的斜率、截距等.2.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題,即所謂的幾何法求解,比較常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)有:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d),則a+b+c+d的取值范圍是

.

解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,依題意,1≤m<2,不妨設(shè)a<b≤0<c<d,由圖象可知,a+b=-2,-log2c-1=m,log2d+1=m,所以c=2-(1+m),d=2m-1,令g(m)=c+d=2-(1+m)+2m-1,1≤m<2,則當(dāng)m∈[1,2)時(shí),g'(m)=[2m-1-2-(1+m)]ln

2>0,所以函數(shù)g(m)在區(qū)間[1,2)上單調(diào)遞增,命題熱點(diǎn)四數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用【思考】

數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中有哪些方面的應(yīng)用?例4已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),D解析:設(shè)A,B在l上的射影分別為Q,P,則點(diǎn)N為PQ的中點(diǎn).設(shè)|AF|=a,|BF|=b,連接AQ,BP,畫(huà)出草圖如圖所示.由拋物線的定義,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,由點(diǎn)M,N分別為線段AB,PQ的中點(diǎn),得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,題后反思

在解析幾何中的一些范圍及最值問(wèn)題中,常根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合幾何概念進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換,使問(wèn)題得到簡(jiǎn)便快捷的解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2022廣西南寧二中高三檢測(cè))已知雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,M為雙曲線C的一條漸近線上一點(diǎn),延長(zhǎng)FM交y軸于點(diǎn)N,直線AM經(jīng)過(guò)ON(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的中點(diǎn)B,且|ON|=2|BM|,則雙曲線C的離心率為(

)A.2 B.C.3 D.4A解析:設(shè)雙曲線C的焦距為2c.因?yàn)閨ON|=2|BM|,且|OB|=|BN|,所以∠BOM=∠BMO,∠BMN=∠BNM.所以NF⊥OM.所以|OM|=|OA|=a.所以∠BMO=∠BAO,所以∠BOM=∠BAO,所以Rt△AOB≌Rt△OMN,所以∠ABO=∠ONM.又因?yàn)椤螹NB=∠NMB,∠ABO=∠NBM,所以△MNB為等邊三角形,所以∠FNO=60°,預(yù)測(cè)演練?鞏固提升1.已知0<a<1,則方程a|x|=|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析:作出函數(shù)y=a|x|,y=|logax|的圖象,由圖象可知,兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),故方程有2個(gè)實(shí)根.2.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的最大值為(

)A.7 B.6C.5 D.4B解析:畫(huà)出示意圖如圖所示,則圓心C(3,4),半徑r=1,且|AB|=2m.因?yàn)椤螦PB=90°,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值為6.3.(2022廣西北海模擬)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)A.(0,1) B.(-∞,1)C.(0,1] D.(0,+∞)A解析:當(dāng)x<2時(shí),函數(shù)f(x)=(x-1)3單調(diào)遞增,函數(shù)值取值集合是(-∞,1),當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=單調(diào)遞減,函數(shù)值取值集合是(0,1],關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn),在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=k和函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖.由圖可知,當(dāng)0<k<1時(shí),直線y=k和函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),