2023-2024年新高考數(shù)學一輪復習培優(yōu)教案5.2《平面向量基本定理及坐標表示》 (原卷版)

頁第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.與向量線性運算相結合，考查平面向量基本定理及其應用，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標表示相結合，考查向量的線性運算，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．3．與向量的坐標表示相結合，考查向量共線，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，則3a－2b＝()A．(－7,7)B．(－3，－2)C．(6,2)D．(4，－3)3．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.二、易錯點練清1.如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．1D．－12．已知A(－5,8)，B(7,3)，則與向量eq\o(AB,\s\up7(→))反向的單位向量為________．3．給出下列三個向量：a＝(－2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，c＝(－1,1)，在這三個向量中任意取兩個作為一組，能構成基底的組數(shù)為________．考點一平面向量基本定理及其應用[典例](1)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(EC,\s\up7(→))，F(xiàn)為AE的中點，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))(2)如圖，在△ABC中，點D是邊BC上任意一點，M是線段AD的中點，若存在實數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2[方法技巧]平面向量基本定理的實質及解題思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．[針對訓練]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)2．在△ABC中，點P是AB上一點，且eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又eq\o(CM,\s\up7(→))＝teq\o(CP,\s\up7(→))，則t的值為________．考點二平面向量的坐標運算[典例](1)已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，則eq\o(CO,\s\up7(→))的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))(2)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1B．2C．3D．4[方法技巧]平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．[針對訓練]1．(多選)已知點A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3))D．(7,9)2．如圖所示的平面直角坐標系中，網格中小正方形的邊長為1，若向量a，b，c滿足c＝xa＋yb，且(ka－b)·c＝0，則eq\f(x＋y,k)＝________.考點三平面向量共線的坐標表示[典例](1)已知O為坐標原點，點A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為________．[方法技巧](1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．[針對訓練]1．設向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則m＋n的最大值為()A．－3B．－2C．2D．32．平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法數(shù)形結合——建立平面直角坐標系，將幾何圖形問題轉化成坐標運算，根據(jù)需要選擇一個點作為坐標原點，兩條互相垂直的直線為x軸、y軸，使題目中的其他點都便于表達，這樣將向量運算坐標化，轉化為代數(shù)運算．[典例]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2[名師微點]本題先通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后用三角函數(shù)的知識求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐標運算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了坐標法的優(yōu)勢．[應用體驗]1.如圖所示，原點O是△ABC內一點，頂點A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(μ,λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)2.如圖，在正方形ABCD中，P為DC邊上的動點，設向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(DB,\s\up7(→))＋μeq\o(AP,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為________．二、創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向1．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)2.如圖，將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對的直角邊重合，若eq\o(DB,\s\up7(→))＝xeq\o(DC,\s\up7(→))＋yeq\o(DA,\s\up7(→))，則x，y等于()A．x＝eq\r(3)，y＝1B．x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3)C．x＝2，y＝eq\r(3)D．x＝eq\r(3)，y＝1＋eq\r(3)3．(多選)如圖1，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點A，B是“六芒星”(如圖2)的兩個頂點，動點P在“六芒星”上(內部以及邊界)，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，則x＋y的取值可能是()A．－6B．1C．5D．9eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1．已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，則點N的坐標為()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)2．已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與eq\o(AB,\s\up7(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝()A.eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，F(xiàn)是線段DC上的點．若DC＝3DF，設eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b二、綜合練——練思維敏銳度1．已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則eq\f(m,n)＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－2D．22．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)3.如圖，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))＝3eq\o(CE,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)aB.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內一點，且∠DAB＝60°，設eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．3D．2eq\r(3)5．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))－neq\o(OB,\s\up7(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up7(→))|的最小值為()A.eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5)D．eq\r(10)6．在△OAB中，若點C滿足eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝()A.eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9)D．eq\f(9,2)7.如圖，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(4,3)B．eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．28．在△ABC中，點D是AC上一點，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝4eq\o(AD,\s\up7(→))，P為BD上一點，向量eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ>0，μ>0)，則eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為()A．16B．8C．4D．29.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點D，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，則m＋n的取值范圍是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若滿足a∥b，且方向相同，則x＝________.11．如圖，設Ox，Oy是平面內相交成45°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量eq\o(OP,\s\up7(→))＝xe1＋ye2，則把有序數(shù)對(x，y)叫做向量eq\o(OP,\s\up7(→))在坐標系xOy中