四川省綿陽市三臺(tái)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬理科數(shù)學(xué)試卷（一）

三臺(tái)中學(xué)2021級(jí)高三上期一診模擬試題（一）數(shù)學(xué)命題人：楊欽嵐審題人：李曉鳳陳新宇本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.1.設(shè)全集，集合，，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解.【詳解】∵，，由此可知，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，即判斷這兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù).【詳解】解：對(duì)于A，，與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不相同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)；對(duì)于C，兩函數(shù)的定義域都是，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故兩函數(shù)為相同函數(shù)；對(duì)于D，，與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同函數(shù).故選：C.3.如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算【詳解】.故選：B4.已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)所要求的式子，又由于，所以過定點(diǎn)，進(jìn)一步結(jié)合題意可以求出與有關(guān)的三角函數(shù)值，最終代入求值即可.【詳解】又因?yàn)?，，，故原?;又過定點(diǎn),所以，代入原式得原式=.故選：.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可得的最小正周期和最小值點(diǎn)，根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.【詳解】設(shè)的最小正周期為，可知，即，且當(dāng)時(shí)，取到最小值，由周期性可知：與最近的最大值點(diǎn)為，如圖所示，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：D.6.下列5個(gè)命題：①“，”的否定；②是的必要條件；③“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的逆命題；④“若，則”的否命題；⑤是無理數(shù)，是無理數(shù).其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.以上答案都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】寫出命題的否定即可判斷①，根據(jù)必要條件的定義判斷②，寫出逆命題判斷③，寫出否命題判斷④，利用特殊值判斷⑤.【詳解】對(duì)于①“，”的否定為“，”，顯然為真命題；對(duì)于②：由能推得出，故是的充分條件，是的必要條件，故②為真命題，對(duì)于③：“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的逆命題為：若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)，當(dāng)，時(shí)滿足是偶數(shù)，但是，都是奇數(shù)，故③是假命題；對(duì)于④：“若，則”的否命題為“若，則”，由則且，故④為真命題；對(duì)于⑤：是無理數(shù)，是無理數(shù)，為假命題，如為無理數(shù)，但是為有理數(shù)，故⑤為假命題.故選：B7.“碳達(dá)峰”，是指二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后開始下降；而“碳中和”，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值a（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放量S（億噸）與時(shí)間t（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過5年，二氧化碳的排放量為（億噸）．已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，能抵消自產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要能實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過多少年？（參考數(shù)據(jù)：）（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，令，代入，等式兩邊取，結(jié)合估算即可.【詳解】由題意，，即，令，即，故，即，可得，即.故選：C8.若，滿足對(duì)任意，都有成立，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在各段單調(diào)遞減，且斷點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值.【詳解】因?yàn)?，滿足對(duì)任意，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，則，解得，即的取值范圍是.故選：C9.南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有一個(gè)如圖所示的“三角垛”問題，在“三角垛”的最上層放有一個(gè)球，第二層放有3個(gè)球，第三層放有6個(gè)球，……依此規(guī)律，其相應(yīng)的程序框圖如圖所示.若輸出的的值為56，則程序框圖中①處可以填入（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)及執(zhí)行邏輯寫出執(zhí)行步驟，結(jié)合輸出結(jié)果確定條件即可.【詳解】第一次循環(huán)：，不滿足輸出條件，；第二次循環(huán)：，不滿足輸出條件，；第三次循環(huán)：，不滿足輸出條件，；第四次循環(huán)：，不滿足輸出條件，；第五次循環(huán)：，不滿足輸出條件，；第六次循環(huán)：，滿足輸出條件，退出循環(huán)．所以判斷框中的條件可填入“”．故選：D10.數(shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的周期性，根據(jù)特殊值求的值，再根據(jù)函數(shù)的解析式，代入求值.【詳解】為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即，所以函數(shù)的周期為4，由，令，易得，，解得，當(dāng)時(shí)，.故選：A12.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根（），則的最小值為（）A. B.16 C. D.17【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的大致圖象，可知，由與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可得，計(jì)算求得的值即可得的范圍，根據(jù)可得與的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，所以，若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卡的橫線上.13.已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】【分析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值.【詳解】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】8【解析】【分析】作出可行域，通過平行確定的最大值.【詳解】如圖，作出不等式組所表示平面區(qū)域，聯(lián)立方程，解得，即，由，即表示斜率，橫截距為的直線，通過平移可得當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，橫截距最大，即最大，故.故答案為：8.15.函數(shù)的值域?yàn)開____________．【答案】【解析】【分析】利用通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.【詳解】令，，則，即，所以，又因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?16.已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性求解不等式作答.【詳解】令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，由為偶函數(shù)，得，即函數(shù)是奇函數(shù)，于是在R上單調(diào)遞減，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：每小題12分，共60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)由得,作差得,進(jìn)而得,故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得，故，再根據(jù)裂項(xiàng)求和證明即可.【詳解】解：（1）因?yàn)棰?，所以②由①②得?兩邊同時(shí)加1得，所以，故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.（2）令，，則.由，得.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以所?【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．18.已知向量，，函數(shù)．（1）求的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間．（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得周期和遞增區(qū)間；（2）利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得的值域.【小問1詳解】由已知，，，再令，解得，即的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，，的值域?yàn)?19.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】由三角形的內(nèi)角和定理得，此時(shí)就變?yōu)椋烧T導(dǎo)公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時(shí)就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進(jìn)一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，，因?yàn)楣驶蛘撸鶕?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，則．因?yàn)椋?，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知的面積．因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，過點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．由題設(shè)及（1）知的面積，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以點(diǎn)C位于線段上且不含端點(diǎn)，從而，即，即，所以，故面積的取值范圍是．【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；方法二：將面積問題轉(zhuǎn)化為邊長的問題，然后求解邊長的范圍可得面積的范圍；方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對(duì)幾何有深刻的認(rèn)識(shí)和靈活的應(yīng)用.20.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求曲線過點(diǎn)的切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得在恒成立，利用參變分離可得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求；（2）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得斜率為，利用點(diǎn)斜式得，代入點(diǎn)求解．【小問1詳解】，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以恒成立，即在上恒成立令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，．設(shè)切線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率則切線方程為將點(diǎn)代入，得整理得構(gòu)建，則令，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增則因?yàn)楹愠闪?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以方程的根為或當(dāng)時(shí)，所求切線方程為當(dāng)時(shí)，所求切線方程為21.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊睿?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按