2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案8.5《雙曲線(xiàn)》 (原卷版)

頁(yè)第五節(jié)雙曲線(xiàn)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，求軌跡方程及焦點(diǎn)三角形，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線(xiàn))，考查求相關(guān)量的計(jì)算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．集合P＝{M|||MF1|﹣|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線(xiàn)；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在．2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≤﹣a或x≥a，y∈Ry≤﹣a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(﹣a,0)，A2(a,0)A1(0，﹣a)，A2(0，a)漸近線(xiàn)y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線(xiàn)段A1A2是雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線(xiàn)段B1B2是雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a是雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b是雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3．常用結(jié)論(1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為b.(2)若P是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.(3)等軸雙曲線(xiàn)①定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)．②性質(zhì)：a＝b；e＝eq\r(2)；漸近線(xiàn)互相垂直；等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．(4)共軛雙曲線(xiàn)①定義：如果一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線(xiàn)互為共軛雙曲線(xiàn)．②性質(zhì)：它們有共同的漸近線(xiàn)；它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)x2﹣eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝()A．5B．3C．7D．3或72.雙曲線(xiàn)2x2﹣y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)3．若雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,m)﹣y2＝1(m>0)的一條漸近線(xiàn)方程為3x＋2y＝0，則實(shí)數(shù)m＝()A.eq\f(4,9)B．eq\f(9,4)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)4．以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_________．5．若雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，﹣4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________________．2．已知雙曲線(xiàn)x2﹣eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________．3．以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為eq\f(π,3)，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．考點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義及其應(yīng)用考法(一)利用定義求軌跡方程[例1]已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x﹣3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)___________________．考法(二)求解“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題[例2]已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：x2﹣y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8考法(三)利用定義求最值[例3]已知F是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線(xiàn)右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______．[方法技巧]雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用(1)判定滿(mǎn)足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線(xiàn)方程．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|﹣|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[提醒]在應(yīng)用雙曲線(xiàn)定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線(xiàn)，還是雙曲線(xiàn)的一支，若是雙曲線(xiàn)的一支，則需確定是哪一支．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知點(diǎn)O(0,0)，A(﹣2,0)，B(2,0)．設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|﹣|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點(diǎn)，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2)B．eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D．eq\r(10)2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：x2﹣eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2考點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例](1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝1有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程是()A.eq\f(x2,18)﹣eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,18)﹣eq\f(x2,12)＝1D．eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,18)＝1(2)已知曲線(xiàn)C的方程為eq\f(x2,k2－2)﹣eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)k＝8時(shí)，曲線(xiàn)C為橢圓，其焦距為4＋eq\r(15)B．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，其離心率為eq\r(3)C．存在實(shí)數(shù)k，使得曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)D．當(dāng)k＝3時(shí)，曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)與圓(x﹣4)2＋y2＝9相切[方法技巧]待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的5種類(lèi)型類(lèi)型一與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類(lèi)型二若已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝﹣eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類(lèi)型三與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)﹣eq\f(y2,b2＋k)＝1(﹣b2＜k＜a2)類(lèi)型四過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)類(lèi)型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)﹣eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)[針對(duì)訓(xùn)練]1．雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為(﹣3,0)，且C的離心率為eq\f(3,2)，則C的方程為()A.eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,5)＝1B．eq\f(y2,5)﹣eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,4)＝12．設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線(xiàn)為l.若C的一條漸近線(xiàn)與l平行，另一條漸近線(xiàn)與l垂直，則雙曲線(xiàn)C的方程為()A.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,4)＝1B．x2﹣eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣y2＝1D．x2﹣y2＝1考點(diǎn)三雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)考法(一)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程[例1](1)已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±xD．y＝±2x(2)已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,3)﹣y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4[方法技巧]涉及雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的幾個(gè)常用結(jié)論(1)求雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.(2)已知漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．[提醒]兩條漸近線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)．考法(二)求雙曲線(xiàn)的離心率[例2](1)若雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)與圓(x﹣3)2＋y2＝1無(wú)交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))(2)已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．若eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，則C的離心率為_(kāi)_______．[方法技巧]1．求雙曲線(xiàn)的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2﹣a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．(3)因?yàn)殡x心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡(jiǎn)化計(jì)算．(4)通過(guò)特殊位置求出離心率．2．雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)的斜率k與離心率e的關(guān)系：當(dāng)k>0時(shí)，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當(dāng)k<0時(shí)，k＝﹣eq\f(b,a)＝﹣eq\r(e2－1).考法(三)與雙曲線(xiàn)有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題[例3]已知M(x0，y0)是雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,2)﹣y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))[方法技巧]1．求解與雙曲線(xiàn)有關(guān)的范圍(或最值)問(wèn)題的方法(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解．(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線(xiàn)的范圍(或最值)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問(wèn)題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解．(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解．2．解決與雙曲線(xiàn)有關(guān)的范圍(或最值)問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)(1)雙曲線(xiàn)上本身就存在最值問(wèn)題，如異支雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)間的最短距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng))．(2)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，常用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問(wèn)題，有時(shí)也用雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題．(3)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離的最值解法同(2)所述，或用平行切線(xiàn)法．(4)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，求相關(guān)式子(目標(biāo)函數(shù))的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，或根據(jù)平面幾何知識(shí)，或引入一個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決．(5)由直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，求直線(xiàn)或雙曲線(xiàn)中某個(gè)參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來(lái)求解．(6)所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線(xiàn)自變量范圍的影響．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(2))，且漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為eq\f(x2,3)﹣y2＝1B．C的離心率為eq\r(3)C．曲線(xiàn)y＝ex﹣2﹣1經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)D．直線(xiàn)x﹣eq\r(2)y﹣1＝0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)2．已知直線(xiàn)l：y＝kx＋2過(guò)雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與圓x2＋y2＝8交于點(diǎn)M，N，若|MN|≥2eq\r(5)，則雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\r(6)]B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))D．[eq\r(6)，＋∞)3．已知F為雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為_(kāi)_______．4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，若eq\f(3|PF2|,|PF1|2＋a·|PF2|)的最大值為eq\f(1,3a)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率的取值范圍為_(kāi)_______．一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法求雙曲線(xiàn)離心率的方法方法(一)直接法[例1]下列曲線(xiàn)中，離心率為eq\f(\r(6),2)的是()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,6)＝1D．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,10)＝1[名師微點(diǎn)]利用已知條件直接求出a，c的值，代入離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．方法(二)利用漸近線(xiàn)方程[例2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．[名師微點(diǎn)]根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與離心率之間的關(guān)系，可以利用漸近線(xiàn)方程中的eq\f(b,a)確定雙曲線(xiàn)的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).方法(三)利用雙曲線(xiàn)的定義[例3]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．[名師微點(diǎn)]雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)A與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，結(jié)合直角三角形的屬性和雙曲線(xiàn)的定義，建立關(guān)系即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．方法(四)利用關(guān)于a，c的齊次方式[例4]已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)F作垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2))D．(1,1＋eq\r(2))[名師微點(diǎn)]根據(jù)題意建立a，c之間的關(guān)系，結(jié)合e＝eq\f(c,a)建立關(guān)于e的一元二次方程或不等式求解．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1.一種畫(huà)雙曲線(xiàn)的工具如圖所示，長(zhǎng)桿OB通過(guò)O處的鉸鏈與固定好的短桿OA連接，取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，一端固定在點(diǎn)A，另一端固定在點(diǎn)B，套上鉛筆(如圖所示)．作圖時(shí)，使鉛筆緊貼長(zhǎng)桿OB，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖M(長(zhǎng)桿OB繞O轉(zhuǎn)動(dòng))，畫(huà)出的曲線(xiàn)即為雙曲線(xiàn)的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，細(xì)繩長(zhǎng)為8，則所得雙曲線(xiàn)的離心率為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)2．(多選)對(duì)于漸近線(xiàn)方程為x±y＝0的雙曲線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是()A．實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等B．離心率是eq\r(2)C．過(guò)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)相等D．頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)與焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離的比值為eq\r(2)3.青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一．如圖是一個(gè)落地青花瓷，其外形稱(chēng)為單葉雙曲面，且它的外形上下對(duì)稱(chēng)，可看成是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的最小直徑為16cm，瓶口直徑為20cm，瓶高20cm，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．雙曲線(xiàn)eq\f(x2,2)﹣y2＝1的實(shí)軸長(zhǎng)為()A．4B．2C．2eq\r(3)D．2eq\r(2)2．雙曲線(xiàn)eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝1的漸近線(xiàn)方程為()A．y＝±eq\f(1,2)xB．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±2x3．已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線(xiàn)方程為eq\r(3)x±y＝0，則b＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．124．設(shè)雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為4，一條漸近線(xiàn)為y＝eq\f(1,2)x，則雙曲線(xiàn)C的方程為()A.eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝15．若a＞1，則雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)6．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是________．二、綜合練——練思維敏銳度1．若實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足0＜k＜9，則曲線(xiàn)eq\f(x2,25)﹣eq\f(y2,9－k)＝1與曲線(xiàn)eq\f(x2,25－k)﹣eq\f(y2,9)＝1的()A．離心率相等B．虛半軸長(zhǎng)相等C．實(shí)半軸長(zhǎng)相等D．焦距相等2．設(shè)雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于B,C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(2),2)C．±1D．±eq\r(2)3．已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，eq\r(2))，則△APF周長(zhǎng)的最小值為()A．4(1＋eq\r(2))B．4＋eq\r(2)C．2(eq\r(2)＋eq\r(6))D．eq\r(6)＋3eq\r(2)4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(5)，從雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F引漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線(xiàn)C的方程為()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,8)＝1B．eq\f(x2,4)﹣y2＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)x＝a與雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于D，E兩點(diǎn)．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．326．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線(xiàn)l的傾斜角為eq\f(π,3)，且C的一個(gè)焦點(diǎn)到l的距離為eq\r(3)，則雙曲線(xiàn)C的方程為()A.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,3)﹣y2＝1D．x2﹣eq\f(y2,3)＝17．雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,4)8．(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，則下列說(shuō)法正確的是()A．|F2P|＝bB．雙曲線(xiàn)的離心率為eq\r(3)C．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\r(3)xD．點(diǎn)P在直線(xiàn)x＝eq\f(\r(3),3)a上9．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P，Q，若△POQ為直角三角形，則|PQ