適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)?？夹☆}點課件

?？夹☆}點小題點1集合、常用邏輯用語必備知識?精要梳理1.集合(1)A∪B={x|x∈A,或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};?UA={x|x∈U,且x?A};A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B.(2)含有n(n∈N*)個元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n-1,2n-2.

子集包括空集和其本身規(guī)律方法若已知的集合是不等式的解集形式,則用數(shù)軸求解;若已知的集合是點集形式,則用數(shù)形結(jié)合法求解;若已知的集合是抽象集合形式,則用Venn圖求解.2.常用邏輯用語(1)若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若p?q,則p是q的充要條件.(2)充要條件的三種判斷方法:①定義法;②集合法;③等價轉(zhuǎn)化法.名師點析判斷充分條件、必要條件時要注意三點(1)弄清先后順序.“A的充分不必要條件是B”和“A是B的充分不必要條件”是不一樣的.(2)善于舉反例.當不便從正面判斷或證明一個命題的真假時,可以通過舉恰當?shù)姆蠢齺碚f明.(3)注意合理轉(zhuǎn)化.?p是

?q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件,等等.(3)“?x∈M,p(x)”的否定為“?x∈M,?p(x)”;“?x∈M,p(x)”的否定為“?x∈M,?p(x)”.考向訓(xùn)練?限時通關(guān)熱點小題1

集合1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則?U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2}

C.{3,4} D.{1,2,3,4}A解析

(方法一)因為M∪N={1,2,3,4},所以?U(M∪N)={5}.(方法二)因為?UM={3,4,5},?UN={1,2,5},所以?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={5}.2.(2023·新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},則M∩N=(

)A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2}C解析

由題意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞).又M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故選C.3.(2023·廣東江門一模)已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-1∈A,m-1?A},則集合B中所有元素之和為(

)A.0 B.1C.-1 D.CD5.已知全集U=A∪B=(0,4],A∩(?UB)=(2,4],則集合B=(

)A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2)C解析

因為U=A∪B=(0,4],A∩(?UB)=(2,4],所以B=?U(A∩(?UB))=(0,2].6.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

)A.? B.S C.T D.Z解析

當n=2k,k∈Z時,s=4k+1,k∈Z;當n=2k+1,k∈Z時,s=4k+3,k∈Z,所以T?S,故S∩T=T.C7.已知集合A={(x,y)|x+y=8,x∈N*,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},則A∩B的真子集個數(shù)為(

)A.3 B.6

C.7

D.8解析

依題意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中滿足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3個元素,故其真子集有23-1=7(個).C8.設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=(

)A.-4 B.-2C.2 D.4B9.(2023·廣東深圳一模)滿足{0,1}∪X={x∈R|x3=x}的集合X共有(

)個.A.1 B.2

C.3

D.4D解析

方程x3=x的實數(shù)根有0,1,-1,所以方程x3=x的實數(shù)根構(gòu)成的集合為{0,1,-1},故{0,1}∪X={0,1,-1},則符合題意的集合X有X={-1},X={1,-1},X={0,-1},X={0,1,-1},共4個.10.(2023·廣東一模)已知集合M={x|x(x-2)<0},N={x|x-1<0},則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是(

)B解析

x(x-2)<0?0<x<2,x-1<0?x<1,則M={x|0<x<2},N={x|x<1}.選項A中Venn圖中陰影部分表示M∩N=(0,1),不符合題意;選項B中Venn圖中陰影部分表示?M(M∩N)=[1,2),符合題意;選項C中Venn圖中陰影部分表示?N(M∩N)=(-∞,0],不符合題意;選項D中Venn圖中陰影部分表示M∪N=(-∞,2),不符合題意.11.某班45名學(xué)生參加“3·12”植樹節(jié)活動,每位學(xué)生都參加除草、植樹兩項勞動.依據(jù)勞動表現(xiàn),評定為“優(yōu)秀”“合格”2個等級,結(jié)果如下表:項目等級合計優(yōu)秀合格除草301545植樹202545若在兩項勞動中都“合格”的學(xué)生最多有10人,則在兩項勞動中都“優(yōu)秀”的學(xué)生最多為(

)人.A.5 B.10

C.15

D.20C解析

用集合A表示除草優(yōu)秀的學(xué)生,B表示植樹優(yōu)秀的學(xué)生,全班學(xué)生用全集U表示,則?UA表示除草合格的學(xué)生,則?UB表示植樹合格的學(xué)生,作出Venn圖如圖所示.設(shè)兩個項目都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為x,兩個項目都合格的學(xué)生人數(shù)為y,由圖可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因為ymax=10,所以xmax=10+5=15.熱點小題2

充分條件與必要條件12.p:x2-x-2<0”是“q:0<x<1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析

x2-x-2<0?-1<x<2,所以pq,q?p.故p是q的必要不充分條件.BA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件B14.(2023·天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析

由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以a2=b2,故必要性成立;又當a=1,b=-1時,滿足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.故選B.15.“l(fā)n(x+1)<0”的一個必要不充分條件是(

)A.-1<x<- B.x>0C.-1<x<0 D.x<0D解析

ln(x+1)<0等價于0<x+1<1,即-1<x<0.因為-1<x<0可以推出x<0,而x<0不能推出-1<x<0,所以“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分條件,所以“l(fā)n(x+1)<0”的一個必要不充分條件是“x<0”.16.(2023·新高考Ⅰ,7)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:

為等差數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C17.“?x>0,a≤x+”的充要條件是(

)A.a>2 B.a≥2C.a<2 D.a≤2D18.已知p:x2-3x+2≤0,q:x2-4x+4-m2≤0.若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-∞,0]

B.[1,+∞)C.{0}

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)D熱點小題3

全稱量詞與存在量詞19.已知命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1,則?p為(

)A.?x≤0,使得(x+1)ex≤1B.?x>0,使得(x+1)ex≤1C.?x>0,總有(x+1)ex≤1D.?x≤0,總有(x+1)ex≤1B解析

因為命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1是全稱量詞命題,所以其否定為存在量詞命題,即?p:?x>0,使得(x+1)ex≤1.20.(2023·廣東汕頭高三期末)已知集合A={x|x≥0},集合B={x|x>1},則以下命題為真命題的是(

)A.?x∈A,使x∈B

B.?x∈B,使x?AC.?x∈A,都有x∈B

D.?x∈B,都有x?AA解析

由題知,集合A={x|x≥0},集合B={x|x>1},所以B是A的真子集,所以?x∈A,使x∈B或?x∈A,使x?B或?x∈B,都有x∈A.故只有A選項符合要求.21.(2023·廣西桂林中山模擬)若命題p:?x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3≤0是假命題,則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(1,7) B.[1,7) C.(-7,1) D.(-7,1]B解析

因為命題“?x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3≤0”是假命題,所以命題“?x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3>0”是真命題,若k2-1=0,則k=1或k=-1.當k=1時,不等式(k2-1)x2+4(1-k)x+3>0化為3>0,恒成立,滿足題意;當k=-1時,不等式(k2-1)x2+4(1-k)x+3>0化為8x+3>0,不恒成立,不滿足題意;若k2-1≠0,則需要滿足解得1<k<7.綜上所述,實數(shù)k的取值范圍是[1,7).小題點2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式必備知識?精要梳理1.不等式的性質(zhì)對于不等式a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd.2.基本不等式(2)在利用基本不等式求最值時,要通過“拆”“拼”“湊”等技巧來滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.誤區(qū)警示多次使用基本不等式求最值,要注意只有同時滿足等號成立的條件才能取得等號,若等號不成立,一般利用函數(shù)的單調(diào)性求解.3.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(1)二次函數(shù)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其圖象是以直線x=-為對稱軸的拋物線;頂點式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)為頂點坐標;零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為函數(shù)f(x)的零點.(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個不等實根分別為x1,x2,則

(3)求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集,先求其對應(yīng)一元二次方程的根,再結(jié)合其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式的解集.名師點析解一元二次不等式的步驟:一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù)),二判(判斷判別式Δ的符號),三解(解對應(yīng)的一元二次方程),四寫(大于取兩邊,小于取中間).規(guī)律方法解含有參數(shù)的一元二次不等式,往往從以下幾個方面分類討論:(1)二次項系數(shù),它決定二次函數(shù)圖象的開口方向;(2)判別式Δ,決定一元二次方程根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況;(3)在有根的條件下,要比較兩根的大小.4.恒成立與能成立問題已知f(x)有最大值和最小值.(1)恒成立問題的轉(zhuǎn)化:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(2)能成立問題的轉(zhuǎn)化:a≥f(x)能成立?a≥f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.考向訓(xùn)練?限時通關(guān)熱點小題1

不等式的性質(zhì)與基本不等式1.已知a,b∈R,且a>b,則下列各式成立的是(

)B解析

由題意a,b∈R,且a>b,若a=1,b=-1,則

,故選項A中不等式不成立;因為函數(shù)y=x3在定義域R上單調(diào)遞增,所以a3>b3,故選項B中不等式成立;若b=0,則ab=b2=0,故選項C中不等式不成立;若a=1,b=-1,則2|a|=2|b|,故選項D中不等式不成立.2.已知x>0,y>0,2x+3y=1,則4x+8y的最小值是(

)C3.某公司購買一批機器投入生產(chǎn),若每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間t(單位:年,t∈N*)的關(guān)系為s=-t2+23t-64,要使年平均利潤最大,則每臺機器的運轉(zhuǎn)時間t為(

)年.A.5 B.6

C.7

D.8解析

因為每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間t(單位:年,t∈N*)的關(guān)系為s=-t2+23t-64,所以年平均利潤D4.(多選題)已知a,b,c,d均為實數(shù),則下列命題為真命題的是(

)A.若a>b,c>d,則ac>bdBC5.(多選題)(2023·廣東深圳中學(xué)模擬)已知a,b都是正實數(shù),則下列不等式恒成立的是(

)AC6.能夠說明“若a,b,m均為正數(shù),則”是假命題的一組整數(shù)a,b的值可以是

.

答案

a=1,b=1(答案不唯一)

7.已知a>1,b>0,且a+2b=4,則ab的最大值為

;的最小值為

.

23當且僅當a=2b,即a=2,b=1時等號成立.由a+2b=4,可得a-1+2b=3.熱點小題2

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)8.若函數(shù)f(x)=x2-6x-16的定義域為[0,m],值域為[-25,-9],則實數(shù)m的取值集合是(

)A.{m|3≤m≤6} B.{m|3≤m≤7}C.{m|6≤m≤7} D.{7}D解析

由題意,得y=x2-6x-16=(x-3)2-25,即函數(shù)y=x2-6x-16的圖象關(guān)于直線x=3對稱,且當x=3時,函數(shù)取得最小值-25.因為f(x)的定義域為[0,m],值域為[-25,-9],f(0)=-16,所以m>3.令f(x)=-9,即x2-6x-16=-9,解得x=-1(舍去)或x=7.故m=7.9.(2023·四川眉山診斷)“函數(shù)f(x)=x2-3mx+18在區(qū)間(0,3)內(nèi)不單調(diào)”是“0<m<2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C10.已知函數(shù)f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若對于任意實數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(1,9) B.(3,+∞)C.(-∞,9) D.(0,9)D解析

當m<0時,二次函數(shù)f(x)=mx2-(3-m)x+1的圖象開口向下,g(x)=mx單調(diào)遞減,故存在x,使得f(x)與g(x)同時為負,不符合題意.當m=0時,f(x)=-3x+1,g(x)=0顯然不符合題意.當m>0時,方程f(x)=mx2-(3-m)x+1=0的根的判別式Δ=m2-10m+9:若Δ<0,則1<m<9,f(x)>0恒成立,符合題意;若Δ=0,則m=1或m=9,當m=1時f(x)=(x-1)2,g(x)=x,符合題意,若Δ>0,則0<m<1或m>9.f(0)=1,如圖,若要f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù),則必須有

>0,故0<m<1.綜上可得,實數(shù)m的取值范圍為(0,9).11.已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正,且對于任意實數(shù)x恒有f(3+x)=f(3-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),則實數(shù)x的取值范圍是

.

答案

(-2,0)

解析

因為f(3+x)=f(3-x),所以直線x=3是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸.因為二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正,所以f(x)在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因為1-2x2≤1,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,所以由f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得1-2x2>1+2x-x2,解得-2<x<0.故實數(shù)x的取值范圍為(-2,0).12.已知當x∈(0,+∞)時,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是

.

解析

令3x=t,當x∈(0,+∞)時,t∈(1,+∞).由題意,得f(t)=t2-mt+m+1>0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,即函數(shù)f(t)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的圖象在x軸的上方,而判別式Δ=(-m)2-4(m+1)=m2-4m-4,熱點小題3

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的綜合13.若?x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-3) B.(-∞,0)C.(-∞,1) D.(-3,+∞)C解析

因為?x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,所以?x∈[-1,2],使得不等式a<-x2+2x成立.令f(x)=-x2+2x.因為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=1,且f(x)的圖象開口向下,所以當x∈[-1,2]時,f(x)max=f(1)=1,所以a<1.14.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(ac≠0).若f(x)<0的解集為(-1,m),則下列說法正確的是(

)A.f(m-1)<0

B.f(m-1)>0C.f(m-1)必與m同號

D.f(m-1)必與m異號解析

因為f(x)<0的解集為(-1,m),所以-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的兩個實數(shù)根,且a>0,m≠0,所以f(x)=a(x+1)(x-m),所以f(m-1)=-am與m必異號.D15.知當a∈[-1,1]時,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則實數(shù)x的取值范圍為(

)A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)C解析

不等式x2+(a-4)x+4-2a>0(a∈[-1,1])恒成立,即關(guān)于a的函數(shù)f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,當a∈[-1,1]時,f(a)>0恒成立,16.(2023·天津,15)若函數(shù)f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為

.

答案

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

小題點3復(fù)數(shù)、平面向量必備知識?精要梳理1.復(fù)數(shù)(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法運算法則與實數(shù)運算法則相同,除法的運算就是分母實數(shù)化.即分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)及平面向量

一一對應(yīng),|z-(a+bi)|=r(r,a,b∈R,且r>0)表示復(fù)平面內(nèi)以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓.(3)復(fù)數(shù)的幾個常見結(jié)論

名師點析1.復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵.2.利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時,a,b,c,d∈R是前提條件.2.平面向量(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)為非零向量,且a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,則a∥b?存在唯一一個實數(shù)λ,使a=λb?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.(3)平面內(nèi)三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.名師點析在平面向量的化簡與運算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,注意向量的方向不能盲目轉(zhuǎn)化.3.三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則有下面的結(jié)論.考向訓(xùn)練?限時通關(guān)熱點小題1

復(fù)數(shù)及其運算

1.(2022·新高考Ⅱ,2)(2+2i)(1-2i)=(

)A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2iD解析

(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i.故選D.2.(2023·廣東佛山一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)2z=5-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C3.(2023·河北唐山模擬)已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)i2023,i是虛數(shù)單位,則|z|=(

)B4.(2022·新高考Ⅰ,2)若i(1-z)=1,則z+=(

)A.-2 B.-1 C.1

D.2DACC8.(多選題)已知復(fù)數(shù)z1=

(i為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是(

)A.z1對應(yīng)的點在第三象限B.z1的虛部為-1D.滿足|z|=|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心,2為半徑的圓上

ABAC10.(多選題)設(shè)z為復(fù)數(shù),則下列說法正確的是(

)A.|z|2=z

B.z2=|z|2C.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2

D.若|z-1|=1,則0≤|z|≤2ACD對于D,由|z-1|=1可知,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點N的軌跡為以M(1,0)為圓心,1為半徑的圓,則|z|表示點N到原點的距離,故當點O,N(O為坐標原點)重合時,|z|=0最小,當O,M,N三點共線且點O,N位于點M兩側(cè)時,|z|=2最大,故0≤|z|≤2.對于B,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,當a,b均不為0時,z2=|z|2不成立;對于C,由|z|=1可知,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡為以O(shè)(0,0)為圓心,1為半徑的圓,|z+i|可以看成點Z到點Q(0,-1)的距離,當點Z位于點(0,1)處時,|z+i|取得最大值2;11.寫出一個虛數(shù)z,使得z2+3為純虛數(shù),則z=

.

答案

1+2i(答案不唯一)

解析

設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+3=a2-b2+3+2abi,因為z2+3為純虛數(shù),所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不為零的實數(shù)a,求出b即可得,答案不唯一,如z=1+2i.答案

2

熱點小題2

平面向量的概念及線性運算

13.如圖,向量a-b=(

)A.e1-3e2 B.e1+3e2C.-3e1+e2 D.-e1+3e2D14.已知a,b是兩個不共線的非零向量,若(2a+3b)∥(3a+λb),則實數(shù)λ=(

)A解析

因為(2a+3b)∥(3a+λb),3a+λb≠0,所以存在t∈R,使得2a+3b=t(3a+λb),所以(2-3t)a=(tλ-3)b,又因為a,b是兩個不共線的非零向量,15.(2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則實數(shù)t=(

)A.-6 B.-5C.5 D.6C16.(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n

D.2m+3nB解析

如圖.17.(多選題)給出下列四個命題,其中為真命題的有(

)A.若|a|=|b|,則a=bB.若A,B,C,D是不共線的四點,則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C.若a=b,b=c,則a=cD.a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥bBC18.如圖,不共線的三個向量a,b,c以圓心O為起點,終點落在同一圓周上,且兩兩夾角相等,若c=xa+yb,則x+y=(

)A解析

如圖,因為不共線的三個向量a,b,c以圓心O為起點,終點落在同一圓周上,且兩兩夾角相等,所以順次連接三個向量的終點A,B,C組成一個等邊三角形,即O是這個等邊三角形的中心也是重心.故有a+b+c=0?a+b+xa+yb=0?(x+1)a+(y+1)b=0?x=-1,y=-1?x+y=-2.熱點小題3

平面向量基本定理及坐標表示

19.(多選題)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則(

)A.(a+b)⊥aB.|a+2b|=5C.a·b=5ABD解析

對于A,∵a+b=(-1,2),∴(a+b)·a=(-1)×2+2×1=0,∴(a+b)⊥a.故選項A正確.對于B,∵a+2b=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3),A21.(多選題)已知O為坐標原點,點P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則(

)AC22.已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=

.

23.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=

.

解析

由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=.24.已知向量a=(,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,則向量b的坐標可以是

.(寫出一個即可)

熱點小題4

平面向量的數(shù)量積25.(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),則(

)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1D解析

方法一:由題意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故選D.方法二:由題意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故選D.A.-9 B.-6

C.6

D.9AC29.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,則向量a-b和b的夾角為

.-10小題點4排列、組合、二項式定理必備知識?精要梳理混合問題一般是先分類再分步

1.兩個計數(shù)原理與排列組合(1)兩個計數(shù)原理區(qū)分“分類”與“分步”,關(guān)鍵是看事件完成情況:若每種方法都能將事件完成,則是分類;若必須連續(xù)若干步才能將事件完成,則是分步.分類要用分類加法計數(shù)原理將種數(shù)相加,分步要用分步乘法計數(shù)原理將種數(shù)相乘.名師點析對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題,通常從三個途徑考慮(1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.(2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件,計算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).(2)排列、組合問題的求解方法與技巧①特殊元素優(yōu)先安排;②合理分類,準確分步;③排列、組合混合問題先選后排;④相鄰問題捆綁處理,不相鄰問題插空處理;⑤定序問題“縮倍法”處理;⑥分排問題直排處理;⑦“小集團”排列問題先整體后局部;⑧構(gòu)造模型;⑨正難則反,等價條件.2.排列數(shù)與組合數(shù)

乘積形式多用于數(shù)字計算,階乘形式多用于證明恒等式

規(guī)定0!=1.3.二項式定理

注意通項是展開式的第k+1項,不是第k項

名師點析應(yīng)用二項式定理時要注意(1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”,項的系數(shù)與a,b有關(guān),可正可負,二項式系數(shù)只與n有關(guān),恒為正.(2)運用通項求展開式的一些特殊項,通常都是由題意列方程求k,再求所需的某項;有時需先求n,計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和,常賦的值為0,±1.(4)在化簡求值時,注意二項式定理的逆用,要用整體思想看待a,b.考向訓(xùn)練?限時通關(guān)熱點小題1

兩個計數(shù)原理1.為控制污染,保護環(huán)境,節(jié)約資源,某市開始實行生活垃圾分類管理.某單位有4個垃圾桶,分別是可回收物垃圾桶、有害垃圾桶、廚余垃圾桶、其他垃圾桶.因為場地限制,要將這4個垃圾桶擺放在3個固定角落,每個角落至少擺放1個,則不同的擺放方法共有(如果某兩個垃圾桶擺放在同一角落,它們的前后左右位置關(guān)系不作考慮)(

)A.18種

B.24種

C.36種

D.72種C解析

根據(jù)題意,將4個垃圾桶放到3個固定角落,其中有一個角落放兩個垃圾桶,先選出2個垃圾桶,有

=6種選法,之后與另2個垃圾桶分別放在3個不同的角落有

種放法;所以不同的擺放方法共有

=6×6=36種.2.(2023·山東師大附中模擬)從6個黃色球和4個藍色球中任取4個,則至少有兩個藍色球的取法種數(shù)是(

)A.90 B.120

C.114

D.115D3.數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲.數(shù)獨的一個簡化版如圖所示,由三行三列9個單元格構(gòu)成.玩該游戲時,需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格,每個單元格填1個數(shù)字,要求每一行、每一列均有1,2,3這3個數(shù)字,則不同的填法有(

)A.12種

B.24種

C.72種

D.216種

A解析

先填第一行,有3×2×1=6種不同填法,再填第二行第一列,有2種不同填法,當該單元格填好后,其他單元格唯一確定.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有6×2=12種不同的填法.4.某新聞機構(gòu)安排4名記者和3名攝影師進行采訪,其中2名記者和1名攝影師負責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪,另2名記者和2名攝影師分兩組(每組記者和攝影師各1人),分別負責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場采訪.如果所有記者、攝影師都能承擔3個采訪區(qū)域的相應(yīng)工作,則所有不同的安排方案有(

)A.36種

B.48種C.72種

D.144種C解析

根據(jù)題意,分3步進行分析:①在4名記者中任選2人,在3名攝影師中選出1人,安排到“云采訪”區(qū)域采訪,有

=18種情況;②在剩下的2名記者中選出1人,2名攝影師中選出1人,安排到“汽車展區(qū)”采訪,有

=4種情況;③將最后的1名記者和1名攝影師,安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪,有1種情況.則共有18×4×1=72種不同的安排方案.5.(2023·山東濰坊一模)我國載人航天事業(yè)突飛猛進,其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項,連續(xù)5天完成,且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試,超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試,則選拔測試的安排方案種數(shù)為(

)A.24 B.36C.48 D.60B6.某市要將VR大會展廳前的廣場進行改造,在人行道(斑馬線)兩側(cè)劃分5塊區(qū)域(如圖),現(xiàn)有4種不同顏色的花卉,要求每塊區(qū)域隨機種植1種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的區(qū)域)所選花卉顏色不能相同,則不同的種植方式共有

種.

答案

288解析

根據(jù)題意,對于區(qū)域①②,可以在4種顏色中任選2種,有

=12種選法;對于區(qū)域③④⑤,可以在4種顏色中任選3種,有

=24種選法,則不同的種植方式有12×24=288種.熱點小題2

排列組合7.(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有(

)A.12種

B.24種

C.36種

D.48種B8.某中學(xué)舉行“十八而志,青春萬歲”成人禮,現(xiàn)在需要從4個語言類節(jié)目和6個歌唱類節(jié)目中各選2個節(jié)目進行展演,則語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B至少有1個被選中的不同選法種數(shù)是(

)A.15 B.45 C.60

D.75解析

從4個語言類節(jié)目和6個歌唱類節(jié)目中各選2個節(jié)目進行展演有

=90種選法,語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B都沒有被選中有

=30種選法,所以語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)有90-30=60.C9.(2023·山東菏澤一模)為了迎接“第32屆菏澤國際牡丹文化旅游節(jié)”,某宣傳團體的六名工作人員需要制作宣傳海報,每人承擔一項工作,現(xiàn)需要一名總負責(zé),兩名美工,三名文案,但甲、乙不參與美工,丙不能書寫文案,則不同的分工方法種數(shù)為(

)A.9 B.11

C.15

D.30C10.(2023·河北石家莊一模)為推進體育教學(xué)改革和發(fā)展,提升體育教學(xué)質(zhì)量中豐富學(xué)校體育教學(xué)內(nèi)容,某市根據(jù)各學(xué)校工作實際,在4所學(xué)校設(shè)立兼職教練崗位.現(xiàn)聘請包含甲、乙在內(nèi)的6名教練去這4所學(xué)校指導(dǎo)體育教學(xué),要求每名教練只能去一所學(xué)校,每所學(xué)校至少有一名教練,則甲、乙分在同一所學(xué)校的不同的安排方法種數(shù)為(

)A.96 B.120

C.144

D.240D11.(2023·新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

6412.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成

種不同的音序.

答案

32

解析

①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時有2=24種音序;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)的音序;③若“角”在第二個或第四個位置上,則有2=8種音序