適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積課件

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積專題四內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.空間幾何體的表面積與體積公式

球的表面積恰好是球的大圓面積的4倍

名師點(diǎn)析柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系(S',S分別為上、下底面面積,h為高)易錯(cuò)警示正四面體一定是正三棱錐,但正三棱錐不一定是正四面體.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征B[例1-2]如圖,有一圓柱形的開口容器(下底面密封),其軸截面是邊長為2的正方形,P是BC的中點(diǎn),現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處,內(nèi)壁P處有一米粒,則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為

.

名師點(diǎn)析幾何體的表面展開及其應(yīng)用(1)圓錐、圓柱的側(cè)面展開圖分別為扇形和矩形,圓錐、圓柱的底面周長分別為扇形的弧長、矩形的一邊長,據(jù)此建立圓錐、圓柱基本量的聯(lián)系解決問題.(2)解決多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上與長度有關(guān)的最值問題時(shí),一般采用轉(zhuǎn)化法,即將表面展開化為平面圖形,通過“化折為直”或“化曲為直”來解決,注意展開前后哪些幾何量發(fā)生變化,哪些不變.對點(diǎn)練1(1)021·山東淄博二模)已知圓臺的上、下底面面積分別為4,16,則過該圓臺的母線的中點(diǎn),且平行于底面的平面截該圓臺,所得截面的面積為(

)A.10 B.8

C.9

D.8C(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點(diǎn),當(dāng)A1M+MC取最小值時(shí),B1M的長為(

)D突破點(diǎn)二空間幾何體的表面積[例2-1]國家游泳中心(水立方/冰立方)的設(shè)計(jì)靈感來源于威爾-弗蘭泡沫,威爾-弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn),開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正方形和2個(gè)正六邊形),已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn),且棱長為1,則該多面體的表面積是(

)C[例2-2](2023·廣東一模)已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為(

)C解析

設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r,高為h,圓錐的母線長為l.因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形,所以l=2r,方法總結(jié)求幾何體表面積的方法(1)對于簡單幾何體,常根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求表面積,有公式的可直接利用公式求解.(2)對于組合體,先弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組成形式,再求組合體的表面積.對點(diǎn)練2(1)(2023·湖南懷化模擬)如圖所示,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠ADC=135°,AB=3,CD=,AD=1,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為(

)C(2)(2023·甘肅蘭州診斷測試)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式,常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等,多見于亭閣式建筑,蘭州市著名景點(diǎn)三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu).某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分如圖所示,它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體,已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度(單位:dm)分別為2,6,4,正三棱柱各棱長均相等,則該結(jié)構(gòu)的表面積為(

)A突破點(diǎn)三空間幾何體的體積C[例3-2](2022·新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3C解析

由題意可得,此棱臺的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5

m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故該棱臺的體積≈1.4×109(m3),即增加的水量約為1.4×109

m3.故選C.方法總結(jié)求幾何體體積的基本方法(1)直接法:對于規(guī)則的幾何體,可利用相關(guān)公式直接計(jì)算求解.(2)割補(bǔ)法:對于不規(guī)則的幾何體,可將其分割成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計(jì)算;也可把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計(jì)算.(3)轉(zhuǎn)換法:主要用于求三棱錐(四面體)的體積,將三棱錐的頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使其底面的面積可求(或容易求),高可求(或容易求),從而代入公式求得體積.對點(diǎn)練3(1)(2023·福建莆田二模)某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實(shí)心模型.如圖,該模型的上部分是半球,下部分是圓臺.其中半球的體積為144πcm3,圓臺的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半.打印所用原料密度為1.5g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(

)(1.5π≈4.7)A.3045.6g B.1565.1gC.972.9g D.296.1gCB解析

如圖,將三棱錐P-AMN看作三棱錐A-PMN,即以A為頂點(diǎn),△PMN為底面的三棱錐,將三棱錐P-ABC看作三棱錐A-PBC,即以A為頂點(diǎn),△PBC為底面的三棱錐.突破點(diǎn)四與球有關(guān)的接切問題命題角度1

幾何體的外接球問題[例4-1](2023·湖南師大附中模擬)如圖所示,一個(gè)球內(nèi)接圓臺,已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,球的表面積為100π,則該圓臺的體積為(

)D解析

因?yàn)閳A臺外接球的表面積S=4πr2=100π,所以球的半徑r=5.設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為O2,O1,在上、下底面圓周上分別取點(diǎn)A,B,連接OO2,OO1,OA,OB,O2A,O1B,如圖.因?yàn)閳A臺上、下底面的半徑分別為3和4,所以|OB|=|OA|=5,|O1B|=4,|O2A|=3,A解析

如圖,在三棱錐P-ABC中,AB2+PA2=20=PB2,則PA⊥AB,同理PA⊥AC,而AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,方法總結(jié)求解多面體外接球問題的兩種思路(1)補(bǔ)形法:對于同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱互相垂直的錐體,側(cè)面為直角三角形,或正四面體,或?qū)饩嗟鹊乃拿骟w模型,可以還原到正方體或長方體中去求解;(2)確定球心法:到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心,借助某特殊底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑,列關(guān)系式求解即可.A(2)(2023·河南鄭州一模)已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積為

的球O的球面上,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為

.

2π命題角度2

幾何體的內(nèi)切球問題[例4-3]若在母線長為5,高為4的圓錐中挖去一個(gè)小球,則剩余部分的體積的最小值為

.

[例4-4](2023·廣東珠海模擬)半正多面體亦稱“阿基米德體”,“阿基米德多面體”是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成,其可由正四面體切割而成,如圖所示.已知MN=1,若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球,則該球表面積的最大值為

.解析

由題意知,當(dāng)球的表面積最大時(shí),該球的球心即為半正多面體所在正四面體的內(nèi)切球的球心,記球心為O',正四面體為P-ABC,取BC中點(diǎn)D,連接AD,PD,連接PO'并延長,交AD于E,如圖.名師點(diǎn)析求幾何體內(nèi)切球的半徑的常用方法(1)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,通過構(gòu)造直角三角形,利用平面知識求出內(nèi)切球的半徑.(2)利用體積分割求出內(nèi)切球的半徑.B解析

如圖,取AD的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)F,連接PE,EF,PF,則由平面PAD⊥平面ABCD,可知PE⊥平面ABCD,所以PE⊥EF.由題意及對稱性可知四棱錐P-ABCD內(nèi)可以放置的最大球的半徑即為Rt△PEF內(nèi)切圓的半徑.(2)(2023·湖