電磁場理論第3章

第三章

靜電場邊值問題的求解方法

§3.1唯一性定理§3.2鏡像法§3.3解析函數(shù)法§3.4分離變量法§3.5格林函數(shù)法本章目錄：場的分析方法回顧：直接積分法； 高斯定理（+迭加原理）。本章：在給定邊界條件下求解泊松方程?！?.1唯一性定理

§3.1唯一性定理

0

0意義：指出了解唯一的條件；給求解方法提供了自由度（只需找到一個(gè)解滿足方程及邊界條件即可）。電位連續(xù)，C與i無關(guān)。

§3.1唯一性定理

§3.2鏡像法

一種嘗試方法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：唯一性定理。物理基礎(chǔ)：等效思想。利用反問題或逆問題答案的不唯一性。因果關(guān)系：例：等效電阻。求解區(qū)域外包括邊界上的電荷分布對求解區(qū)域內(nèi)場的貢獻(xiàn)：例：點(diǎn)電荷，球?qū)ΨQ分布電荷?！?.2鏡像法

§3.2鏡像法

鏡像法：

對求解區(qū)域內(nèi)具有相同貢獻(xiàn)或其產(chǎn)生的場與求解區(qū)域內(nèi)電荷分布產(chǎn)生的場迭加能滿足邊界條件的求解區(qū)域外及邊界上的電荷分布是不唯一的，有無數(shù)種可能的分布。鏡像法嘗試從上述分布中尋找一種簡單、便于計(jì)算的分布，替代原始問題中的實(shí)際分布。上述做法是否可行？通過能否滿足邊界條件進(jìn)行檢驗(yàn)！§3.2鏡像法

一、點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像設(shè)q>0x>0

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

注意事項(xiàng)：① 求解區(qū)域內(nèi)不能做任何改變；② 鏡像電荷分布必須位于求解區(qū)域之外或邊界上，即其產(chǎn)生的場在求解區(qū)域內(nèi)必須滿足拉普拉斯方程；③ 鏡像電荷分布不是唯一的；④ 解僅對求解區(qū)域x>0有效，鏡像電荷分布與求解區(qū)域之外和邊界上電荷的實(shí)際分布方式無關(guān)；⑤ 無限大接地導(dǎo)體前任意給定電荷分布所感應(yīng)的面電荷分布均可用鏡像電荷代替?！?.2鏡像法

【例】:

§3.2鏡像法

【例】:電偶極子的鏡像

接地平面以上

r>a

§3.2鏡像法

二、點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像

§3.2鏡像法

r>a

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

備注：若導(dǎo)體球改為導(dǎo)體球殼，結(jié)果仍然正確，只是此時(shí)感應(yīng)電荷量為球殼外表面的帶電量。并且，無論球殼內(nèi)部電荷如何分布，結(jié)果不變。接地對球殼內(nèi)外在電性能上起了隔離作用。

家用電器為何從安全角度考慮應(yīng)接地？【例】：孤立導(dǎo)體球，帶電量為Q，求電位分布。

1）先求解接地的情形r>a

r>a

r>a

§3.2鏡像法

【例】：孤立導(dǎo)體球殼，帶電量為Q，球內(nèi)有一點(diǎn)電荷q，其至球心的距離為d，求球內(nèi)外電位分布。

r<a

1）先求解球殼接地的情形§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

三、線電荷對無線長圓柱導(dǎo)體的鏡像§3.2鏡像法

r>a

r>a

§3.2鏡像法

問題的根源：本題已給定的邊界條件不足以使解唯一！四、點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)交界平面的鏡像§3.2鏡像法

等效思想：分區(qū)等效：§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

五、電容的計(jì)算【例】：同軸線，二同心導(dǎo)體球殼?！?.2鏡像法

§3.3解析函數(shù)法復(fù)位函數(shù)法保角變換法解析函數(shù)法

解平面場/柱形場問題

平面場： 點(diǎn)電荷→ 線電荷 曲線 → 曲面 面積→ 體積§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法保角變換：區(qū)域D內(nèi)單葉函數(shù)確定的變換。復(fù)變函數(shù)中區(qū)域D是一個(gè)開集，不包括邊界點(diǎn)。因此，保角變換的保角僅指區(qū)域內(nèi)部，不包括邊界點(diǎn)。例：Schwarz–Christoffel變換一、復(fù)位函數(shù)法解拉普拉斯方程§3.3解析函數(shù)法若f(z)解析u、v稱為調(diào)和函數(shù)。

復(fù)位函數(shù)法的基本思想：直接將某解析函數(shù)f(z)的實(shí)部或虛部作為滿足拉普拉斯方程的某靜電問題的解，但同時(shí)必須使其滿足靜電問題的邊界條件。此f(z)稱為此靜電問題的復(fù)位函數(shù)。

變換w=f(z) (Z) (W)

反變換z=f-1(w)

求解§3.3解析函數(shù)法二、保角變換法解泊松方程包括拉普拉斯方程?；舅枷耄河帽＝亲儞Q將復(fù)雜區(qū)域變?yōu)楹唵螀^(qū)域，在變換后的W平面上求解。由于保角變換為區(qū)域內(nèi)的一一對應(yīng)變換，W平面完成求解后再變回到Z平面?！?.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法若干初等函數(shù)的變換性質(zhì)：§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.4分離變量法

方程、邊界條件齊次或非齊次：“某一方向齊次”：該方向所有邊界條件均齊次。“某一方向非齊次”：該方向至少有一邊界條件 非齊次分離變量法要點(diǎn)：①

能直接求解的問題： 齊次方程 邊界條件僅在一個(gè)方向非齊次（I）

§3.4分離變量法

分離變量

齊次方向求特征值和特征解（利用齊次邊界條件）通解求解步驟：使通解滿足非齊次方向邊界條件解§3.4分離變量法

齊次方程一般非齊次邊界條件②（II）例：

根據(jù)迭加原理分解，將問題（II）轉(zhuǎn)化為問題（I）§3.4分離變量法

非齊次方程一般非齊次邊界條件

③

（III）根據(jù)迭加原理分解，將問題（III）轉(zhuǎn)化為問題（II）§3.4分離變量法

一、直角坐標(biāo)系中的分離變量法§3.4分離變量法

函數(shù)的選取：

xba§3.4分離變量法

【例】：求電位分布§3.4分離變量法

n=1n=3【pp.84-86，例3-5】二、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法§3.4分離變量法

(I)設(shè)θ方向齊次

§3.4分離變量法

p.86§3.4分離變量法

1、平面場：

§3.4分離變量法

2、z方向非齊次，ρ方向齊次：

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

3、z方向齊次，ρ方向非齊次：

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

【pp.89-90，例3-6】：求圓柱內(nèi)的電位?！?.4分離變量法

【pp.90-91，例3-7】：求此平面場的電位分布。

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

DDDDD邊緣處場的奇異性：指電場或磁場在導(dǎo)體或介質(zhì)邊緣處的奇異性。邊緣條件：邊緣任一有限鄰域電磁場的儲(chǔ)能為有限值。

說明：①②③避雷針原理§3.4分離變量法

【pp.91-92，例3-8】：求此平面場的電位分布。

p.91§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

p.92，圖3-19

三、球坐標(biāo)系中的分離變量法§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

1、軸對稱問題：§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

2、一般情況：

m=0,1,2,…

【pp.94-96，例3-8】：求電位分布?！?.4分離變量法

p.95§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

此題亦可用鏡像法求解。

分離變量法小結(jié)

§3.5格林函數(shù)法

一、基本思想及定義基本思想：先求點(diǎn)（線）電荷在齊次邊界條件下的電位，然后再求任意電荷分布、任意非齊次邊界條件下的電位。例：pp.104-105

DcAa二、格林函數(shù)法解邊值問題物理意義：§3.5格林函數(shù)法

§3.5格林函數(shù)法

三、格林函數(shù)法的求解方法

鏡像法保角變換法+鏡像法分離變量法§3.5格林函數(shù)法

【pp.105-106，例3-12】：求G1。

§3.5格林函數(shù)法

§3.5格林函數(shù)法

另一種分區(qū)方法。y方向齊次，x方向非齊次。

§3.5格林函數(shù)法

備注：僅為例題，直接用分離變量法求解更方便。

本章總結(jié)

總結(jié)電磁場分析方法簡要評述

解析方法優(yōu)點(diǎn)：物理概念比較清晰，比較容易建立物理圖像;

因所得結(jié)果為數(shù)學(xué)表達(dá)式，可求物理量在任意點(diǎn)的值，容易研究其變化規(guī)律。解析方法缺點(diǎn)：能解決的實(shí)際問題較少；需要的數(shù)學(xué)知識(shí)相對較多。本章總結(jié)

數(shù)值方法計(jì)算電磁學(xué)(Comp