指數函數性質

指數函數有一位大學畢業(yè)生到一家私營企業(yè)工作，試用期過后，老板對這位大學生很贊賞，有意留下他，就讓這位大學生提出待遇方面的要求，這位學生提出了兩種方案讓老板選擇，其一：月薪五千元；其二：第一個月的工資為20元，以后每個月的工資是上月工資的2倍，那么這位老板選擇了哪一種方案呢？如果簽約一年呢？第二年再簽約時，老板變聰明了，你能為這位貪婪的大學生想出什么新的方案呢？用清水漂洗含1個質量單位污垢的衣服，若每次能洗去殘留污垢的，則漂洗x次后，衣服上的殘留污垢y與x的函數關系是什么？問題1某種細胞分裂時，由1個細胞分裂成2個細胞，2個分裂成4個……一個這樣的細胞分裂X次，得到的細胞分裂個數Y與X的函數關系是什么？細胞分裂過程:分裂次數x分裂個數y1232482x……x問題2

據國務院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國發(fā)展前景分析》判斷，未來20年，我國GDP（國內生產總值）年平均增長率可望達到7。3%，那么在2001～2020年，各年的GDP可望為2000年的多少倍？情景分析問題3:設x年后我國的GDP為2000年的y倍,那么想一想：正整數指數冪的含義是什么？若把2000年的GDP看成是1個單位，2001年為第1年，則：1年后:我們的GDP可望為2000的倍2年后:我們的GDP可望為2000的倍3年后:我們的GDP可望為2000的倍4年后:我們的GDP可望為2000的倍問題4:

當生物死亡后,它機體內原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”。根據此規(guī)律,人們獲得了生物體內碳14含量P與死亡年數t之間的關系式為_________;想一想：，這幾個函數有什么共同特征？

函數y=2x指數函數義

一般地，函數

(a>0,a1)叫做指數函數，其中x是自變量.

函數的定義域是R..函數解析式三大特征：①指數是自變量x

；②底數是非1的正數；③系數為1

我們要求a>0,a1，是因為：1)如果a=0,當x>0時，恒等于0，當x0時，無意義.2）如果a<0，比如，這時對于等，有時會沒意義.3）如果a=1，是一個常量，對它就沒有研究的必要.例1、判斷下列函數是否為指數函數

已知函數y=

是指數函數，那么a的取值范圍你能算出嗎？x……-3-2-1-0.500.5123……y=2x……0.130.250.50.7111.4248……xy-3-2-1012387654321作出函數y=2x

的圖象y=2x…………0.1330.2520.510.710.5102-0.52-14-28-3…………y=()xx

-3-2-10123yy=2xx87654321

作出函數的圖象作出與的圖象xyy=10xⅠⅡⅢⅣy=2xOxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1定義域：值域：奇偶性：在R上是增函數在R上是減函數單調性：

R

非奇非偶函數定點：過點（0，1）x>0時，y>1;x<0時,0<y<1

x>0時，0<y<1;x<1時,y>1

圖象性質定義域：R值域：奇偶性：非奇非偶函數定點：過點(0，1)單調性：1YXO例3、如圖，曲線是指數函的圖象，已知取四個值，則相應于曲線的依次為（）D小結：指數函數的圖象如下圖所示，則底數與正整數11共五個數，從小到大的順序是：

.

xy01a,b,c,d(1)底數大于1時,底數越大圖象越靠近y軸；(2)底數小于１時,底數越小越靠近y軸．練.若函數是減函數，則a的取值范圍是例2、判斷下列函數的定義域和值域.（1）（2）

分析:(1)只要指數位置上的有意義，則原函數有意義.(2)只要指數位置的有意義，則原函數有意義.解:(1)由有意義得，又，故原函數的定義域為，值域為.

(2)由有意義得，又，故原函數的定義域為，值域為.例2、判斷下列函數的定義域和值域.（3）1:比較下列各組數的大?。海?）1.7和1.7(2)0.8和0.8

2.53-0.1-0.2Oxy(0，1)y=0.8x-0.1-0.2yx(0，1)y=1.7x2.53課堂練習:(1)與(2)與(4)與

(3)與1->><>比較大小(3)

2，解下列不等式2014-10-124.函數恒過定點3，函數f(x)的定義域是（0，1），則函數的定義域是定義域4正解定義域Oxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1定義域：值域：奇偶性：在R上是增函數在R上是減函數單調性：

R

非奇非偶函數定點：過點（0，1）x>0時，y>1;x<0時,0<y<1

x>0時，0<y<1;x<1時,y>1

圖象性質定義域：R值域：奇偶性：非奇非偶函數定點：過點(0，1)單調性：同增異減單調性同增異減單調性值域值域9，已知函數(a>1為常數).求的值.值域奇偶性11，已知函數，試推斷是否存在常數a，使f(x)為奇函數?若存在，求a的值；若不存在，說明理由.奇偶性討論函數f(x)=的奇偶性和單調性并求值域分析：函數的定義域為R(1)∵f(-x)==－＝－f(x)∴f(x)在R上是奇函數例.綜合（2）設x1,x2∈R,且x1<x2∵f(x)==1－則f(x1)－f(x2)=(1－）－（1－）＝－＝∵x1<x2

∴上式的分子小于0，分母大于0即：f(x1)<f(x2)故函數f(x)大R上是增函數。6.函數滿足且,則判斷的大小關系單調性

設是定義在R上的函數.（1）f（x）可能是奇函數嗎？（2）若f（x）是偶函數，試研究其單調性.解(1)方法一假設f(x)是奇函數,由于定義域為R,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,顯然無解.∴f（x）不可能是奇函數.

綜合方法二若f(x)是R上的奇函數，則f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函數.(2)因為f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵對任意x∈R都成立，∴有得a=±1.當a=1時，f(x)=e-x+ex,以下討論其單調性，任取x1,x2∈R且x1<x2,當f(x1)<f(x2),f(x)為增函數,此時需要x1+x2>0，即增區(qū)間為[0,+∞),反之(-∞,0]為減區(qū)間.當a=-1時，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函數，在［0，+∞）上是減函數.1，說明下列函數的圖象與指數函數的圖象的關系，并畫出它們的示意圖：1）2）（1）將指數函數的圖象向左平移1個單位長度就得到函數的圖象（2）將指數函數的圖象向右平移2個單位長度就得到函數的圖象圖像變換2，畫出函數y＝2|x＋1|的圖象．思路分析：通過分類討論可去掉絕對值符號，變?yōu)榉侄魏瘮担M而作出圖象．另外，也可把函數y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一個單位得到，而y＝2|x|的圖象，可由y＝2x的圖象經對稱變換得到．圖像變換3，方程的實根個數為2圖像變換3，已知當x>1時，不等式(a>0,a≠1)恒成立，求a的取值范圍.xyo121圖像變換4，如果對于一切成立，則正數的大小關系為：圖像變換圖像變換圖像變換函數y=f(x)y=f(x+a)y=f(x)+ay=f(-x)y=-f(x)y=-f(-x)y=f(|x|)y=|f(x)|對于有些復合函數的圖象，則常用基本函數圖象+變換方法作出：即把我們熟知的基本函數圖象，通過平移、作其對稱圖等方法，得到我們所要求作的復合函數的圖象，這種方法我們遇到的有以下幾種形式：a>0時向左平移a個單位；a<0時向右平移|a|個單位.a>0時向上平移a個單位；a<0時向下平移|a|個單位.y=f(-x)與y=f(x)的圖象關于y軸對稱.y=-f(x)與y=f(x)的圖象關于x軸對稱.y=-f(-x)與y=f(x)的圖象關于原點軸對稱.與y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱.Thanksforlistening!讓我們的夢想飛翔3.f(x)=-x2+2ex+m-1,(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;(2)試確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.解析：(1)方法一:由等號成立的條件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞).因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點.方法三:解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0(x>0).此方程有大于零的根,故等價于方法二:作出(x＞0)的圖象如圖所示.若使g(x)=m有零點,則只需m≥2e.其對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2,故當m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點,即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.則m的取值范圍是m>-e2+2e+1.

(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點作出(x>0)的圖象如圖.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.3.f(x)=-x2+2ex+m-1,(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;(2)試確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.綜合【思路點撥】由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a的值；第(2)問按定義法判斷單調性的步驟進行求解即可；第(3)問利用單調性脫掉“f”可求得M的取值范圍．∴當x1＜x2時，2x1＜2x2，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在R上是增函數．(3)由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，得f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴1－m＜m2－1，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m＞1.∴m的取值范圍為(－∞，－2)