梁的彎曲(工程力學(xué)課件)

梁的彎曲01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型一、平面彎曲的基本概念及工程實(shí)例

1.工程實(shí)例圖示火車輪軸，起吊機(jī)大梁，在力的作用下發(fā)生了彎曲。這種變形稱為彎曲變形。把發(fā)生彎曲變形的桿件稱為梁。直梁平面彎曲的受力與變形特點(diǎn)是：外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁軸線彎成一條平面曲線。d)c)

若外力沿橫向作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線將在其縱向?qū)ΨQ平面

內(nèi)彎成一條平面曲線，稱為平面彎曲。本章主要研究直梁的平面彎曲。

梁的無數(shù)個(gè)橫截面的縱向?qū)ΨQ軸構(gòu)成了梁的縱向?qū)ΨQ平面。

2.平面彎曲--梁的截面大多有一根縱向?qū)ΨQ軸。01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型1.梁的簡化平面彎曲的梁，用軸線來代替梁可以使問題得到簡化。二、梁的力學(xué)模型及分類01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型2.載荷的簡化作用于梁上的外力，包括載荷，可以簡化為集中載荷、分布載荷、集中力偶三種形式。01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型3.支座的簡化按支座的不同約束特性，靜定梁的約束模型，分別簡化為固定鉸支座、活動(dòng)鉸支座、固定端支座。01平面彎曲的基本概念及梁的力學(xué)模型4.靜定梁的基本形式

根據(jù)梁受不同的約束，梁的力學(xué)模型分為簡支梁（圖a)、外伸梁（圖b)

、懸臂梁（圖c)靜定梁：梁的支座約束力均可通過靜力學(xué)平衡方程求得。靜不定梁：若梁的支座約束力數(shù)目多于平衡方程數(shù)目，支座約束力就不能完全由靜力平衡方程確定。

梁的彎曲02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力

取截面左段梁為研究對(duì)象列平衡方程

用m-m將梁分為兩段，求任意x截面內(nèi)力(截面的形心規(guī)定為c點(diǎn))。1.用截面法求剪力和彎矩圖示懸臂梁，在A端作用一集中力F。彎矩M—垂直于橫截面的力偶矩。剪力Q—平行于截面的內(nèi)力。

Fy=0:

Mc(F)=0:FlBAFlFB=FxMB=Fl畫梁的受力圖求其約束力FB、約束力偶矩MB。FQxMmmc02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力

取截面右段梁為研究對(duì)象列平衡方程

Fy=0:

Mc(F)=0:FlBAFlFB=FxMB=FlFQxMFB=FMB=FlQ'M'mmcl-x02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力2.剪力、彎矩正負(fù)的規(guī)定取一梁段如圖，Q和M的正負(fù)規(guī)定為QQMM左端面右端面梁段dx剪力左上右下為正，反之為負(fù)彎矩左順右逆為正，反之為負(fù)。02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力3.求彎曲內(nèi)力的簡便方法

計(jì)算梁上某橫截面上的剪力和彎矩，就不需要畫分離體受力圖，可直接列平衡方程。計(jì)算時(shí)按下面步驟進(jìn)行：（1）先求大?。毫荷先我唤孛娴募袅Υ笮〉扔诮孛嬷螅ɑ蛴遥┝憾紊纤型饬Φ拇鷶?shù)和；彎矩大小等于截面之左（或右）梁段上所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。（2）再判斷正負(fù)：一般情況下，剪力和彎矩方向均先假設(shè)為正，如計(jì)算結(jié)果為正，表明實(shí)際的剪力和彎矩與假設(shè)方向相同；如計(jì)算為負(fù)，則表明與假設(shè)相反。

Q(x)=x截面左(右)段梁上外力的代數(shù)和，左上右下為正。Ｍ(x)=x截面左(或右)段梁上外力矩的代數(shù)和，左順右逆為正。

02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力Cl/2FABδl/21122FAFB解：1.畫梁的受力圖求約束力。

2.

求指定臨近截面的剪力和彎矩（用簡便方法）用截面左段梁上的外力計(jì)算例1圖示簡支梁AB，中點(diǎn)C作用集中力F，試求梁指定臨近截面的剪力和彎矩值（△→0，按0計(jì)算，但往往不能等于0）。1-1截面2-2截面

用截面右段梁上的外力計(jì)算1-1截面2-2截面02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力2.

求截面的剪力和彎矩2-2截面解：1.畫受力圖求約束力1-1截面例2外伸梁DB如圖示，已知均布載荷q，集中力偶ＭC=qa2。試求梁指定截面的剪力和彎矩。3-3截面4-4截面5-5截面02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力由以上計(jì)算結(jié)果可以看出：（1）集中力作用處的兩側(cè)臨近截面的彎矩相同，剪力不同，說明剪力在集中力作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值就等于集中力的大小。（2）集中力偶作用處的兩側(cè)臨近截面剪力相同，彎矩不同，說明彎矩在集中力偶作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值就等于集中力偶的大小。（3）由于集中力的作用截面和集中力偶的作用截面上剪力和彎矩有突變，因此，應(yīng)用截面法求任一指定截面和彎矩時(shí)，截面不能取在集中力和集中力偶所在的截面上。02彎曲的內(nèi)力—彎矩與剪力

梁的彎曲03彎矩圖和剪力圖一、用剪力、彎矩方程畫剪力圖、彎矩圖1.剪力方程和彎矩方程2.剪力圖和彎矩圖—剪力方程和彎矩方程表示的函數(shù)圖象。把剪力和彎矩表示為截面坐標(biāo)x的單值連續(xù)函數(shù)。Q=Q(x),M=M(x)剪力圖和彎矩圖的基本作法是：（1）先求出梁的支座約束力，沿梁的軸線取橫坐標(biāo)軸；（2）建立剪力方程和彎矩方程；（3）應(yīng)用函數(shù)作圖法畫出剪力Q（x），彎矩M（x）的圖線，即為剪力

圖和彎矩圖03彎矩圖和剪力圖（2）繪制剪力圖和彎矩圖解

：（1）建立剪力方程和彎矩方程例9.3懸臂梁AB在自由端B處受集中載荷F作用，如圖（a）所示，試作其剪力圖和彎矩圖。

如圖（b）和（c）所示03彎矩圖和剪力圖解：（1）求支座約束力例4如圖（a）所示跨度為l的簡支梁AB，在其中點(diǎn)C作用集中力F，試作梁的剪力圖和彎矩圖。（2）建立剪力方程和彎矩方程

AC段：

03彎矩圖和剪力圖CB段：

（3）繪制剪力圖Q和彎矩圖M。03彎矩圖和剪力圖Mx解：1.畫梁的受力圖，求約束力。

例5圖示的簡支梁AB，在C點(diǎn)處作用集中力偶M，試畫此梁的剪力、彎矩圖。CaMABb

2.建立剪力方程和彎矩方程FAFBQx-M/(a+b)-Ma/(a+b)Mb/(a+b)AC段：

CB段：

3.畫剪力圖和彎矩圖03彎矩圖和剪力圖解：（1）求支反力

例6簡支梁AB受均布載荷作用，如圖（a）所示。試寫出該梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。（2）建立剪力方程和彎矩方程03彎矩圖和剪力圖（3）繪制剪力圖、彎矩圖計(jì)算下列5個(gè)截面的彎矩值：03彎矩圖和剪力圖2.集中力作用處

1.無載荷作用的梁段上

彎矩圖為斜直線（兩點(diǎn)式畫圖）。二、用簡便方法畫剪力圖、彎矩圖(從梁的左端做起)

剪力圖有突變，突變幅值等于力的大小，方向與力同向。剪力圖為水平線。

彎矩圖有折點(diǎn)。彎矩圖有突變，突變幅值等于力偶矩的大小，方向順時(shí)針則向上突變，反之向下。4.均布載荷作用的梁段上

二、用簡便方法畫剪力圖、彎矩圖(從梁的左端做起)

剪力圖不變化。剪力圖為斜直線。3.集中力偶作用處

彎矩圖為二次曲線，曲線開口方向與均布載荷同向；用三點(diǎn)坐標(biāo)描出大致二次曲線。在剪力等于零的截面，曲線有極值。03彎矩圖和剪力圖03彎矩圖和剪力圖

解：（1）求支座約束力。（2）畫剪力圖。（3）畫彎矩圖。

梁的彎曲04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系一、梁的平衡方程如圖(a)所示為一受任意載荷的梁。設(shè)分布載荷向上為正，x坐標(biāo)向右為正?，F(xiàn)截取一微段dx，在x及x+dx截面上分別作用有Q（x）、M（x）及Q（x）+dQ（x）、M（x）+dM（x），均設(shè)為正向。因dx很小，微段上的q（x）可視為均布。微段在這些力作用下應(yīng)處于平衡狀態(tài)，其平衡方程為04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系一、梁的平衡方程以上三式描述了梁任一橫截面上彎矩、剪力和分布載荷集度之間的微分關(guān)系，稱為平衡微分方程。04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系二、彎矩、剪力與分布載荷集度間的幾何關(guān)系根據(jù)平衡微分方程的幾何意義，可以建立彎矩圖、剪力圖與載荷集度三者間的幾何關(guān)系。載荷集度、剪力圖和彎矩圖三者間的幾何關(guān)系為：（1）剪力圖上某點(diǎn)的切線的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的分布載荷集度。（2）彎矩圖上某點(diǎn)的切線的斜率等于梁上相應(yīng)截面的剪力。（3）彎矩圖上某點(diǎn)的凹凸方向，由梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度的正負(fù)確定。根據(jù)上述幾何關(guān)系，可以由梁上載荷的變化情況推知剪力圖與彎矩圖的大致形狀。其規(guī)律如表9-1所示。04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系二、彎矩、剪力與分布載荷集度間的幾何關(guān)系04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系三、剪力圖和彎矩圖的快速繪制剪力圖和彎矩圖一目了然地顯示了梁各橫截面上的剪力和彎矩。利用剪力圖和彎矩圖可以很方便地確定梁的剪力和彎矩的最大值及其所在截面的位置，為梁的強(qiáng)度計(jì)算其提供依據(jù)。由上述的梁的平衡方程及其推導(dǎo)出來的剪力圖、彎矩圖與梁承載載荷之間的規(guī)律，可快速繪制梁的剪力圖和彎矩圖，主要步驟如下：（1）求支座反力。（2）根據(jù)載荷及約束力的作用位量．確定控制面，確定分段數(shù)。（3）求出各控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值。（4）建立Q—x和M—x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。（5）應(yīng)用微分關(guān)系，判斷各控制面之間的剪力圖和彎矩圖的大致形狀，然后逐段畫出梁的剪力圖和彎矩圖。

04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系例8懸臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如圖（a）所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。

解：1-1截面：Q1＝-F

M1＝02-2截面：Q1＝-F

M1＝－Fl

04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系例9簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力F作用，如圖（a）所示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。

解:（1）求支座的約束力（2）分段，確定控制面及其剪力和彎矩值1-1截面：2-2截面：3-3截面：4-4截面：04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系解:（3）建立坐標(biāo)系，并將各控制面上的剪力值和彎矩值分別標(biāo)在坐標(biāo)系中，便得到a、b、c、d和a′、b′、c′、d′各點(diǎn)。（4）判斷各段梁的剪力圖和彎矩圖的大致圖線，并繪制Q圖和M圖按大致圖線形狀順序連接座標(biāo)系中的a、b、c、d及a′、b′、c′、d′各點(diǎn)，便得到梁的剪力圖和彎矩圖例9簡支梁AB在C點(diǎn)處受集中力F作用，如圖（a）所示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。

例10簡支梁AB受集度為q的均布載荷作用，如圖（a）所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。

解：（1）求支座反力

（2）確定控制面及其各控制面上的Q、M值

1-1截面：2-2截面：（3）建立Q-x，M-x坐標(biāo)系，并將各控制面上的剪力值和彎矩值標(biāo)在坐標(biāo)系中，便得到a，b和a′、b′點(diǎn)。（4）判斷梁的Q圖和M圖的大致圖線，并繪制Q圖和M圖。

04彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系

梁的彎曲05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算一、橫力彎曲和純彎曲橫力彎曲—AC、DB段，Ｍ

0，Q

0。純彎曲—CD段，Ｍ

0，Q

=0。05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算二、實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)（1）縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變?？拷喉敳堪济娴目v向線縮短，靠近梁底部凸面的縱向線伸長。（2）橫向線仍為直線，且與縱向線正交，橫向線間相對(duì)的轉(zhuǎn)過了一個(gè)微小的角度。2.假設(shè)根據(jù)上述現(xiàn)象，對(duì)梁的變形作出如下假設(shè)：（1）平面假設(shè)：梁彎曲變形時(shí)，其橫截面仍為平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個(gè)微小的角度。（2）單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。1.實(shí)驗(yàn)觀察05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算3.中性層與中性軸結(jié)論1：

1）梁的各橫截面繞自身中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度，相鄰橫截面產(chǎn)生了相對(duì)轉(zhuǎn)角d

；

2）截面間縱向纖維發(fā)生拉伸和壓縮變形，所以橫截面有垂直于截面的正應(yīng)力；

3）橫截面上、下邊緣分別有最大的壓應(yīng)力和拉應(yīng)力（正應(yīng)力）。

由實(shí)驗(yàn)觀察和平面假設(shè)推知：梁彎曲時(shí)，由凸邊纖維伸長連續(xù)變化到凹邊纖維縮短，中間定有一層既不伸長也不縮短的縱向纖維，叫做中性層。中性層與橫截面的交線為中性軸，中性軸通過截面的形心。梁彎曲時(shí)，各橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算

三、彎曲正應(yīng)力公式

截取出一橫截面繞其中性軸與相鄰截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角d

的示意圖（圖a）觀察其變形。yxzMd

a)x

yy

maxM

maxc)xyzy

y中性軸b)結(jié)論：彎曲正應(yīng)力與截面彎矩M成正比，與該點(diǎn)到中性軸的距離y坐標(biāo)成正比，而與截面對(duì)中性軸z的慣性矩Iz成反比。

通過研究變形幾何和物理關(guān)系，靜力學(xué)關(guān)系（從略）可得：正應(yīng)力的線性分布規(guī)律圖05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算即

式中Iz稱為截面慣性矩。

最大正應(yīng)力發(fā)生在截面上、下邊緣的點(diǎn)上，即

（式中Wz=Iz/ymax稱為抗彎截面系數(shù)。）yxzMd

a)x

yy

maxM

maxc)xyzy

y中性軸b)正應(yīng)力的線性分布規(guī)律圖05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算

Iz、Wz是僅與截面有關(guān)的幾何量，常用型鋼的Iz、Wz可在有關(guān)的工程手冊(cè)中查到。長方形、正方形和圓形等基本幾何形狀的慣性矩和抗彎截面系數(shù)見表2

表2基本幾何形狀的慣性矩和抗彎截面系數(shù)

05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)于等截面梁來說，梁的最大正應(yīng)力一定發(fā)生在最大彎矩所在截面的上、下邊緣處。要使梁具有足夠的強(qiáng)度，必須使梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。即

四、彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則是依據(jù)純彎曲建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則，對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長梁(l/h>5)，仍用純彎曲應(yīng)力建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。應(yīng)用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則，可以解決彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的三類問題，即校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。

05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算例12如圖所示矩形截面簡支木梁AB，已知作用力F＝100kN，l＝6m，[σ]＝100MPa，截面高度是寬度的2倍。試求：（1）按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。（2）若將梁平放時(shí)，如圖（c）設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。（3）計(jì)算梁平放與豎放時(shí)所用木材的體積比。

解：畫梁的受力圖，如圖（a）所示，求支反力，得畫梁的彎矩圖，如圖（a）所示，求最大彎矩，得05彎曲梁橫截面上正應(yīng)力和強(qiáng)度的計(jì)算解：1）按正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)截面尺寸（2）設(shè)計(jì)梁平放時(shí)的截面尺寸（3）梁平放與豎放所用木材的體積比為以上計(jì)算結(jié)果表明：矩形截面梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，采用豎放安置可大大節(jié)省材料

梁的彎曲06組合截面的慣性矩問題引入：

脆性材料—根據(jù)抗拉與抗壓性能不同的特性，即[

+]<[

-],一般宜采用上、下不對(duì)稱于中性軸的組合截面形狀。

塑性材料—為了充分發(fā)揮梁的彎曲承載能力，根據(jù)其抗拉與抗壓性能相同的特性，即[

+]=[

-],一般宜采用上、下對(duì)稱于中性軸的組合截面形狀。

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則圓工字形框形矩形圓環(huán)框形槽形T字形

式中y+、y-分別為受拉、壓側(cè)的截面邊緣到中性軸的距離。

即其強(qiáng)度準(zhǔn)則為：不對(duì)稱截面慣性矩如何計(jì)算？需要研究組合截面的慣性矩。06組合截面的慣性矩06組合截面的慣性矩1.矩形截面一、常見截面的慣性矩的計(jì)算hbyzCydAydy確定積分變量dAdA=bdyhbyzCyCdAydyz1ay1

y1慣性矩—截面所有微面積dA對(duì)中性軸z的二次矩之和。06組合截面的慣性矩2.圓形截面圓形截面是中心對(duì)稱的，所以有所以，對(duì)圓心的極慣性矩06組合截面的慣性矩3.環(huán)形截面06組合截面的慣性矩以矩形截面為例，建立z1y1坐標(biāo)系，求截面對(duì)z1軸的慣性矩二、平行軸定理同一截面對(duì)于兩平行軸的慣性矩是不相同的，但當(dāng)其中一根軸為截面的形心軸時(shí)，它們之間就存在著比較簡單的關(guān)系。

設(shè)任一截面圖形，如右圖所示的面積為A，形心為C點(diǎn)，已知其對(duì)形心軸yC、zC的慣性矩為IyC、IzC?，F(xiàn)求截面對(duì)與形心軸平行y、z軸的慣性矩。

06組合截面的慣性矩

平行軸定理—截面對(duì)某軸的慣性矩等于它對(duì)平行于該軸的形心軸的慣性矩和兩軸間距離的平方與截面面積的乘積之和。

利用平行軸公式，可方便地計(jì)算組合截面對(duì)其形心軸的慣性矩。組合截面的慣性矩

等于各簡單圖形面積對(duì)中性軸慣性矩的總和。即

06組合截面的慣性矩解：1.將圖形分為兩個(gè)矩形

A1=120

20mm2,A2=20

120mm2。3.過形心建立坐標(biāo)系求慣性矩

2.選坐標(biāo)y1c1z1，確定截面的形心坐標(biāo)yc例13求下圖所示T型截面對(duì)其中性軸的慣性矩。

12020120203535

y1z1c1c2A1A2zcycyc06組合截面的慣性矩解：1.建立壓板的力學(xué)模型

2.畫壓板的彎矩圖例14如圖所示螺旋壓板裝置，已知工件受到的壓緊力F=3kN，板長為3a，a=50mm，壓板材料的許用應(yīng)力[

]=140MPa，試校核壓板的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度。

MxC2aFABa由彎矩圖可見B截面有最大彎矩值Fa

3.求抗彎截面系數(shù)由組合截面慣性矩知，壓板B截面的抗彎截面系數(shù)最小，其值為4.強(qiáng)度計(jì)算

按有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范，最大工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力的5%是允許的。即

所以，壓板的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度滿足。06組合截面的慣性矩

梁的彎曲07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施課題引入：由可知，要提高梁的承載能力，應(yīng)從兩方面考慮：合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩采用合理的截面形狀，以提高梁的WZ07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施一、合理安排梁的受力情況（1）合理布置梁的支座--簡支梁支座向梁內(nèi)移動(dòng)07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施（2）合理布置載荷結(jié)論：在梁的跨度上分散作用載荷，盡可能避免集中作用載荷，可以降低最大彎矩，提高梁的抗彎強(qiáng)度07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施二、采用合理的截面形狀（1）選擇Wz/A較大的截面形狀梁的合理截面形狀的排序：工字鋼>槽鋼>環(huán)形>矩形>圓形07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施（2）塑性材料的抗壓能力與抗拉能力相等，宜采用相對(duì)于中性軸對(duì)稱的截面；脆性材料的抗壓能力大于抗拉能力，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面07提高梁抗彎強(qiáng)度的措施（3）等強(qiáng)度梁—大彎矩處采用大截面，小彎矩處采用小截面

等截面梁的尺寸是由最大彎矩確定的，但是其它截面的彎矩值較小，截面上、下邊緣點(diǎn)的應(yīng)力也未達(dá)到許用應(yīng)力，材料未得到充分利用。因而從整體來講，等截面梁不能合理利用材料，故工程中出現(xiàn)了變截面梁。如搖臂鉆的搖臂（圖a）；階梯軸（圖b示）；汽車板簧（圖c示）等，自然界中的大樹，一般是由根到梢逐漸變細(xì)，其依據(jù)也是等強(qiáng)度理論

梁的彎曲08彎曲梁橫截面上切應(yīng)力簡介一、彎曲切應(yīng)力梁在橫力彎曲時(shí)，其橫截面上不僅有彎矩，還作用有剪力。因此，梁在橫力彎曲下，其橫截面上還存在切應(yīng)力。二、常見截面梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力也是非均勻分布的，對(duì)于矩形截面梁，如圖9.42所示，其橫截面上的切應(yīng)力，可作如下假設(shè)：（1）橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向和剪力Q的方向一致。（2）切應(yīng)力大小與距中性軸z的距離有關(guān)，到中性軸距離相等的點(diǎn)上的切應(yīng)力大小相等。

根據(jù)以上假設(shè)，可推導(dǎo)出矩形截面粱橫截面上距中性軸為y處的切應(yīng)力為08彎曲梁橫截面上切應(yīng)力簡介二、常見截面梁橫截面上的切應(yīng)力08彎曲梁橫截面上切應(yīng)力簡介三、切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則解：（1）求梁的支座反力，并畫出梁的剪力圖和彎矩圖08彎曲梁橫截面上切應(yīng)力簡介解：（2）按正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則初選工字鋼型號(hào)，由正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則查附錄型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz＝309cm3，h＝220mm，t＝12.3mm，腹板厚度d＝7.5mm08彎曲梁橫截面上切應(yīng)力簡介解：（3）按切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。由剪力圖可知因最大切應(yīng)力超過許用應(yīng)力很多，故應(yīng)重新選取較大的工字鋼型號(hào)?，F(xiàn)選取22b工字鋼

梁的彎曲09梁的變形與剛度的計(jì)算一、梁變形的概念梁彎曲變形后的橫截面仍為平面，且與變形后的梁軸線保持垂直，并繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖9.46所示?？梢钥闯?，梁彎曲時(shí)的變形可用橫截面形心的線位移和橫截面的角位移來描述。梁的橫截面形心在垂直于梁軸線方向的位移稱為撓度，用w表示；

即橫截面的轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。可見，只要得到梁變形后的撓曲線方程，就可通過微分得到轉(zhuǎn)角方程，然后由方程計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角。09梁的變形與剛度的計(jì)算二、積分法求梁的變形在梁純彎曲時(shí)，梁的軸線彎成了一條平面曲線，其曲線的曲率公式為由高等數(shù)學(xué)可知，對(duì)于一平面曲線w＝w(x)上任意一點(diǎn)的曲率又可寫成09梁的變形與剛度的計(jì)算對(duì)于等截面直梁，只要將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，先后積分兩次，就可得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。在轉(zhuǎn)角方程和撓度方程確定后，只要代入截面形心位置坐標(biāo)x的數(shù)值，即可求出該截面的撓度和轉(zhuǎn)角。以上求梁彎曲變形的方法稱為積分法。09梁的變形與剛度的計(jì)算例18

如圖9.48為鏜刀對(duì)工件鏜孔的示意圖。為了保證鏜孔的精度，鏜刀桿的彎曲變形不能過大。已知鏜刀桿的直徑d＝10mm，長度l＝500mm，彈性模量E＝210GPa，切削力F＝200N。試求鏜刀桿上安裝鏜刀處截面B的撓度和轉(zhuǎn)角。解：將鏜刀桿簡化為懸臂梁，如圖（b）所示，選坐標(biāo)系A(chǔ)xw，梁的彎矩方程得梁的撓曲線近似微分方程為積分得代入邊界條件09梁的變形與剛度的計(jì)算解：得懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為以截面B處的橫坐標(biāo)x＝l代人以上兩式，即得截面B的轉(zhuǎn)角和撓度分別為將已知的有關(guān)數(shù)據(jù)F＝200N，E＝210GPa，l＝50mm，Iz＝491mm4代入以上兩式，得例18

如圖9.48為鏜刀對(duì)工件鏜孔的示意圖。為了保證鏜孔的精度，鏜刀桿的彎曲變形不能過大。已知鏜刀桿的直徑d＝10mm，長度l＝500mm，彈性模量E＝210GPa，切削力F＝200N。試求鏜刀桿上安裝鏜刀處截面B的撓度和轉(zhuǎn)角。09梁的變形與剛度的計(jì)算三、疊加法求梁的變形當(dāng)梁上同時(shí)作用有幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每一載荷單獨(dú)作用下的變形，然后將各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形疊加，即得這些載荷共同作用下的變形，這就是求梁變形的疊加法。09梁的變形與剛度的計(jì)算解：例19如圖（a）所示，一個(gè)抗彎剛度EIz為常量的簡支梁，受到集中力F和均布載荷q的共同作用。試求梁中點(diǎn)C的撓度和鉸支端A、B的轉(zhuǎn)角。簡支梁的變形是由集中力F和均布載荷q共同作用而引起的。在集中力F單獨(dú)作用時(shí)，查附錄B得在均布載荷q單獨(dú)作用時(shí)，查附錄B得疊加以上結(jié)果，即得梁中點(diǎn)C的挽度和鉸支端A、B的轉(zhuǎn)角09梁的變形與剛度的計(jì)算四、梁的彎曲剛度計(jì)算梁的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：09梁的變形與剛度的計(jì)算解：例20如圖（a）所示的機(jī)床空心主軸的平面簡圖，已知軸的外徑D＝80mm，內(nèi)徑d＝40mm，AB跨長l＝400mm，a＝100mm，材料的彈性模量E＝201GPa，設(shè)切削力在該平面的分力F1＝2kN。若軸C端的許用撓度[w]＝0.0001l，B截面的許用轉(zhuǎn)角[θ]＝0.001rad。并將全軸（包括BC段工件部分）近似為等截面梁，試校核該機(jī)床主軸的剛度。（1）求主軸的慣性矩（2）建立主軸的力學(xué)模型，如