2023屆廣東省深圳市福田區(qū)深圳市某中學(xué)5月高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題及答案

深圳高級中學(xué)(集團(tuán))2023屆高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題答案

一、單選題

1.已知集合4=｛0,1,2｝,N=｛x\x^2a,aeA］,則集合AN等于()

A.｛0｝；B.｛0,1｝；C.｛1,2｝；D.｛0,2｝.

【答案】D

【詳解】當(dāng)々=0時(shí)，，x=2a=0；當(dāng)a=l時(shí);x=2a=2；

當(dāng)〃=2時(shí)，x=2a=4f故7=｛0,2,4｝,故AcN=｛0,2｝,故選：D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=2,則2=()

A.-1-zB.-1+zC.l-ZD.1+/

【答案】D

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

22(l+z)2(14-7)

【詳解】由題意可得：z=「=I乙=_1^=1+一故選:D.

3.等差數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若“2，。3，七成等比數(shù)列，則｛%｝前6項(xiàng)的和為()

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d(dwO),由%，%，4成等比數(shù)列求出d，代入E可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差d("#0),

???等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為L%，為，%成等比數(shù)列，

??％=。2?46，

...(4+2")2=(q+d)(4+5"),且q=l,d手0,

解得d=-2,

｛〃“｝前6項(xiàng)的和為邑=64+—^~d=6x1+-^—x(-2)=-24.

故選：A.

2

4.在△ABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,則tan8二()

A.x/5B.2逐C.4后D.8石

【答案】C

［分析］先根據(jù)余弦定理求C,再根據(jù)余弦定理求cosB,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求tanB.

【詳解】設(shè)A8=c,8C=〃,CA=b

5.已知一個(gè)直棱柱與一個(gè)斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長也相等.若直棱柱的

體積和側(cè)面積分別為匕和耳，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為匕和邑，則

￡>.---<----

K匕

U---D.乜與匕的大小關(guān)系無法確定

y邑

S|§2

【解析】設(shè)棱柱的底面周長為C,底面面積為5,側(cè)棱長為/,斜棱柱的高為

則3=鋁=2,而匕=S",斜棱柱各側(cè)面的高均不小于/?,所以

5jclc

于是，有所以，

S2c-hcdjS2

6.已知向量a,匕滿足1。1=5,|。|=6,a,b=—6，貝！Jcos<〃,〃+/?>=（）

-19

A.-衛(wèi)B-埸D.—

3535

【答案】D

【分析】計(jì)算出〃?（〃+力）、,+b|的值,利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cos<0,4+8>的值.

【詳解】忖=5,,1=6,a.b=-6，.,.Q(Q+Z?)=忖+ab=52-6=19.

a7+2。必+82=725-2x6+36=7,

a-[a+b\]919

因此，cos<a,a+b>=-[—[-；-----r=-^^=77.故選：D.

\a\-\a+b\5x735

7.6名同學(xué)參加數(shù)學(xué)和物理兩項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽至少有1名同學(xué)參加，每名同學(xué)限報(bào)其中

一項(xiàng)，則兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等的概率為（）

【答案】B

【分析】利用古典概型即可求得兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等的概率.

【詳解】記"兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等”為事件A,

C3c310

則2缶)=早3="

26-231

試卷第2頁，共15頁

故選：B

iq士

8.已知“=b=20c=-e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a,b,c的大小關(guān)

4

系為

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c.

14r-i

【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=J,得。=/(ln2),b=c=fG),T(x)==e"

23x

當(dāng)0<x<l時(shí),r(x)<0,當(dāng)<>1時(shí),/'(力>0,所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(l,+oo)

上單調(diào)遞增.

易知l=lne>ln2>』=lnj^,所以/(ln2)<f(,)，所以〃<人.

2444

又。=——=——=/(In4),因?yàn)閘<—vln4,所以/(皿4)>/(一)，所以a>c.

In2In433

所以

二、多選題

9.若函數(shù)y=Asin(car+e)(A>0,co>0,|?3|<^)的部分圖象如圖，貝!]()

B..”X)的圖象向左平移三個(gè)單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)

C.7(x)在等]上單調(diào)遞減

12O

D.“X)的圖象的對稱中心為(g+R,。)，kwZ

【答案】AC

【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到〃x)=2sin(2x-W)，對于選項(xiàng)A,根據(jù)三角函數(shù)的周期性

即可判斷A正確，對選項(xiàng)B,/(x)向左平移g后得到g(x)=2sin(2x+3,不是奇函數(shù)，

即可判斷B錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C,根據(jù)2x-*|,y￡|,y，即可判斷C正確，對選項(xiàng)D,

根據(jù)/(x)的圖象的對稱中心為(與+弓,o),即可判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】由題圖可知A=2,因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，〃幻=-石，所以sin(p=_#.

因?yàn)樗?=-1，所以/(x)=2sin(s-|J.

由題圖可知Jr<普<：T,所以學(xué)<T("，所以

41226355

5九

由題圖可知，當(dāng)》=卷時(shí)，y取得最大值，

所以土一工=至+2也，kwZ,解得。=%k+2,kwZ.

12325

又■|<0<,，所以0=2,所以“x)=2sin(2x-T.

2兀

對于A,T=—=n,則A正確.

對于B,f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位長度得到函數(shù)g")=2sin(2x+T的圖象,

此函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.

「5兀5兀1r1c兀「兀4兀]「兀3兀

對選項(xiàng)C,XG—,貝1」2天一丁￡—1―，—，

120J3|_23J|_Z2_

,7ESir

所以f(X)在上單調(diào)遞減，故c正確?

12O

jrkitjr

對選項(xiàng)D,2x——kit,keZ,得了=--1—,keZ,

326

所以/(X)的圖象的對稱中心為但+F，o],keZ,則D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知點(diǎn)百、工是雙曲線W-1=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，以線段耳巴為直徑的圓與雙曲

a-b

線在第一象限的交點(diǎn)為P,若歸耳|=3|P閭，則()

A.|P制與雙曲線的實(shí)軸長相等B.△2￡心的面積為1。

C.雙曲線的離心率為巫

D.直線+舟=0是雙曲線的一條漸近

2

線

【答案】BCD

【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得|P￡|=3a,|P段=a,然后/耳「芭=90。，然后逐一判

試卷第4頁，共15頁

斷即可.

【詳解】由雙曲線的定義可得IP4閭=勿,

因?yàn)闅w制=3儼閭，所以1M|=3a,|P局=%故A錯(cuò)誤；

因?yàn)橐跃€段耳心為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，

1Q

所以/并鳥=9()。，所以△/>/工的面積為:x3axa=爐，故B正確;

由勾股定理得病+(3a)2=(2c)2,即5a2=2c2,,故C正確

222

因?yàn)閍c=1+A*所以A即3二b=

92

所以雙曲線的漸近線方程為：：_與=0,即后土&y=0,即石x±&y=O,故D正確

a~b~

故選：BCD

11.對于函數(shù)/(x)和g(x),設(shè)X|€卜"(司=0},%e{x|g(x)=o},若存在片,蒞，使得

歸一百41,則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=e*-3+x-4與

g(x)=lnx-〃ir互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)，”的值可以是()

ln5M3_ln2-1

A.--B.--C.--D.一

532e

【答案】BC

【分析】由題意，易得須=3,進(jìn)而得到24X244,結(jié)合含參函數(shù)，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問

題，求導(dǎo)，可得答案.

［詳解］由題意，可得/(xJ=e*i-3+X|_4=0,8(%2)=111W一慢=0,

易知K=3,則|3-司<1,2<x2<4,則機(jī)=^在2?工244有解,

“2

.1-Inx,

求導(dǎo)得：mr，=---------,令加=0,解得w=e,可得下表:

(次)e(e，4)

m!+0—

m極大值、

則當(dāng)…時(shí),機(jī)取得最大值為「

-In2,In41n2

x=,x=4,機(jī)

2242

則m的取值范圍為［竽m，也即

故選：BCD.

12.在四棱錐P-A88中，底面A8C。為矩形，AB=2叵,BC=-Ji,PA=PB=娓,

PC=PD=2.下列說法正確的是

A.設(shè)平面P43?平面尸8=/,則〃/AB

B.平面RV)_L平面P8C

C.設(shè)點(diǎn)、MeBC,點(diǎn)、NwPD,則MV的最小值為G

D.在四棱錐P-ABCD的內(nèi)部，存在與各個(gè)側(cè)面和底面均相切的球

【答案】AB.

【解析】該四棱錐如圖.

A：設(shè)平面|平面PC￡>=/,因?yàn)锳S〃平面PCO,

所以1//AB,所以A對；

B：?:平面PCD，平面ABCD,；.BC±平面PCD,二BCVPC.

又底面ABCD為矩形，所以45〃3C,AD1PC.

因?yàn)镻C=2=PD,CD=2及，0PCD2=PC2+PDr,所以PC_LP￡).

而AOPD=D,所以PC_L平面E4Z),平面PBC_L平面E4D,所以B對；

C：由B選項(xiàng)可知MN的最短距離就是PC=2,所以C錯(cuò)；

D：取A3、8的中點(diǎn)E,F,則與平面RW、平面PC。、平面ABC。都相切的球的半

徑即為△PE尸的內(nèi)切圓半徑/;=血-1,

同理與平面R4Z)、平面P8C、平面ABC。都相切的球的半徑即為△PCD的內(nèi)切圓半徑

4=2-收，所以弓力與，所以D錯(cuò).

三、填空題

13.已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=-3,"/“+|=-1,則“心=.

【答案】9/0.25

4

【分析】算出數(shù)列的前五項(xiàng)，找到數(shù)列的周期為3,則本題即可解決.

【詳解】由a?an+l=-1,得=1--.

4i4

a9

因?yàn)?=-3,所以。2=§，3=-4=-3,a5=-,

所以｛%｝是以3為周期的數(shù)列，則4。5=%=；.

故答案為：—

4

14.己知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-e".若/(ln2)=8,則。=.

試卷第6頁，共15頁

【答案】-3

【分析】當(dāng)x>0時(shí)—x<0,/(x)=-/(r)=e"代入條件即可得解.

【詳解】因?yàn)?*)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)—x<0,/(x)=-/(-x)=e-".

又因?yàn)?112€(0,1),八1112)=8,

所以e-""=8,兩邊取以e為底的對數(shù)得-aln2=31n2,所以-。=3,即。=-3.

15.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%,第2臺加工的次品率為

3%,第3臺加工的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床

加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該

零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為.

【詳解】記事件A：車床加工的零件為次品，記事件及：第i臺車床加工的零件，

則P(A由)=8%,P(A|鳥)=3%,P(A|4)=2%,P(B1)=1O%,尸(,)=40%,尸(紇)=50%,

任取一個(gè)零件是次品的概率為

P(A)=P(Kg)+P(4層)+P()=8%x10%+3%x40%+2%x50%=0.03

如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為

……、尸(伍)一尸⑷鳥叫鳥)2%X50%1

U(a/\)-；7—------7~~7---------------—，

P(A)P(A)0.033

16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)。到拋物線C：產(chǎn)=8犬的焦點(diǎn)F的距離為1,則。的軌跡方程是

若A(4,0),P是拋物線C上的動點(diǎn)，則制?的最小值是.

【答案】(x-2)2+/=l,4

【解析】第二空解答：由題意可知，拋物線V=8x的焦點(diǎn)為尸(2,0).4p

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則由拋物線的定義得1P用=》+2,\/j\

|PF|2=(X-4)2+/=X2-8X+16+8X=X2+16.R67^'一

2,2OkAx

要使蹙I最小，則應(yīng)有|P8|=|PF|+l=x+3,此時(shí)有察=工士乎.7

|PB\-IPB\x+3X.

人0+m"*。而(f-3)2+16t2-6t+2525.

令x+3=f,則x=f—3,所以7^7=---;-------=t+——6.

IPo\ttt

因?yàn)槿?gt;0,顯然有，>0,則由基本不等式知，+竺22、「五=10,

\PB\tVt

當(dāng)且僅當(dāng)-=生，即f=5時(shí)等號成立.故察的最小值為10-6=4.

t1尸例

四、解答題

17.已知數(shù)列｛叫，他｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T?,且4=g，S?=1/I2+1/7,當(dāng)時(shí),

滿足=6"".

⑴求凡;

⑵求小

【答案】(1)4=〃;

【分析】(1)由條件結(jié)合S.與a”的關(guān)系可求對；

(2)由遞推關(guān)系證明為等比數(shù)列，由此可求｛〃,｝的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】(1)因?yàn)镾,=：〃2+g〃，

所以H=；+：=l，當(dāng)"22時(shí)，S?_,=1(n-l)2+1(n-l)=1?2-1?,

又4=S|,當(dāng)〃22時(shí)，a?=Sn-Sn_,,

所以4=1,當(dāng)〃22時(shí)，an=5?-5?_,=n,

所以％=”;

(2)因?yàn)?々%=%%，

所以也=

所以4=；宅，又瓦=；,

n2n-\2

所以數(shù)列｛｝｝為以3為首項(xiàng)，公比為I的等比數(shù)列，

所以,

所以(=g+2x(g)+3x(g)+…+(〃T)x(g,

H；j+2x?+...+(〃TxCJ+M了，

所用7=H「+(9+…+nj5(;r

i_fir,

所涉『一唱，

2

所以d］一出卜"出‘

試卷第8頁，共15頁

所以<=2_(〃+2)(￡|”.

18.如圖，三棱柱中，側(cè)面B&GC是矩形，BXCLAC,AC=BC=41CC,,

。是A8的中點(diǎn).

⑴證明:A,DlBtC.

⑵若AS平面叫CC'E是AG上的動點(diǎn)，平面2。與平面叱夾角的余弦值為冬

求的值，

【答案】(1)證明見解析

QE1

⑵直二3

【分析】(1)先證明線面垂直，根據(jù)線面垂直得出線線垂直；

(2)先設(shè)比值得出向量關(guān)系，根據(jù)空間向量法求已知二面角的值即可求出比值.

【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)F,連接OF,C、F,記BCCGF=G,

。是AB的中點(diǎn)，:.DF//AC,.BtClAC,:.B}CVDF,

在矩形中，tanNFCC=51=q,tan/BC用=毀=正，

C-C12BC2

/FQC=/BCB],.?.ZCFC)+/BCB、=4CFC、+ZFQC=90°,

.\ZCGF=90°,.C/u平面4。/G尸u平面A。產(chǎn)G

C、FcDF=F,qC_L平面A,。/G，

(24。(=平面4。尸。|,:.B,CV\D-

(2)因?yàn)锳C,平面BgCC，BC,CJu平面所以AC_Z3C,AC±CClf

由矩形得BC^CG，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，CA,CB,CG所在的直線分別為x軸，y軸,

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BC=2,GE=2G404/l41),則C(0,0,0),51,1,0),B,(0,2,72),E(2/l,0,夜)，

所以8=(1,1,0),CBt=(0,2,0),4￡=(24一2,0),

m_LCD

設(shè)器=（不如zj是平面第》的一個(gè)法向量，則,

m±CB[

x+y=。，

令4=應(yīng)，則廠.機(jī)=（1,一1,及）.

2y+\[2z]=0,

設(shè)5=（占,%，22）是平面8。后的一個(gè)法向量，則<〃J,片￡),

八工B]E,

2

x2-y2-A/2Z2=0

，令Z2=\/2,則x2=---7

\—A

2AX2-2y2=0

.,..m-n2(1-2)J3.1

,,.|COS</M,M>|=-~—=,==—,.?.；1=彳或;1=3(舍去)x,

III?IV622-42+633

.C、E_1

■'C.A31

19.記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b>c,已知反osA-4cos8=6-c.

⑴求A:

(2)若點(diǎn)。在BC邊上，且CD=28。，cosB=—,求SiNBAD.

3

【答案】⑴4=g

⑵tanNBAD=6-五

【分析】（1）由余弦定理化簡可得出從+,2-“2=灰,，可求出cosA的值，再結(jié)合角A的取

值范圍可求得角A的值；

2兀

（2）求出sinB、sinC的值，設(shè)則NCA￡>=q--。，分別在△ABO和，A8中，

利用正弦定理結(jié)合等式的性質(zhì)可得出sin。、cos。的等式，即可求得tan。的值，即為所求.

【詳解】（1）解：因?yàn)閆?cosA-acos8=6-c,

試卷第10頁，共15頁

由余弦定理可得66+cT-a-"+/一”_

2bclac=bc

化簡可得加+C-C,由余弦定理可得8s加以薩U

因?yàn)镺VAVTI,所以，4=1.

w

(2)解：因?yàn)閏osB=則B為銳角，所以，sinB=>/1—cos2B=

33'

因?yàn)锳+B+C=TT,所以，C=——B,

3

sin軍cosb-cos生sinB=3x3+L遠(yuǎn)，+巫，

所以，sinC=sinl--B

33232326

設(shè)N8AD=〃，則/&4￡)=7一〃，

CDAD6AD

BDAD3AD

在△4BO和.-AC。中，由正弦定理得sinC3+V6,

sin。sinBR

因?yàn)?=2肛上面兩個(gè)等式相除可得心喑-町=(3+沖in。,

即V5cos，=(2+\Z^sin6,

J2

所以，tanNBAD=tan9=----產(chǎn)=\/3—>/2.

2+V6

20.錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號召，某地在沙漠

治理過程中，計(jì)劃在沙漠試點(diǎn)區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植適合當(dāng)?shù)?/p>

環(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8,紅柳幼苗和

梭梭樹幼苗成活的概率均為P，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩株幼苗成活的概

率不超過0.896.

(1)當(dāng)P最大時(shí)，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88,求此時(shí)三種幼苗均成活的概率

(710.24=3.2);

(2)正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布N(250,52)(單位：mm).

㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約為多

少？（精確到0.001）

㈡為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機(jī)抽取了10棵

梭梭樹，測得其樹桿地徑均小于235mm,農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認(rèn)為該地塊土質(zhì)對梭

梭樹的生長產(chǎn)生影響，計(jì)劃整改地塊并選擇合適的肥料，試判斷該農(nóng)林管理員的判斷是否合

理？并說明理由.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（MQ2）,則P（〃-crWZW〃+。卜0.6827,

尸（〃一2（rWZW〃+2cr）y0.9545,P（//-3cr<Z<//+3cr）?0.9973.

【答案】⑴0.5632

⑵（1）0.001；（2）答案見解析

【分析】（1）先求得紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率的取值范圍，再利用條件概率公式即

可求得三種幼苗均成活的概率；

（2）㈠利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得樹桿地徑小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概

率統(tǒng)計(jì)的原理，言之有理即可.

【詳解】（1）由題意得，任取三種幼苗各一株，至少有兩株幼苗成活，

包括恰有兩株幼苗成活，三株幼苗均成活兩種情況，

故概率為［（1-0.8）xp2+2x0.8xp（l-p）］+0.8xp2<0.896,

402

即3p2-8p+4.48*0,解得pq或。2百（舍去）

又P>。，故p的取值范圍為（。［，故〃的最大值為0.8,

記紅柳和梭梭樹幼苗均成活為事件A,經(jīng)濟(jì)作物幼苗成活為事件B,

則有P（A）=0.8x0.8=0.64,P（B|A）=0.88.

故所求概率為P（AB）=P（A）-P（fi|A）=0.64x0.88=0.5632.

（2）㈠設(shè)正常情況下，任意抽取一株梭梭樹，樹桿地徑為Xmm,

由題意可知X~N（250,52）,因?yàn)?35=250-3x5,

所以由正態(tài)分布的對稱性及“3cr”原則可知：

P（X<235）=gx（1-P（2354X4265）卜gx0.0027?0.001.

㈡理由①：農(nóng)林管理員的判斷是合理的.

如果該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長沒有影響，由（1）可知，

隨機(jī)抽取10棵梭梭樹，樹桿地徑都小于235mm的概率約為0.00嚴(yán)，

為極小概率事件，幾乎不可能發(fā)生，但這樣的事件竟然發(fā)生了，

試卷第12頁，共15頁

所以有理由認(rèn)為該地塊對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，即農(nóng)林管理員的判斷是合理的.

理由②：農(nóng)林管理員的判斷是不合理的.

由于是隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，所以不可控因素比較多，

例如有可能這10顆樹的幼苗栽培深度較淺，也有可能是

自幼苗栽種后的澆水量或澆水頻率不當(dāng)所致.(答案不唯一，言之有理即可)

21.如圖，動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)4-1,0)、8(2,0)構(gòu)成ZWUS,H.ZMBA=2ZMAB,設(shè)動點(diǎn)M

的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線y=-2x+m與y軸交于點(diǎn)尸，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R,且歸。仁|府，求得

(1)3x2-y2-3=0(x>l)；(2)(l,7)u(7,7+473)

【詳解】(1)設(shè)”的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x>0,且

當(dāng)/MBA=90時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±3),

當(dāng)NA/BAX90時(shí)，x豐2,由=

21yl

有tanNMBAu；。1311/吃fc，即一」，化簡可得,3d—產(chǎn)―3=0,而點(diǎn)(2,±3)

2

l-tanZA/ABx-2|>j2

］一(---7)

x+l

也在曲線3一一y2一3=(),

綜上可知，軌跡C的方程為f一］=

y=-2x+m

(2)由2y2,消去y并整理，得/_4〃優(yōu)+加+3=0(*),

X-----1

由題意，方程(*)有兩根且均在。,*0)內(nèi).設(shè)f(x)=x2—4mx+m2+3,

-Am?

---->1

2

???</⑴=『-4m+機(jī)2+3>0,解得力>1,且機(jī)工2,

A=16W—4(m2+3)>0

設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(.為)，(/，”),由歸。<|尸用及方程(*)有

2

xR=2m+《3(/一1),xQ=2m-y]3(m-1)，

2+3(1--)

Y"=-1+4

2-\3(1—^2)2-卜1-%)

Vm

44

1<—1+<7+40-1+——,^7

由勿>1,且〃?工2,得213(1-1且2一小(1一4

VmVm~

的取值范圍是(1,7)=(7,7+46卜

\t卜2(尤一1)

22.?(1)當(dāng)t元￡(0,1)時(shí)，求證：lnx<———.

/C49

(2)已知函數(shù)/(x)=xe”-a￥+a~(a>0)有唯一零點(diǎn)/,求證：與〈一,且〃<石.

參考答案：

2(1)

(1)設(shè)g(x)=lnx-(0<%<1)

x+1

4(X

>0,1分

"I(x+1)，x(x+l)”

.?.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增

g(l)=0,得g(x)<0,即ln/(x)<x+31__1

3分

(2)尸(x)=(x+l)e*-a

尸(x)=(x+2)/,得r(x)在(-co,-2)單調(diào)遞減，在(一2,+8)單調(diào)遞增.

/'()「/'(-2)=-/一。<0

當(dāng)x<—2時(shí)/(x)<0,尸(一1)=一。<0,f\a)=(a+\)eu-a=a(eu-\)+ea>0

二.HX]G(-l,a),尸(％)=0,且XG(-OO,XJ,/'(x)<0./(x)單調(diào)遞減，xe(-2,+oo)，

/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增..??再為極小值點(diǎn),/(x)mjn=/(%,)5分

若/(x)有唯一零點(diǎn)小，則/(x)mm=0，即/=玉

(凡