2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 6-2-4向量的數(shù)量積第2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算 學(xué)案

第2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式．(2)會(huì)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明．題型1向量數(shù)量積的運(yùn)算律【問(wèn)題探究】小明學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的運(yùn)算后，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，類(lèi)比得出向量數(shù)量積的運(yùn)算律，如下表：運(yùn)算律實(shí)數(shù)乘法平面向量數(shù)量積交換律ab＝baa·b＝b·a結(jié)合律(ab)c＝a(bc)(a·b)·c＝a·(b·c)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c表中這些類(lèi)比的結(jié)論正確嗎？例1已知|a|＝4，|b|＝6，a與b的夾角為60°，求：(1)a·(a＋b)；(2)(2a－b)·(a＋3b)．學(xué)霸筆記：正確應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝1，則a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．1題型2與向量模有關(guān)的計(jì)算例2已知向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5.(1)若a·b＝0，求|b|的值；(2)若a·b＝1，求|2a＋b|的值．題后師說(shuō)求向量模的策略跟蹤訓(xùn)練2已知向量a、b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.題型3兩向量的夾角與垂直例3(1)若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝2，a⊥(a－b)，則a與b的夾角為()A．π4B．C．2π3D(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量3a＋2b與ka－b互相垂直？一題多變將本例(2)中的“a⊥b”改為“a－b與a垂直”，其他條件不變，結(jié)果如何？學(xué)霸筆記：(1)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝a·bab|求出夾角的余弦值，從而求得夾角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a(2)要注意夾角θ的范圍θ∈[0，π]，當(dāng)cosθ＞0時(shí)，θ∈[0，π2)；當(dāng)cosθ＜0時(shí)，θ∈(π2，π]；當(dāng)cosθ＝0時(shí)，θ＝(3)解決有關(guān)垂直問(wèn)題時(shí)利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量跟蹤訓(xùn)練3(1)已知平面向量a，b，滿足a·(2a－b)＝5，且|a|＝1，|b|＝3，則向量a與向量b的夾角余弦值為()A．1B．－1C．12D．－(2)已知向量a，b的夾角的余弦值為13，|a|＝|b|，且a＋2b與a＋λb垂直，則λ＝________隨堂練習(xí)1．若a，b，c均為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是()A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)c＝a(b·c)2．設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b＝()A．－2B．－1C．1D．23．若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，則|a－b|＝()A．2B．2C．23D．44．已知向量a，b滿足(a－b)⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，則a與b的夾角為_(kāi)_______．課堂小結(jié)1.向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用．2．利用數(shù)量積求向量的模．3．利用數(shù)量積解決夾角與垂直問(wèn)題．第2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題探究提示：a·b＝b·a正確；(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)正確；(a＋b)·c＝a·c＋b·c正確；(a·b)·c＝a·(b·c)不正確．(解釋見(jiàn)預(yù)學(xué)案微點(diǎn)撥)例1解析：a·b＝|a|·|b|·cos60°＝4×6×12＝(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝16＋12＝28；(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2|a|2－3|b|2＋5a·b＝2×16－3×36＋5×12＝－16.跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)閍·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－1＝2－1＝1.故選D.答案：D例2解析：(1)∵|a－b|＝5，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2＝25，∴|b|2＝16，即|b|＝4.(2)|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25，∴|b|2＝18，即|b|＝32，|2a＋b|＝2a+b2＝4a跟蹤訓(xùn)練2解析：由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝10.例3解析：(1)設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍⊥(a－b)，所以0＝a·(a－b)＝a2－a·b＝2－|a||b|cosθ＝2－22cosθ，得cosθ＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)因?yàn)?a＋2b與ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝32答案：(1)A(2)見(jiàn)解析一題多變解析：因?yàn)閍－b與a垂直，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，解得a·b＝4，當(dāng)(3a＋2b)⊥(ka－b)時(shí)，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，即3k|a|2＋(2k－3)a·b－2|b|2＝0，解得k＝32跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)向量a與向量b的夾角為θ，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cosθ＝5，因?yàn)閨a|＝1，|b|＝3，所以2－3cosθ＝5，解得cosθ＝－1，故選B.(2)由題設(shè)，(a＋2b)·(a＋λb)＝a2＋(2＋λ)a·b＋2λb2＝0，若|a|＝|b|＝m≠0，則a·b＝m23，所以(2λ＋1＋2+λ3)m2＝0，即2λ＋1＋2+λ3＝答案：(1)B(2)－5[隨堂練習(xí)]1．解析：選項(xiàng)A是向量加法的結(jié)合律，正確；選項(xiàng)B是向量數(shù)量積運(yùn)算對(duì)加法的分配律，正確；選項(xiàng)C是數(shù)乘運(yùn)算對(duì)向量加法的分配律，正確；選項(xiàng)D，根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與c共線的向量，右邊是與a共線的向量，兩者不一定相等，即向量的數(shù)量積運(yùn)算沒(méi)有結(jié)合律存在．D錯(cuò)．故選D.答案：D2．解析：a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)