2024屆廣東省廣州市三校（鐵一、廣外、廣大附中）高三上學期11月期中聯考數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat21頁2024屆廣東省廣州市三校（鐵一、廣外、廣大附中）高三上學期11月期中聯考數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出集合,按照集合的交運算法則進行運算即可.【詳解】因為，集合，所以，故選：2．設，則=（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】對復數進行運算化簡得，再進行模的計算，即可得答案；【詳解】，故選：B.【點睛】本題考查復數模的計算，考考運算求解能力，屬于基礎題.3．設某批電子手表正品率為，次品率為，現對該批電子手表進行測試，設第X次首次測到正品，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得結果.【詳解】表明前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品.故，故選：C.4．設為單位向量，在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據投影向量的定義，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】因為在方向上的投影向量為，所以，所以有，故選：D5．設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的單調性、對數函數的單調性以及正切函數的單調性分別判斷出的取值范圍，從而可得結果.【詳解】，又指數函數是單調遞增函數，，即，函數在上單調遞增，，所以，即.對數函數是單調遞增函數，，即，故選：C．【點睛】方法點睛：解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數的單調性直接解答；數值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.6．公元9世紀，阿拉伯計算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數學家、天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用csc（角）表示，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】根據給定的定義，利用銳角三角函數的定義轉化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內角，由銳角三角函數定義及已知得，所以.故選：C7．雙曲線E：的一條漸近線與圓相交于若的面積為2，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出雙曲線的漸近線方程，由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由點到直線的距離公式求圓心到直線的距離，進一步求得弦長，利用三角形面積公式列式求解．【詳解】雙曲線的一條漸近線：，與圓相交于兩點，圓的圓心，半徑為2，圓心到直線的距離為：，弦長|可得：，整理得：，即，解得雙曲線的離心率為．故選：C．【點睛】此題考查求雙曲線離心率，關鍵在于熟練掌握雙曲線與圓的幾何性質，構造齊次式求解離心率.8．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡函數f（x），根據f（x）在區(qū)間上單調遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．【詳解】由函數，且f(x)在區(qū)間上單調遞減，∴在區(qū)間上,f′(x)=?sin2x+3a(cosx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設，∴當x∈時,,t∈[?1,1]，即?1≤cosx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，原式等價于t2+3at+2a?2≤0，當t∈[?1,1]時恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，只需滿足或或，解得或或，綜上，可得實數a的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查三角函數的公式及導數的應用，解題的關鍵是利用換元將不等式恒成立問題轉化為一元二次不等式恒成立問題，屬于較難題.二、多選題9．下列結論中，所有正確的結論是（

）A．若，則B．命題的否定是：C．若且，則D．若，則實數【答案】AB【分析】對A，根據不等式的性質推導即可；對B，根據特稱命題的否定為全稱命題判斷即可；對C，利用作差法判斷即可；對D，舉反例判斷即可.【詳解】對A，，則，又，則，，故A正確；對B，命題的否定是：，故B正確；對C，，因為且，故，即，故C錯誤；對D，當，時，不成立，故D錯誤；故選：AB10．已知某圓錐的母線長為，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中正確的有（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形D．圓錐的內切球表面積為【答案】ACD【分析】根據勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據球的表面積公式可判斷D.【詳解】

由題意圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確；圓錐的表面積，故B錯誤；圓錐的側面展開圖是圓心角，故C正確；

，作出圓錐內切球的軸截面，設圓錐的內切球半徑為，四邊形為正方形，所以，解得，圓錐的內切球表面積，故D正確.故選：ACD11．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），為線段的中點.若，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的準線方程為B．過兩點作拋物線的切線，兩切線交于點，則點在以為直徑的圓上C．若為坐標原點，則D．若過點且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點，則【答案】BD【分析】對于A：利用韋達定理以及焦半徑公式解方程即可；對于B：利用導數的幾何意義求出，然后將代入計算即可；對于C：利用韋達定理以及焦半徑公式求出，，，進而可求點的坐標；對于D：將中的斜率換成可求得，進而可得.【詳解】對于A：由已知設過點的直線方程為，，聯立方程，消去得，可得，又因為，所以，則，解得,所以拋物線方程為，準線方程為，A錯誤；對于B：拋物線，即，，易得，所以，故直線垂直，所以點在以為直徑的圓上，B正確；對于C：由A項知，拋物線，直線的方程為，，聯立方程，消去得，可得，，，解得，所以，所以，所以，即，所以，C錯誤；對于D：由C選項知，，因為直線垂直于直線，所以則，D正確.故選：BD.12．分形幾何學是數學家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數學學科，分形幾何學不僅讓人們感悟到數學與藝術審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學方法論意義.按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第行白圈的個數為，黑圈的個數為，則下列結論中正確的是（

）A． B．C．當時，均為等比數列 D．【答案】BCD【分析】由圖示可知，，，，即可聯立方程組判斷出當時，，也可解出的通項公式，代入通項公式即可求得剩下的選項.【詳解】由題意可知，，，，且有，故，所以是以1為首項，3為公比的等比數列，是以1為首項，1為公比的等比數列，故C選項正確；由是以1為首項，3為公比的等比數列，是以1為首項，1為公比的等比數列，則，，所以解得，故B選項正確；，故D選項正確；，故A選項錯誤.故選：BCD三、填空題13．今年3月23-24日東華港澳臺高三年級與外校進行了一次聯合聯考模擬考試，這次測試的數學成績，且，規(guī)定這次測試的數學成績高于120分為優(yōu)秀.若此次聯考共有900名學生參加測試，則數學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數是.【答案】135【分析】由已知結合正態(tài)分布曲線的對稱性得，乘以總人數即可得出答案.【詳解】由，得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，因為，所以，則數學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數是.故答案為：135.14．的展開式中的系數是（用數字作答）【答案】27【分析】先求展開式中和項，然后與相乘、合并可得.【詳解】的第項為，令，，得，，代入通項可得展開式中的和項分別為：和，分別與和相乘，得的展開式中項為，故的系數為27.故答案為：2715．在海岸A處，發(fā)現北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時間約是分鐘．（注：）【答案】15【分析】由已知條件，先解，利用正余弦定理得及為東西走向，再解，利用利用正弦定理得，進而得到，利用路程與速度的比即可求時間.【詳解】設緝私艇最快在處追上走私船，追上走私船需t小時，則，，∴在中，已知,,，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，則，，∴為東西走向，，在中，由正弦定理得，則，且為銳角，∴，即，∴小時，即分鐘.故答案為：.16．已知函數，若方程有3個不同的實根，，（），則的取值范圍是.【答案】【分析】運用導數研究函數單調性進而可畫出其圖象，即可得及范圍，將問題轉化為求在上的值域，結合導數即可求得結果.【詳解】因為，所以，令得或，或，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，當x趨近于負無窮時，趨近于零，所以的圖象如圖所示，所以若方程有3個不同的實根，則，又因為，，所以，不妨令，，則，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又因為，，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．如圖，已知直線，是，之間的一定點，并且點到，，的距離分別為和2.，分別是直線，上的動點，且，設.

(1)寫出面積關于的函數解析式；(2)求函數的最小值及相對應的的值.【答案】(1)，；(2)當時，取得最小值．【分析】（1）由直角三角形的銳角三角函數的定義和三角形的面積公式得函數解析式；（2）由三角函數的和差公式化簡函數解析式，結合正弦函數的性質，可得所求最小值．【詳解】（1），，又，，，則，中，，中，，，；（2），，，當，即時，取得最小值為．18．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是，，，的中點，，與交于點，與交于點，連接．(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據三角形中位線即可得，利用線面平行的性質定理，證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決即可；（3）結合（2）中的建系，直接根據點到平面的向量公式計算即可.【詳解】（1），，，分別是，，，的中點，所以，，所以．又因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面平面，所以，又因為，所以.（2）因為，平面，所以兩兩垂直．以點為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．由，則，所以，.設平面的一個法向量為，則可取設平面的一個法向量為，由，，得，取，得．所以，所以平面與平面所成角的余弦值為．（3）由點到平面的距離公式可得，點到平面的距離為，19．設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數列滿足求.【答案】（I），；（II）【分析】（I）首先設出等差數列的公差，等比數列的公比，根據題意，列出方程組，求得，進而求得等差數列和等比數列的通項公式；（II）根據題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應用分組求和法，結合等差數列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結果.【詳解】（I）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項公式為，的通項公式為；（II），記

①則

②②①得，，所以.【點睛】本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及前項和公式等基礎知識，考查數列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.20．根據社會人口學研究發(fā)現，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中，.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子（），事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調控未來人口結構，其中參數受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等），是否存在的值使得，請說明理由；(2)若，求，并根據全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由見解析(2)，【分析】（1）由概率之和為1和期望公式得到方程組，聯立得到，令，，求導得到其單調性和極值，最值情況，從而得到答案；（2）由和求出，并用全概率公式求出.【詳解】（1）不存在的值使得，理由如下：由題意得，①，且②，由②得到，將其代入①，整理得到，令，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，又，故無解，所以不存在的值使得；（2）若，則，解得，，，，由全概率公式可得，因為，，所以.21．已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導數的性質，結合導函數零點的大小關系分類討論進行求解即可.（2）利用分析法，結合構造法、換元法，利用導數的性質進行證明即可.【詳解】（1）令，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；當時，一元二次方程的判別式為，當時，方程有一個正根，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，方程有兩個正根，分別為，當，或時，，當時，，所以在，上單調遞減，在上單調遞增；當時，恒成立，所以在上單調遞減；（2）要證只需證只需證只需證只需證設，則需證只需證，由（1）知，，所以只需，即證，令，，則恒成立，所以當時，在上單調遞增，所以，所以，成立，因此，原不等式得證．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分析法、換元法、構造新函數法進行證明.22．