2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 7-1-2復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)案

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系．(2)掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念．(3)掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法．題型1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系【問題探究1】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)唯一確定；反之也對，由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎？例1已知復(fù)數(shù)z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i為虛數(shù)單位，m∈R.(1)若在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限，求m的取值范圍；(2)若在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于直線2x－y－14＝0上，求m的值．題后師說利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)解題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練1已知復(fù)數(shù)z＝(m＋2)＋(m＋1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2，－1)B．(－∞，－2)∪C．(－1，＋∞)D．(－∞，－2)題型2復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系【問題探究2】平面向量可以用有序數(shù)對來表示，借助有序數(shù)對能建立復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系嗎？例2在復(fù)平面內(nèi)的長方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)．學(xué)霸筆記：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練2已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A，B分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝2＋i和z2＝－1－2i，則向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．1－iB．－1－iC．－3－3iD．3＋3i題型3復(fù)數(shù)的?！締栴}探究3】我們知道向量的長度叫向量的模，z＝a＋bi(a，b∈R)與向量OZ一一對應(yīng)，那么|z|如何表示？例3已知復(fù)數(shù)z1＝3＋i，z2＝－12(1)求|z1|及|z2|并比較大小；(2)設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的軌跡是什么圖形？題后師說解決與復(fù)數(shù)的模有關(guān)問題的策略跟蹤訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z滿足2≤|z|≤22，則在復(fù)平面中z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為________．題型4共軛復(fù)數(shù)例4已知復(fù)數(shù)z滿足z＝3＋4i，則共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限學(xué)霸筆記：與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解決方法(1)若復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式已知，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義表示出z，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；(2)若復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式未知，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，代入所給等式或方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為解方程(組)問題．跟蹤訓(xùn)練4已知a，b∈R，若a＋4i與3－bi互為共軛復(fù)數(shù)，則|a＋bi|＝()A．8B．7C．6D．5隨堂練習(xí)1．復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為B，則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．－2－iB．2＋iC．1＋2iD．－1＋2i3．已知a∈R，若有|a－i|＝5(i為虛數(shù)單位)，則a＝()A．1B．－2C．±2D．±14．復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．課堂小結(jié)1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系．2．復(fù)數(shù)的模及其幾何意義．3．共軛復(fù)數(shù)．7．1.2復(fù)數(shù)的幾何意義問題探究1提示：所以復(fù)數(shù)集可以與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集建立一一對應(yīng)關(guān)系，因此可以用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)．例1解析：(1)復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限則m2-5m+6>0(2)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于直線2x－y－14＝0上，則2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，解得m＝0或m＝9.跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(m＋2)＋(m＋1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以m+2<0，m+1<0，解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2)．故選D.答案：D問題探究2提示：能．例2解析：由題意得OA＝(2，3)，OB＝(3，2)，OC＝(－2，－3)．設(shè)OD＝(x，y)，則AD＝(x－2，y－3)，BC＝(－5，－5)．由題意知，AD＝BC，所以x-2=故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i.跟蹤訓(xùn)練2解析：由題可得A(2，1)，B(－1，－2)，故BA＝(3，3)，則向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋3i.故選D.答案：D問題探究3提示：|z|＝|OZ|＝|a＋bi|＝a2例3解析：(1)∵z1＝3＋i，z2＝－12+∴|z1|＝32+12＝2，|z2|＝∴z1>z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓及外部所有點(diǎn)組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓及內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的圓之間的部分(包括兩邊界)．跟蹤訓(xùn)練3解析：根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z滿足2≤|z|≤22，則由復(fù)數(shù)模的幾何意義知z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為半徑為2和22的兩個(gè)同心圓所圍成的圓環(huán)，則其面積為π[(22)2－22]＝4π.答案：4π例4解析：由z＝3＋4i得z＝3－4i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(3，－4)，在第四象限，故選A.答案：A跟蹤訓(xùn)練4解析：a＋4i與3－bi互為共軛復(fù)數(shù)，∴a＝3，b＝4，則有|a＋bi|＝|3＋4i|＝32+42答案：D[隨堂練習(xí)]1．解析：z＝－1－2i對應(yīng)點(diǎn)Z(－1，－2)，位于第三象限．故選C.答案：C2．解析：由題意可知，點(diǎn)A的坐