新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8．1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1．結(jié)合實(shí)例了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．2．了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標(biāo)準(zhǔn)化”成對(duì)數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系．3．結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性．核心素養(yǎng)1．通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖來(lái)判斷變量的相關(guān)關(guān)系，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1變量的相關(guān)關(guān)系(1)兩個(gè)變量的關(guān)系分類(lèi)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系特征兩變量有_確定__的關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去_精確地決定__另一個(gè)的程度(2)散點(diǎn)圖：將樣本中的每一個(gè)序號(hào)下的成對(duì)數(shù)據(jù)用_直角坐標(biāo)系__中的點(diǎn)表示出來(lái)得到的統(tǒng)計(jì)圖．(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)正相關(guān)負(fù)相關(guān)當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)_增加的趨勢(shì)__當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)_減少的趨勢(shì)__(4)線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在_一條直線__附近，則稱(chēng)這兩個(gè)變量線性相關(guān)．想一想：正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是對(duì)所有具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量而言的，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是針對(duì)線性相關(guān)關(guān)系而言的．練一練：下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(D)A．正方體的棱長(zhǎng)和體積B．單位圓中角的弧度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng)C．當(dāng)畝產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量[解析]選項(xiàng)A，B，C中兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系，選項(xiàng)D中兩個(gè)變量之間是相關(guān)關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)2樣本的相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)：統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r((\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)))來(lái)衡量y與x的_線性相關(guān)性的強(qiáng)弱__，這里的r稱(chēng)為樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)系數(shù))．(2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1_r>0__時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)；_r<0__時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，－1≤r≤1.2|r|越小，兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越_弱__，|r|越大，兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越_強(qiáng)__.3|r|＝1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在_一條確定的直線__上.練一練：對(duì)四組不同數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，對(duì)它們的樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的是(A)①樣本相關(guān)系數(shù)r1②樣本相關(guān)系數(shù)r2③樣本相關(guān)系數(shù)r3④樣本相關(guān)系數(shù)r4A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3[解析]由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，圖①和圖③中的成對(duì)數(shù)據(jù)是正相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，圖②和圖④中的成對(duì)數(shù)據(jù)是負(fù)相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，圖①和圖②中的點(diǎn)相對(duì)更加集中于一條直線附近，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1.題|型|探|究題型一相關(guān)關(guān)系的判斷典例1(多選)下列選項(xiàng)中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是(ACD)A．一個(gè)人的身高與他(她)的體重之間的關(guān)系B．曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系C．蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系D．森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系[分析]直接利用相關(guān)關(guān)系的定義逐一判斷即可．[解析]選項(xiàng)A，一般地，人的身高與體重是一種相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)B，曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)是一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)C，蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系是一種相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)D，森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．[規(guī)律方法]對(duì)相關(guān)關(guān)系的理解(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是兩種不同的變量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，可以用一個(gè)變量確切地表示另一個(gè)變量；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，兩個(gè)變量雖然有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度．(2)根據(jù)變量變化趨勢(shì)可將相關(guān)關(guān)系分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；根據(jù)變量分布特征可將相關(guān)關(guān)系分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?下列五組變量：①勻速行駛的汽車(chē)行駛的路程和行駛的時(shí)間；②學(xué)生的平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長(zhǎng)和面積；⑤汽車(chē)的重量和百公里耗油量．其中兩個(gè)變量正相關(guān)的是(C)A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤[解析]①④中兩個(gè)變量是確定的函數(shù)關(guān)系，③中兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，只有②⑤中兩個(gè)變量正相關(guān)．題型二由散點(diǎn)圖判斷相關(guān)關(guān)系典例2如圖所示的散點(diǎn)圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是(D)A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)[分析]分別分析三個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布情況，可得第一個(gè)圖中兩個(gè)變量正相關(guān)，第二個(gè)圖中兩個(gè)變量不相關(guān)，第三個(gè)圖中兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．[解析]對(duì)于圖(1)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右上升，兩個(gè)變量正相關(guān)；對(duì)于圖(2)，圖中的點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒(méi)有明顯的規(guī)律，兩個(gè)變量不相關(guān)；對(duì)于圖(3)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右下降，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．故選D.[規(guī)律方法]判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的方法(1)根據(jù)直觀感覺(jué)或生活經(jīng)驗(yàn)等判斷；(2)根據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)判斷；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：若散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布在一條直線或曲線附近，則變量具有相關(guān)關(guān)系．由散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)落在從左下角到右上角的區(qū)域，兩個(gè)變量正相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)落在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．由散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)程度強(qiáng)弱的方法在散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)在某條直線附近越集中，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；散點(diǎn)在某條直線附近越分散，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)對(duì)變量x，y由觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u，v由觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(C)A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)[解析]由圖①可以看出，散點(diǎn)圖在從左上角到右下角的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以變量x與y負(fù)相關(guān)；由圖②可知，散點(diǎn)圖在從左下角到右上角的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以變量u與v正相關(guān)．(2)下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是(A)[解析]對(duì)于A選項(xiàng)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且集中分布在一條直線附近，所以?xún)蓚€(gè)變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；對(duì)于B，C，D選項(xiàng)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)成片狀分布，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度較弱或不具有線性相關(guān)關(guān)系．故選A.題型三樣本相關(guān)系數(shù)典例3(1)對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是(C)A．|r|≤1，|r|越接近0，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近1，相關(guān)程度越弱B．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越大，相關(guān)程度越弱C．|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，相關(guān)程度越弱D．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越弱；|r|越大，相關(guān)程度越強(qiáng)[解析]用樣本相關(guān)系數(shù)r可以衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，|r|≤1，|r|越接近1，表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱．故選C.(2)為了對(duì)2023年某校月考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽取8位，他們的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)對(duì)應(yīng)如下表：學(xué)生編號(hào)12345678數(shù)學(xué)成績(jī)x6872788185889193物理成績(jī)y7066818379809289用變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)說(shuō)明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，并說(shuō)明它們的變化趨勢(shì)特征．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝52957，eq\r(\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)eq\r(\i\su(i＝1,8,y)\o\al(2,i)－8\x\to(y)2)≈545.82.[分析]分別計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，然后求出樣本相關(guān)系數(shù)r，用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)程度．[解析](2)eq\x\to(x)＝eq\f(68＋72＋78＋81＋85＋88＋91＋93,8)＝82，eq\x\to(y)＝eq\f(70＋66＋81＋83＋79＋80＋92＋89,8)＝80，r＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,8,y)\o\al(2,i)－8\x\to(y)2))≈eq\f(52957－8×82×80,545.82)＝eq\f(477,545.82)≈0.87>0.所以物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性相關(guān)程度較強(qiáng)，且呈正相關(guān)，它們的變化趨勢(shì)相同．[規(guī)律方法]在統(tǒng)計(jì)中常用樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱．r的范圍為[－1,1]，r為正時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；r為負(fù)時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越強(qiáng)；r越接近0，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越弱．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?為了解某地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查小組得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份x20142015201620172018足球特色學(xué)校y(百個(gè))0.300.601.001.401.70根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱．參考公式和數(shù)據(jù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))≈3.6，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝1.3，eq\r(13)≈3.6056.[解析]由題意得r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,5,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,5,)(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(3.6,\r(10)×\r(1.3))≈eq\f(3.6,3.6056)≈0.998.∵r＝0.998非常接近1，∴y與x線性相關(guān)程度很強(qiáng)．易|錯(cuò)|警|示概念不清致誤典例4在一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(D)A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1[錯(cuò)解]∵所有樣本點(diǎn)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，x的系數(shù)為eq\f(1,2)，故選C.[正解]因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，且x，y的變化趨勢(shì)相同，所以樣本相關(guān)系數(shù)為1.1．有以下五組變量：①某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量；②學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)；③堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；④氣溫與冷飲銷(xiāo)售量；⑤電瓶車(chē)的重量和行駛每千米的耗電量．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是(D)A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤[解析]對(duì)于①，一般情況下，某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于②，學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有相關(guān)關(guān)系；對(duì)于③，一般情況下，堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于④，一般情況下，氣溫與冷飲銷(xiāo)售量成正相關(guān)關(guān)系；對(duì)于⑤，一般情況下，電瓶車(chē)的重量和行駛每千米的耗電量成正相關(guān)關(guān)系．綜上所述，其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的序號(hào)是④⑤.2．兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，散點(diǎn)圖的特征是(D)A．點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)B．點(diǎn)散布在某帶形區(qū)域內(nèi)C．點(diǎn)散布在某圓形區(qū)域內(nèi)D．點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)[解析]有負(fù)相關(guān)關(guān)系的各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，因此點(diǎn)應(yīng)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)．3．已知兩個(gè)變量的3對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(0,1)，(1,0)，(2，－0.9)，則它們的樣本相關(guān)系數(shù)的大小可能是(A)A．－0.98 B．0C．0.02 D．0.97[解析]由3對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)可知兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)r<0.4．某公司欲知詩(shī)詞日歷費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與詩(shī)詞日歷銷(xiāo)