新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊

8．3列聯(lián)表與獨立性檢驗學(xué)習(xí)目標1．基于2×2列聯(lián)表，通過實例了解獨立性檢驗的基本思想．2．掌握獨立性檢驗的基本步驟．3．能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個分類變量的關(guān)系．4．了解χ2的含義及其應(yīng)用．5．會用獨立性檢驗解決簡單的實際問題．核心素養(yǎng)1．通過學(xué)習(xí)獨立性檢驗的基本思想，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．借助χ2公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．3．借助條形圖，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．4．通過利用獨立性檢驗解決實際問題，提升數(shù)據(jù)分析能力.知識點1分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量：用來區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的_隨機變量__，其取值可以用實數(shù)表示．(2)2×2列聯(lián)表：如果隨機事件X與Y的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式Y(jié)＝0Y＝1合計X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d在這個表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．練一練：下面是一個2×2列聯(lián)表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合計b46則表中a，b處的值分別為(C)A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52[解析]因為a＋21＝73，所以a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.知識點2獨立性檢驗(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系_H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)__是否成立．通常稱H0為零假設(shè)．(2)獨立性檢驗：利用隨機變量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．(3)公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(4)對照表及檢驗規(guī)則：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828當(dāng)χ2≥xα?xí)r就推斷“X與Y不獨立”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，可以認為“X與Y獨立”．練一練：根據(jù)表格計算：性別不看電視看電視男3785女35143χ2≈_4.514__(保留3位小數(shù))．[解析]χ2＝eq\f(300×(37×143－85×35)2,122×178×72×228)≈4.514.題|型|探|究題型一列聯(lián)表與等高堆積條形圖典例1某學(xué)校對高三學(xué)生做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張．性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．[解析]作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向合計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認為考前緊張與性格類型有關(guān)．[規(guī)律方法]1.利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響．2．利用等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟微提醒：等高堆積條形圖的缺點是不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率．對點訓(xùn)練?為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對病人組和對照組的尿液做尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下表．問：鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別？尿棕色素合計陽性數(shù)陰性數(shù)鉛中毒病人組29736鉛中毒對照組92837合計383573[解析]由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人組中尿棕色素為陽性的約占80.56%，而鉛中毒對照組僅約占24.32%.說明它們之間有較大差別．畫出等高堆積條形圖如圖所示．由列聯(lián)表及等高堆積條形圖可知，鉛中毒病人組與對照組相比較，尿棕色素為陽性數(shù)差別明顯，因此鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有明顯差別．題型二獨立性檢驗典例2某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[分析](1)根據(jù)列聯(lián)表，用頻率代替概率，可分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)求出χ2的值，與臨界值表對比可得結(jié)論．[解析](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8；女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為eq\f(30,50)＝0.6.(2)χ2＝eq\f(100×(40×20－30×10)2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．[規(guī)律方法]解決獨立性檢驗問題的基本步驟對點訓(xùn)練?2024年春季，某出租汽車公司決定更換一批小汽車以代替原來報廢的出租車，現(xiàn)有A，B兩款車型的使用壽命(單位：年)頻數(shù)表如下：使用壽命/年5678總計A型出租車/輛10204525100B型出租車/1)填寫下表，并判斷是否有99%的把握認為出租車的使用壽命與汽車車型有關(guān)；使用壽命不高于6年使用壽命不低于7年總計A型B型總計(2)司機師傅小李準備在一輛開了4年的A型車和一輛開了4年的B型車中選擇，為了盡最大可能實現(xiàn)3年內(nèi)(含3年)不換車，試通過計算說明，他應(yīng)如何選擇？[解析](1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：使用壽命不高于6年使用壽命不低于7年總計A型3070100B型5050100總計80120200所以χ2＝eq\f(200×(50×70－30×50)2,100×100×80×120)≈8.333.查表可得P(χ2≥6.635)＝0.01，由于8.333>6.635，所以有99%的把握認為出租車的使用壽命與汽車車型有關(guān)．(2)記事件A為“小李選擇A型車，3年內(nèi)(含3年)不換車”，事件B為“小李選擇B型車，3年內(nèi)(含3年)不換車”，所以P(A)＝eq\f(25,100)＝0.25，P(B)＝eq\f(10,100)＝0.1，因為P(A)>P(B)，所以小李應(yīng)選擇A型車．題型三獨立性檢驗的綜合應(yīng)用典例3某校鼓勵即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠地區(qū)去支教，校學(xué)生就業(yè)部針對即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進行問卷調(diào)查，得到的情況如下表所示：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合計70100(1)完成上述2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)？(3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照“是否愿意去支教”進行分層抽樣，隨機抽取10人，再在10人中抽取3人進行面談，記面談的男生中，不愿意去支教的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望．[分析](2)根據(jù)列聯(lián)表求出χ2和相應(yīng)的頻率，從而分析是否與性別有關(guān)；(3)由超幾何分布公式求出相應(yīng)的分布列，計算出數(shù)學(xué)期望．[解析](1)2×2列聯(lián)表如下：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合計7030100(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨立，即是否愿意去西部支教與性別無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝eq\f(100×(300－800)2,50×50×30×70)≈4.762>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算，女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(30,50)＝0.6，eq\f(20,50)＝0.4；男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(40,50)＝0.8，eq\f(10,50)＝0.2.由eq\f(0.4,0.2)＝2可見，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．(3)由題意，抽取的10人中有8人愿意去西部支教，2人不愿意去西部支教，于是ξ＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).[規(guī)律方法]解決一般的獨立性檢驗問題的步驟：對點訓(xùn)練?某地為了調(diào)查市民對“一帶一路”倡議的了解程度，隨機選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進行問卷調(diào)查，并通過問卷的分數(shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類，數(shù)據(jù)如表所示.年齡/歲[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]調(diào)查人數(shù)30302515了解“一帶一路”倡議人數(shù)1228155(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為以40歲為分界點對“一帶一路”倡議的了解有差異；(結(jié)果精確到0.001)年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計了解不了解合計(2)以頻率估計概率，若在該地選出4名市民(年齡在20歲至60歲)，記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.[分析](1)由表格讀取信息，年齡低于40歲的共60人，年齡不低于40歲的共40人，填寫2×2列聯(lián)表，再把數(shù)據(jù)代入χ2公式計算；(2)在總體未知的市民中選取4人，由頻率估計概率得出選出的每位市民是了解“一帶一路”倡議的概率，可知隨機變量X服從二項分布．[解析](1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計了解402060不了解202040合計6040100χ2＝eq\f(100×(40×20－20×20)2,60×40×60×40)≈2.778>2.706，故有90%的把握認為以40歲為分界點對“一帶一路”倡議的了解有差異．(2)由(1)知市民了解“一帶一路”倡議的概率為eq\f(60,100)＝eq\f(3,5)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5))).X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(96,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3×eq\f(2,5)＝eq\f(216,625)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，則X的分布列為X01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)E(X)＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5)，D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).1．判斷兩個分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨立的常用的方法中，最為精確的是(B)A．殘差 B．獨立性檢驗C．等高堆積條形圖 D．回歸分析[解析]用獨立性檢驗考查兩