2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用能熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問題．1．熟悉等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并能夠應(yīng)用該知識靈活地進行運算．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)2．能夠應(yīng)用等差數(shù)列解決一些生活中的實際問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)等差數(shù)列中的項與序號的關(guān)系

知識點

1(1)兩項關(guān)系an＝am＋(_________)d(m，n∈N*)．(2)多項關(guān)系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)則an＋am＝_____________.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝_________.n－map＋aq2ap等差數(shù)列的項的對稱性

知識點

2an－1an－k＋1練一練：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1＋a7＝4，則a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(

)A．8

B．9

C．10

D．12[解析]

數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a7＝2a4＝4，∴a4＝2，∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝10.故選C．C等差數(shù)列的性質(zhì)

知識點

3(1)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為_____的等差數(shù)列；②{c·an}(c為任一常數(shù))是公差為_______的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為_______的等差數(shù)列．(2)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為_________________的等差數(shù)列．dcd2dpd1＋qd2練一練：(多選題)若等差數(shù)列{an}和{bn}的公差均為d(d≠0)，則下列數(shù)列中是等差數(shù)列的是(

)A．{λan}(λ為常數(shù))B．{an＋bn}D．{anbn}ABC等差數(shù)列的單調(diào)性

知識點

4由等差數(shù)列和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d的影響．(1)當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，圖象如圖1所示；(2)當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，圖象如圖2所示；(3)當(dāng)d＝0時，數(shù)列為常數(shù)列，圖象如圖3所示．練一練：已知等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增且滿足a1＋a8＝6，則a6的取值范圍是(

)A．(－∞，3) B．(3，6)C．(3，＋∞) D．(6，＋∞)[解析]

因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，因為數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以d>0，所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6，則2a6－6＝3d>0，解得a6>3，故選C．C

若{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]

方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，題型探究題型一等差數(shù)列通項公式的推廣an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用典例1方法二：∵{an}為等差數(shù)列，∴a15，a30，a45，a60，a75也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則a15為首項，a60為第4項，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，

等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a8＝6，則a10＝_____.對點訓(xùn)練?7題型二用性質(zhì)am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解題

(1)(2023·天津?qū)氎鎱^(qū)高二月考)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9 B．12C．15 D．18典例2A(2)(2023·塘沽高二檢測)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝_______.(3)(2023·湖北武漢高三月考)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，則a2＋a8＝(

)A．150 B．160C．200 D．300D35[解析]

(1)∵{an}是等差數(shù)列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因為數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．所以數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.[規(guī)律方法]

等差數(shù)列運算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中的項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.特別提醒：遞增等差數(shù)列d>0，遞減等差數(shù)列d<0，解題時要注意數(shù)列的單調(diào)性對d取值的限制．

(1)由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是(

)A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列(2)已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝_____.對點訓(xùn)練?C8[解析]

(1)因為(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數(shù)列．(2)方法一：∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設(shè)其公差為d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.題型三等差數(shù)列中的對稱設(shè)項

成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)和第三個數(shù)之積為40，求這四個數(shù)．[分析]已知四個數(shù)成等差數(shù)列，有多種設(shè)法，但如果四個數(shù)的和已知，常常設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更簡單．再通過聯(lián)立方程組求解．典例3[解析]

設(shè)四個數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，[規(guī)律方法]

三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)未知量的技巧如下：(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為偶數(shù)時，