重積分習題課

習題課一、重積分計算的根本方法二、重積分計算的根本技巧三、重積分的應用

第十章重積分的計算及應用1精選ppt定義幾何意義性質計算法應用二重積分定義幾何意義性質計算法應用三重積分一、主要內容2精選ppt1、二重積分的定義3精選ppt２、二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．4精選ppt性質１當為常數(shù)時，性質２３、二重積分的性質5精選ppt性質３對區(qū)域具有可加性性質４若為D的面積性質５假設在D上，特殊地6精選ppt性質６性質７〔二重積分中值定理〕7精選ppt４、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.〔１〕直角坐標系下8精選ppt

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］9精選ppt〔２〕極坐標系下10精選ppt11精選ppt5、二重積分的應用(1)體積設S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積12精選ppt當薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心13精選ppt薄片對于x軸的轉動慣量薄片對于y軸的轉動慣量(4)轉動慣量14精選ppt薄片對

軸上單位質點的引力為引力常數(shù)(5)引力15精選ppt6、三重積分的定義16精選ppt7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質類似于二重積分的性質．17精選ppt9、三重積分的計算(１)直角坐標18精選ppt(２)柱面坐標19精選ppt(３)球面坐標20精選ppt10、三重積分的應用(１)重心21精選ppt(２)轉動慣量22精選ppt二、典型例題例1解X-型23精選ppt例2計算積分其中D由所圍成

.提示:如下圖連續(xù),所以24精選ppt例3解先去掉絕對值符號，如圖25精選ppt例4解26精選ppt27精選ppt例5解28精選ppt例6解29精選ppt30精選ppt例7

證31精選ppt例8

解32精選ppt33精選ppt例9

解利用球面坐標34精選ppt例10

解35精選ppt例11

證思路：從改變積分次序入手．36精選ppt測驗題37精選ppt38精選ppt39精選ppt40精選ppt41精選ppt42精選ppt43精選ppt44精選ppt測驗題答案45精選ppt46精選ppt一、重積分計算的根本方法1.選擇適宜的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量別離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內到外:

面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——累次積分法47精選ppt二、重積分計算的根本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或重心公式簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號4.利用重積分換元公式48精選ppt例1.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.49精選ppt(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得50精選ppt例2.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標51精選ppt例3.計算二重積分在第一象限局部.解:(1)兩局部,那么其中D為圓域把與D分成作輔助線52精選ppt(2)提示:兩局部說明:假設不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成53精選ppt例4.如下圖交換以下二次積分的順序:解:54精選ppt例5.解:

在球坐標系下利用洛必達法那么與導數(shù)定義,得其中55精選ppt三、重積分的應用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質量,轉動慣量,質心,引力證明某些結論等2.物理方面3.其它方面56精選ppt例6.證明證:左端=右端57精選ppt例7.設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內的單調性;(2)證明t>0時,(03考研)58精選ppt解:

(1)

因為兩邊對

t

求導,得59精選ppt(2)

問題轉化