新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第2篇核心素養(yǎng)謀局思想方法導(dǎo)航第2講數(shù)形結(jié)合思想課件_第1頁
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第二篇核心素養(yǎng)謀局、思想方法導(dǎo)航第2講數(shù)形結(jié)合思想思想方法速覽思想方法解讀思想方法應(yīng)用思想方法速覽思想方法解讀一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時,要遵循三個原則:(1)等價性原則.在數(shù)形結(jié)合時,代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的,否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時,由于圖形的局限性,不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性,這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明,要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng).(2)雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析,又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求,僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯.(3)簡單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時,一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化;三要挖掘隱含條件,準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍,特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線.二、特別提醒數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,以提高解題能力和速度.具體操作時,應(yīng)注意以下幾點:(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域;(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式(有時可能先作適當(dāng)調(diào)整,以便于作圖),然后作出兩個函數(shù)的圖象,由圖求解;利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點.(3)在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時使用的,不可使用形的直觀代替相關(guān)的計算和推理論證.三、命題規(guī)律1.數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下幾個??键c(1)集合的運(yùn)算及Venn圖;(2)函數(shù)及其圖象;(3)平面向量;(4)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象;(5)方程(多指二元方程)及方程的曲線;(6)對于研究距離、角或面積的問題,往往涉及直線與圓、立體幾何、圓錐曲線等,利用幾何圖形或形數(shù)轉(zhuǎn)換求解;(7)對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題,可通過函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點、頂點是關(guān)鍵點),做好知識的遷移與綜合運(yùn)用(與函數(shù)方程思想相結(jié)合).2.數(shù)形結(jié)合思想常用模型:一次、二次函數(shù)圖象;“對勾函數(shù)”應(yīng)用單調(diào)性或基本不等式;三角函數(shù)圖象和性質(zhì);斜率公式;兩點間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模);點到直線的距離公式等.思想方法應(yīng)用應(yīng)用1研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等核心知識·精歸納函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題:即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法,對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終,因此這種方法是最常用的,破解此類題的關(guān)鍵點:(1)分析數(shù)理特征,一般解決問題時不能精確畫出圖象,只能通過圖象的大概性質(zhì)分析問題,因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題;(2)畫出函數(shù)圖象,畫出對應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象;(3)數(shù)形轉(zhuǎn)化,這個轉(zhuǎn)化實際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化;(4)得出結(jié)論,通過觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論.典例研析·悟方法典例1A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性即可排除選項B,D;再利用特殊值即可排除選項C,進(jìn)而求解.C【分析】利用分類討論思想,根據(jù)函數(shù)值的符號及變化,分別對四個選項判斷即可求解.函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性.(4)利用函數(shù)值考察特征點,排除不合要求的圖象.(5)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考察圖象升降的快慢、極值點,發(fā)現(xiàn)圖象差別.利用上述方法排除、篩選選項.方法技巧·精提煉應(yīng)用2構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍核心知識·精歸納1.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合圖象研究方程的根或函數(shù)的零點所涉及的參數(shù)問題;2.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合圖象研究量與量之間的大小關(guān)系,求參數(shù)的取值范圍或解不等式.典例研析·悟方法(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則a的取值范圍是(

)典例2DD充分利用函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想得到不同的交點下參數(shù)的范圍.方法技巧·精提煉應(yīng)用3構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系核心知識·精歸納熟練掌握常見函數(shù)的圖象以及函數(shù)圖象的變換:由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象,應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對稱(中心對稱和軸對稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系.典例研析·悟方法(1)(多選)(2022·福建泉州高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點為b,則下列不等式中成立的是(

)A.ea+lnb>2 B.ea+lnb=2C.a(chǎn)+b=2 D.a(chǎn)b>1【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題,根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行逐一判斷即可.典例3BC對于零點關(guān)系問題,往往把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根,再轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的交點橫坐標(biāo)關(guān)系問題,另外本題要注意函數(shù)y=ex與函數(shù)y=lnx是反函數(shù),故兩個交點A、B關(guān)于點(1,1)中心對稱.方法技巧·精提煉D本題考查構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小的問題,解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題,從而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和圖象來進(jìn)行求解.方法技巧·精提煉應(yīng)用4構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式核心知識·精歸納向量、復(fù)數(shù)、圓錐曲線等數(shù)學(xué)概念具有明顯的幾何意義,可利用圖形觀察求解有關(guān)問題;靈活應(yīng)用一些幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式,如斜率、距離公式等.應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式,主要有:①比值——可考慮直線的斜率;②二元一次式—可考慮直線的截距;③根式分式——可考慮點到直線的距離;④根式——可考慮兩點間的距離.典例研析·悟方法典例418應(yīng)用5構(gòu)建幾何模型研究代數(shù)問題核心知識·精歸納1.在解決問題的過程中對題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析,將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問題,通過解決幾何問題達(dá)到解決代數(shù)問題的目的.此方法適用于難以直接解決的抽象問題,可利用圖形使其直觀化,再通過圖形的性質(zhì)快速解決問題.破解此類題的關(guān)鍵點:(1)分析特征,一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義.(2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把要解決的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.(3)得出結(jié)論,將幾何問題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問題中,進(jìn)而得出結(jié)論.2.幾何圖形有關(guān)的最值問題,若通過代數(shù)方法計算則小題大做,計算繁雜,解題時要充分考慮幾何關(guān)系,充分利用“三角形兩邊之和大于第三邊”“兩點之間線段最短”等幾何結(jié)論.典例研析·悟方法【分析】不妨設(shè)P(0,0),A(1,0),B(x0,y0),C(x,y),利用數(shù)量積和模長的坐標(biāo)表示求得C點的軌跡即可求解.典例5C【分析】利用作圖,構(gòu)造出α和β,分別求tanα和tanβ,比較后,即可判斷選項.D應(yīng)用6構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值等問題核心知識·精歸納1.在解析幾何的解題過程中,通常要數(shù)形結(jié)合,挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式,構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍;常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有:(1)比值——可考慮直線的斜率;(2)二元一次式——可考慮直線的截距;(3)根式分式——可考慮點到直線的距離;(4)根式——可考慮兩點間的距離.2.圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法:是根據(jù)圓錐曲線中許多對應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義,挖掘題目中隱含的幾何意義,采用數(shù)形結(jié)合思想,快速解決某些相應(yīng)的問題.破解此類題的關(guān)鍵點:(1)畫出圖形,畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形,以及相應(yīng)的線段、直線等;(2)數(shù)形求解,通過數(shù)形結(jié)合,利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解;(3)得出結(jié)論,結(jié)合題目條件進(jìn)行分析,得出所要求解的結(jié)論.3.破解圓錐曲線問題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形,注意數(shù)和形的相互滲透,并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種:(1)通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式;(2)通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論.典例研析·悟方法典例6A4(0,2)方法技巧·精提煉應(yīng)用7構(gòu)建方程模型或函數(shù)模型,結(jié)合其圖象研究零點的范圍與個數(shù)問題核心知識·精歸納討論方程的解(或函數(shù)零點)的問題一般可以構(gòu)造兩個函數(shù),將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點個數(shù).構(gòu)造函數(shù)時,要先對方程進(jìn)行變形,盡量構(gòu)造兩個比較熟悉的函數(shù).方程解的個數(shù)問題可通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題;f(x)<g(x)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)圖象的位置關(guān)系問題.典例研析·悟方法典例7BC【分析】當(dāng)x<0時直接求解函數(shù)零點,當(dāng)x≥0時,轉(zhuǎn)化為y=ex與y=2x2的圖象的交點個數(shù)求解即可.3【解析】

當(dāng)x<0時,f(x)=(x+1)ex=0,解得x=-1;當(dāng)

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