中考臨沂·專題：函數(shù)壓軸題

專題函數(shù)壓軸題 函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數(shù)解析式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案． 臨沂市近五年中考對此問題的考查：2017年、2016年和2013年中考試題第26題都考查了二次函數(shù)動點、存在點問題；2015年和2014年中考試題第26題考查了二次函數(shù)存在點問題；2013年中考試題第14題都考查了動點函數(shù)圖象問題．類型一動點函數(shù)圖象問題 此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)解析式判別圖象的變化．例1

(2016·濟南)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M，N，E分別是AB，AD，CB上的點，AM＝CE＝1，AN＝3.點P從點M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB－BE向點E運動，同時點Q從點N出發(fā)，以相同的速度沿折線ND－DC－CE向點E運動，當其中一個點到達后，另一個點也停止運動．設△APQ的面積為S，運動時間為ts，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為(

)

【分析】

由點Q從點N出發(fā)，沿折線ND－DC－CE向點E運動，確定出點Q分別在ND，DC，CE運動時對應的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對應的函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)解析式確定對應的函數(shù)圖象．【自主解答】

如圖，過點D作DF⊥AB于點F，過點Q作QG⊥AB于點G，當0≤t≤2時，點Q在線段ND上．∵AB∥CD，∠B＝90°，∴四邊形BCDF是矩形，∴DF＝BC＝4，1．(2017·白銀)如圖1，在邊長為4cm的正方形ABCD中，點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿AB→BC的路徑運動，到點C停止．過點P作PQ∥BD，PQ與邊AD(或邊CD)交于點Q，PQ的長度y(cm)與點P的運動時間x(s)的函數(shù)圖象如圖2所示．當點P運動2.5s時，PQ的長是()√2．(2017·葫蘆島)如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點P和點Q分別從點B和點C出發(fā)，沿射線BC向右運動，且速度相同，過點Q作QH⊥BD，垂足為H，連接PH.設點P運動的距離為x(0＜x≤2)，△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為()√類型二二次函數(shù)綜合題 二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學的必考問題，一般作為壓軸題出現(xiàn)，常與動點、存在點、相似等相結(jié)合，難度較大，是考生失分的重災區(qū)．1．二次函數(shù)動點問題例2(2017·濱州)如圖，直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(－4，0)，B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點C.(1)求直線y＝kx＋b的函數(shù)解析式；(2)若點P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；(3)若點E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；(2)過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設H(m，m＋3)，利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時的P點的坐標；(3)設C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)確定出C′點的坐標，利用(2)中所求函數(shù)解析式求得d的值，即可求得CE＋EF的最小值．【自主解答】(1)∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)，B(0，3)，(2)如圖，過點P作PH⊥AB于點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N.設H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°.∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠PHN.∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.∵MA∥y軸，∴△MAH∽△OBA，(3)如圖，作點C關(guān)于直線x＝1的對稱點C′，過點C′作C′F⊥AB于F，交拋物線的對稱軸x＝1于點E，此時CE＋CF的值最?。鉀Q二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的解析式設出動點的坐標或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算.3．(2017·菏澤)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B(4，0)，與過A點的直線相交于另一點D(3，)，過點D作DC⊥x軸，垂足為C.(1)求拋物線的解析式；(2)點P在線段OC上(不與點O，C重合)，過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM面積的最大值；(3)若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使以點M，C，D，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(2)設直線AD的解析式為y＝kx＋b，2．二次函數(shù)存在點問題例2(2017·蘇州)如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OB＝OC.點D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，且CD＝2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．(1)求b，c的值；(2)如圖①，連接BE，線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標；(3)如圖②，動點Ρ在線段OB上，過點Ρ作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段ΝQ的長度最?。咳绻嬖?，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由．【分析】(1)由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；由OB＝OC，可用c表示出B點坐標，代入拋物線解析式可求得c的值；(2)可設F(0，m)，則可表示出F′的坐標，由B，E的坐標可求得直線BE的解析式，把F′坐標代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點的坐標；(3)設點P坐標為(n，0)，可表示出PA，PB，PN的長，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q，R，N的坐標，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點的坐標．【自主解答】(1)∵CD∥x軸，CD＝2，∴拋物線對稱軸為直線l：x＝1，∴－＝1，b＝－2.∵OB＝OC，C(0，c)，∴B點的坐標為(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3.(2)設點F的坐標為(0，m)．∵對稱軸為直線l：x＝1，∴點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標為(2，m)．∵直線BE經(jīng)過點B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的解析式為y＝2x－6.∵點F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即點F的坐標為(0，－2)．(3)存在點Q滿足題意．設點P坐標為(n，0)，則PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.如圖，作QR⊥PN，垂足為R，∵S△PQN＝S△APM，∴(n＋1)(3－n)＝(－n2＋2n＋3)·QR，∴QR＝1.①點Q在直線PN的左側(cè)時，Q點的坐標為(n－1，n2－4n)，R點的坐標為(n，n2－4n)，N點的坐標為(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的解析式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在.4．(2016·日照)如圖1，拋物線y＝－[(x－2)2＋n]與x軸交于點A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，連接BC.解：(1)∵拋物線的對稱軸是x＝2，∴m－2＋2m＋3＝4，解得m＝1.∴A(－1，0),B(5，0)．把A(－1，0)代入拋物線解析式，得－(9＋n)＝0，解得n＝－9.∴m＝1，n＝－9.3．二次函數(shù)相似問題例4(2017·棗莊)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為(6，0)，點C坐標為(0，6)，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點F是拋物線上的動點，當∠FBA＝∠BDE時，求點F的坐標；(3)若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．【分析】(1)由B，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；(2)過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；(3)由M，N兩點關(guān)于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設出Q點的坐標，則可表示出M的坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．【自主解答】

(2)如圖，當點F在x軸上方時，過F作FG⊥x軸于G，連接BF.(3)設對角線MN，PQ交于點O′，如圖．∵點M，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上，設點Q的坐標為(2，2n)，則點M的坐標為(2－n，n)．∵點M在拋物線y＝－x2＋2x＋6的圖象上，∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6，化簡得n2＋2n－16＝0，解得n1＝－1＋，n2＝－1－，∴滿足條件的點Q有兩個，坐標分別為Q1(2，－2＋2)或Q2(2，－2－2)．二次函數(shù)相似問題常與動點、存在點相結(jié)合，利用動點或存在點的坐標表示出與相似三角形有關(guān)的線段長，要注意邊的對應有多種可能，對每一種情況都要具體分析討論，然后利用相似三角形的對應邊成比例列出方程，通過解方程求得結(jié)果，還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實際情況．5．(2016·濟南)如圖1，拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3(a≠0)與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B.在x軸上有一動點E(m，0)(0<m<4)，過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)解析式；(2)設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若求m的值；(3)如圖2，在(2)的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)，連接E′A，E′B，求E′A＋E′B的最小值．6．(2016·萊蕪)如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(－1