數(shù)值分析計算方法試題集及答案

#H-154)由-解得x=(-227.08.47692-177.69/4.將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣U,其中A=15，然后求解該1546方程組Ax二。（9分）_1__1261c=2113631_1_求解Ly=b得y-1；求解Ux=1—5」答案:5.用直接三角分解y得方程的解為:Doolittle）法解方程組（不選主元）14_5714|/111I481114|內(nèi)|=!37161320261X31651182940一乂一衛(wèi)5一解：_111123145112111234L=1111,U=111113211123y證明解:T1)Ikll""十*+…+疋◎總忖卜機7.設(shè)二”，證明:證明：由定義可知：X：:。X2|+[||+|Xn|=||x||X2|+[||+|Xn|=||x||hL=maXllX^Xi十從而x^x^nx：：由此可以看到X1可由X：:控制。然后求解該方程組[32 1〕| 2/31/31|L 1/2，再解先求解■12/3.1/311/2Iy2r■然后求解該方程組[32 1〕| 2/31/31|L 1/2，再解先求解■12/3.1/311/2Iy2r■4i3.5得Y=■2j-4〕5/6J/4j31/21得X1'1/2j49、A=—1〕0-1，貝yA的(Doolittle)LU分解為A=IJL32 18.將矩陣A分解為單位下三角矩陣 L和上三角矩陣U，其中A=2 21，1114Ax=3.5<2丿-1解：A=L?U=2/3 1-1]4 -1 0-1]4 -1 0〕A=-1/4 1154 -10 -4/151一' 56/15一答案:x12x23x3=1410、用直接三角分解(Doolittle)法解方程組 2x15x22x^18。3x-ix25x3=20答案：解:jF123121||1-4'3-51上-24UxA=LU=令Ly=b得y二(14,-10,-72)T,=y得x=(1,2,3)T.11、用列主元素消元法求解方程組5—43X2=-1221JX3一■11■11]「X1]■-413-4解:■15-1-4-4[-1211叩r2> 7■51-1-12-41115-43-125-43-12「2一口5T01280131792555555br13179128500555一555一5-43-12131790X31313X313回代得12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組:X14X22X3二24*3洛+x2+5x3=34、2洛+6x2+x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.3333

0.00000.000001.93759.6875x=2.0000,3.0000,5.0000T第八章線性方程組的迭代法一、填空題1、用Gauss-Seidel迭代法解方程組丿xi+ax2—4，其中玄為實數(shù)，方法收斂的充要條件2ax〔+x2=—3是a是a滿足J2:::a：：：2,(申=(1—5x2k))/3'(坤) (W)/CC/,(申=(1—5x2k))/3'(坤) (W)/CC/2 =一為/20_，該迭代格2、求解方程組p.2x1+4X2=0的高斯—塞德爾迭代格式為式的迭代矩陣的譜半徑1'(M)=12。X+1.6x2=13、寫出求解方程組廠0.4x1+x2-2的Gauss-Seidel迭代分量形式'X1（kH1）=1—1.6x#） 『0 —1.6、』^專） 卜十=0,1，…兇丄2+°.曲 丿 ，迭代矩陣為e-°.64丿，此迭代法是否收斂 收斂。4、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯 -塞德爾迭代都收斂.5、高斯--塞爾德迭代法解線性方程組的迭代格式中求若二二-35、高斯--塞爾德迭代法解線性方程組的迭代格式中求若二二-3:則矩陣A的譜半徑p（A）=1_（I1）A=二7、r，叭則a的譜半徑“（A）=岳

、單項選擇題:1、Jacobi迭代法解方程組Ax=b的必要條件是(C)。A.A.A的各階順序主子式不為零 B■(A)1A/A/Can=0,i=1,2,,n-22A=052、設(shè) 】00A. 2B-311一7，則"(A)為(c).5 C.7(k卑) (k)3、解方程組Ax二b的簡單迭代格式xBxg收斂的充要條件是(b(A)'(A)<1,(B)"(B)<1, (C) "(A) 1,(D) '(B) 1三、問答題1.迭代法--■■ ■■■-■■- 收斂的充要條件是什么？如果卩丨能否說明迭代法不收斂？用什么表示迭代法的收斂速度？答：迭代法收斂的充要條件是 "-',當(dāng)二—-時因-「-一丨計不一定能使"■■■'-1,故不能說明迭代法不收斂。反之 IFNU〔則迭代法收斂。三、計算題：1.方程組+2x2+ ■_12-心+4心+2勺=202町-盹+10x3=3(1)寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以；'：一W 計算到涉心―嚴(yán)co*f 0 為止.(1)J法得迭代公式是洎旳=-l(12+2x^十夢)工嚴(yán)詁(20+帶_2靑))x嚴(yán)二-1(3- +3^),^=0,1,-*取_1 ，迭代到18次有嚴(yán)二（-^3.999996^.999974,199999）7|xcm-x（18>|L<04145x10^GS迭代法計算公式為”叫-撲十汕十皆））護）冷（20十嚴(yán)一2當(dāng)）=丄（弓-2皆叫+起3）朮=0丄…^09156x10^2.設(shè)方程組證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散解：Jacobi迭代為=丄（$-牛品I）an=丄（?如其迭代矩陣J121P（君）=譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為護=—〔外-知詁i）眄1護=—a22其迭代矩陣angall其譜半徑為由于廣広—「匸，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時收斂或同時發(fā)散。

3.下列方程組Ax=b,若分別用J法及GS法求解，是否收斂？TOC\o"1-5"\h\z'1 2 -2A-1 1 1\o"CurrentDocument"2 1■■解：Jacobi法的迭代矩陣是02-2「2B=D4(Z+27)=-101,det(2/-B)=1兄_22022即故〔兄一I,J法收斂、-21=0AGS法的迭代矩陣為100G=co-Ly切=110_221_A2-2det(ZZ-G)=02-23二兄（兌00xt—2故：4"解此方程組的GS法不收斂。0-220-2200-1=02-300Q_0022)'=0’久1= =咼=2)0db100a,detA豐0,用■■,b表示解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充分必要條件解'o-旦0a010To-Aq_b,det(-U—B)=b2b1010W100上00a255J法迭代矩陣為B—jcK5)=^S<110，故J法收斂的充要條件是"二。GS法迭代矩陣為ioo60—a0G=b1000 0-b0*5—_000_0-^0WOaV50000-ba5O00a102100□2h10500，abA- 50aCo)=-免忙I由100 得GS法收斂得充要條件是3-4 3 01[2415.已知方程組AX=B,其中A=3 4-1,B=30-0-14^11廠24」迭代法的分量形式。迭代法和Gauss-Seidel迭代矩陣的譜半徑列出Jacobi求出Jacobi答案：(1)分量形式，J法為(盼DAn二扣4-?羅)二￡(-24+君*】!，GS法為6.An寸24-卿)=1(30-3^+^)=占(-24+舄綁■1實數(shù)a=0，考察矩陣A=01,試就方程組Ax=b建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的計算公式。討論 a取何值時迭代收斂。解：當(dāng)實數(shù)a^O時Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為TOC\o"1-5"\h\z0 -a 0 0 -a 02Bj= -a 0 —a,民=0 a -a3 20 —a 0_ -0 —a a由det[I—Bj=0,求得Bj的特征值為：■!=0,■2=?一2a,■3--2a，則':(B^=■.2a,互 ,2a時，Jacobi2 2迭代法收斂;由deV/I-Bg=0,求得B的特征值為：’1='2=0,■3=2a?,則門BG=2a2,當(dāng)2 、.2——：：a時，Gauss-Seidel2 2迭代法收斂;4x12x2x3=11x14x22x3二187.用高斯-塞德爾方法解方程組 2x1'x2'5x3=22,取x(0)=(0,0,0)T,迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式(k卅) 1“彳c(k) (k)、x^j =—(11_2x；-x3)4」(18—X1(r—2x3k))45k(k)X1(k)X2(k)X3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019x3f3x12x210x3=15*10X[—4x2—x3=58、對方程組?2x1+1°X2-4X3=8試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；取初值=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求||x(k⑴-x(k)||二<10^3。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)10x〔_4x2_x3=5“2X[+10x2-4x3=83X[+2x2+10x3=15故對應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂 ?迭代格式為泮切=丄( 4x2k)+x3k)+5)10加嚴(yán)冷(一2嚴(yán) +4x3k)+8)x3“)冷(—3x_T)—2x2F +15)取X(0)=(0Q0)t,經(jīng)7步迭代可得：、x2「5、-1丿N丿C8>01-31-1 4x* x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)T01-31-1 49、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組取x（0）=（0,0,0）T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：x1k1)<(k)5)k(JXIJ5I-x3k)-i)k(JXIJ5I(k^) 1 (k*)亠(k+l)TOC\o"1-5"\h\zX3 =—(_Xi +X2 -8)i 40 11 -3 1k(k)x；x2k)x(k(k)x；x2k)x(k)x311.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526系數(shù)矩陣」 1 4-嚴(yán)格對角占優(yōu)，故 Gauss-Seidel迭代收斂取x(0)=(0,0,0)T,列表計算如下：AX二f，其中10、（8分）已知方程組4 3 【A=3 4 -1'.-14^（1） 列出Jacobi（2） 求出Jacobi「241迭代法和Gauss-Seidel迭代矩陣的譜半徑。迭代法的分量形式。'x；?J(24—3x2k))4』x嚴(yán)￡(3O—3Xi(k)+x3k))

xFJ(—24+x2k))

4解：Jacobi迭代法：l k=°，1,2,3,…x(k1)二(24—3x；k))4x(k1)二(24—3x；k))4x2kl^-(3^3x；(k1)x3k))4二1(—24x2k1))4k=0,1,2,3,x3k1)Gauss-Seidel迭代法：-O-34O1Bj D(LU)=-34O34?(Bj)=」°)=O.79O569411、(1O分)已知方程組Ax=b，其中2111A=1 2 1b=1'112]Jj列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;討論上述兩種迭代法的收斂性。解：(1)Jacobi迭代法:x1k出=(1-x2k)—x3k))/2r2k出=(1—x1k)—x3k))/2Jacobi迭代矩陣:x3k1)=(1-x：k)-x2k))/Jacobi迭代矩陣:22O121O2121L211'(B)二1 收斂性不能確定(2)Gauss-Seidel迭代法:x1k。=(1-x2k)-x3k))/2’x2kU(1-x1的_x3k))/2x3kJ(1-x1k制—x2k+))/2Gauss-Seidel迭代矩陣:(B)二12、(1)(2)G=(D-L)=08-5一、、7i16<112i4該迭代法收斂■1（15分）已知方程組Ax=b，其中a=1-2I11,b=2，'3J迭代法的分量形式;2寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel判斷兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快;解：(1)Jacobi迭代法的分量形式X(k仁1-2x2k)+2x3k)*x2?=2一x1k)—x3k)；k=0,1,2,|||x3k1)=3-2x1k)-2x2k)Gauss-Seidel迭代法的分量形式「x仟)=1—2x2k)+2x3k)’x2k—2-x1k謝-x3k)；k=0,1,2,川x3k也=3—2xT)_2x2k也(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣為TOC\o"1-5"\h\z0-2 2B=Da(L+U)=-1 0 -1-2 -2 0‘1=匕=‘3=0， (BH0:：1，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為0-22G=(D-L)°U=0 2-3002一11?1=0,2=3=2， '(B)二2 1，Gauss-Seidel迭代法發(fā)散第九章特征值與特征向量一、計算題1.用幕法求矩陣A1.用幕法求矩陣A-<1仁的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量,迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于 0.05,取特征向量的初始近似值為1,0T解:Ui=AV0 =1:,■1（1）=Ui,v0 =10.005Ui(0.9950、||Ui廠009950,ViU2②=Avi‘10.05)J.095丿,■i2)（i）(2)=0.11 0.05=(U2,Vi)=10.108,U2'0.99