（小白高考）新高考數(shù)學(零基礎)一輪復習教案8.6《拋物線》 (原卷版)

頁第六節(jié)拋物線核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結合拋物線的定義，考查求拋物線方程、最值等問題，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．2．結合拋物線的幾何性質(zhì)及幾何圖形，求其相關性質(zhì)及性質(zhì)的應用能力，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝﹣2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝﹣2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝﹣eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝﹣eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣y0＋eq\f(p,2)3．拋物線焦點弦的幾個常用結論設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(5)焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|；(6)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦；(7)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(8)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上．[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．已知拋物線C與雙曲線x2﹣y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4eq\r(2)x2．若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.eq\f(17,16)B．eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．03．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點，則p＝()A．2B．3C．4D．8二、易錯點練清1．拋物線y＝﹣2x2的準線方程是()A．x＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,8)C．y＝eq\f(1,2)D．y＝eq\f(1,8)2．過點P(﹣2,3)的拋物線的標準方程是()A．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)yD．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)y3．若拋物線的焦點在直線x﹣2y﹣4＝0上，則此拋物線的標準方程為______________．考點一拋物線的定義及應用[典例](1)已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2B．3C．6D．9(2)已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，若A(3,2)，則|PA|＋|PF|的最小值為________，此時點P的坐標為________．[方法技巧]1．利用拋物線的定義可解決的常見問題軌跡問題用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關的軌跡是否為拋物線距離問題涉及拋物線上的點到焦點的距離和點到準線的距離問題時，注意在解題中利用兩者之間的相互轉化2．拋物線定義的應用規(guī)律[提醒]建立函數(shù)關系后，一定要根據(jù)題目的條件探求自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．[針對訓練]1．若點A為拋物線y2＝4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，|AF|＝5，點P為直線x＝﹣1上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為()A．8B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41)D．eq\r(65)[典例](1)已知拋物線y2＝ax上的點M(1，m)到其焦點的距離為2，則該拋物線的標準方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝3xD．y2＝5x(2)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點A(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[方法技巧]拋物線的標準方程的求法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離)，再結合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程；②當焦點位置不確定時，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝﹣2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my(m≠0)．[針對訓練]1.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x2．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．考點三拋物線的幾何性質(zhì)[典例](1)設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)(2)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________.[方法技巧]拋物線幾何性質(zhì)的應用技巧(1)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．(2)與拋物線的焦點弦長有關的問題，可直接應用公式求解．解題時，需依據(jù)拋物線的標準方程，確定弦長公式是由交點橫坐標還是由交點縱坐標定，是p與交點橫(縱)坐標的和還是與交點橫(縱)坐標的差，這是正確解題的關鍵．[針對訓練]1．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)2．(多選)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，則下列結論正確的是()A．點P到拋物線焦點的距離為eq\f(3,2)B．過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為eq\f(5,32)C．過點P與拋物線相切的直線方程為x﹣2y＋1＝0D．過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點，則直線MN的斜率為定值eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線的標準方程為()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的點到準線的最小距離為eq\r(3)，則拋物線的焦點坐標為()A．(eq\r(3)，0)B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0)D．(0,2eq\r(3))3．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的一點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p＝()A．2B．4C．6D．84．若直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，且AB⊥x軸，|AB|＝4eq\r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()A．1B．2C．3D．55．已知拋物線y2＝8x的焦點為F，點P在該拋物線上，且P在y軸上的投影為點E，則|PF|﹣|PE|的值為()A．1B．2C．3D．46．已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為________．二、綜合練——練思維敏銳度1．若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1B．2C．4D．83．雙曲線eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為()A.eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)4．已知點A(0,2)，拋物線C1：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，則a的值為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．45．設拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l，P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A．經(jīng)過點OB．經(jīng)過點PC．平行于直線OPD．垂直于直線OP6．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6B．8C．12D．167．已知拋物線y2＝2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x﹣2)2＋y2＝1的兩條切線，則直線BC的方程為()A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝08．(多選)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，