2023-2024學年天津市南開大附屬中學八年級數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學年天津市南開大附屬中學八年級數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在二次根式，，，中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．禽流感病毒的形狀一般為球形，直徑大約為，該直徑用科學記數法表示為（）A． B． C． D．3．已知方程組，則的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是()A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6xB．10x2﹣5x=5x(2x﹣1)C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2D．a(m+n)=am+an5．如圖，是學校舉行“愛國主義教育”比賽活動中獲得前10名學生的參賽成績，對于這些成績，下列說法正確的是（）A．眾數是90分 B．中位數是95分C．平均數是95分 D．方差是156．如圖所示，在第1個中，；在邊上任取一點，延長到，使，得到第2個；在邊上任取一點，延長到，使，得到第3個…按此做法繼續(xù)下去，則第個三角形中以為頂點的底角度數是（）A． B． C． D．7．4的算術平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±168．小東一家自駕車去某地旅行，手機導航系統(tǒng)推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均時速是線路一上車速的1.8倍，線路二的用時預計比線路一用時少半小時，如果設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則下面所列方程正確的是（）A． B． C． D．9．在Rt△ABC中，已知AB=5，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，若△ABC內有一點P到△ABC的三邊距離相等，則這個距離是()A．1 B． C． D．210．如圖，△AOC≌△BOD，點A與點B是對應點，那么下列結論中錯誤的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝BO D．∠A＝∠B二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于O點，則圖中有__對全等三角形．12．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM的周長的最小值為_____．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（2，-1），點C在同一坐標平面中，且△ABC是以AB為底的等腰三角形，若點C的坐標是（x，y），則x、y之間的關系為y=______（用含有x的代數式表示）．14．如圖，點B，A，D，E在同一條直線上，AB＝DE，BC∥EF，請你利用“ASA”添加一個條件，使△ABC≌△DEF，你添加的條件是_____．15．游泳者在河中逆流而上，于橋A下面將水壺遺失被水沖走，繼續(xù)前游30分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺，在橋A下游距橋1.2公里的橋B下面追到了水壺，那么該河水流的速度是_________．16．命題“如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等”的逆命題是_____．17．無論取什么實數，點都在直線上，若點是直線上的點，那么__________．18．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點M、N分別是BD和BC上的動點，則CM+MN的最小值是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）某校對全校3000名學生本學期參加藝術學習活動的情況進行評價，其中甲班學生本學期參觀美術館的次數以及藝術評價等級和藝術賦分的統(tǒng)計情況，如下表所示：圖（1）圖（2）(1)甲班學生總數為______________人，表格中的值為_____________；(2)甲班學生藝術賦分的平均分是______________分；(3)根據統(tǒng)計結果，估計全校3000名學生藝術評價等級為級的人數是多少？20．（6分）某學校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目學校，為進一步推動該項目的開展，學校準備到體育用品店購買直拍球拍和橫拍球拍若干副，并且每買一副球拍必須要買10個乒乓球，乒乓球的單價為2元/個，若購買20副直拍球拍和15副橫拍球拍花費9000元；購買10副橫拍球拍比購買5副直拍球拍多花費1600元．（1）求兩種球拍每副各多少元？（2）若學校購買兩種球拍共40副，且直拍球拍的數量不多于橫拍球拍數量的3倍，請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需費用．21．（6分）已知：如圖，在長方形中，，動點從點出發(fā)，以每秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)，以每秒的速度沿向點運動，同時出發(fā)，當點停止運動時，點也隨之停止，設點運動的時間為秒．請回答下列問題：（1）請用含的式子表達的面積，并直接寫出的取值范圍．（2）是否存在某個值，使得和全等？若存在，請求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．22．（8分）先化簡，再求值：已知，求的值．23．（8分）某火車站北廣場將于2018年底投入使用，計劃在廣場內種植A、B兩種花木共6600棵，若A花木數量是B花木數量的2倍少600棵.（1）A、B兩種花木的數量分別是多少棵？（2）如果園林處安排26人同時種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應分別安排多少人種植A花木和B花木，才能確保同時完成各自的任務？24．（8分）如圖①，△ABC是等邊三角形，點P是BC上一動點（點P與點B、C不重合），過點P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，連接BN、CM．（1）求證：PM+PN＝BC；（2）在點P的位置變化過程中，BN＝CM是否成立？試證明你的結論；（3）如圖②，作ND∥BC交AB于D，則圖②成軸對稱圖形，類似地，請你在圖③中添加一條或幾條線段，使圖③成軸對稱圖形（畫出一種情形即可）．25．（10分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，CD、BE分別是△ABC的高和角平分線，求∠BCD、∠CEB的度數．26．（10分）計算：（1）（2）分解因式（3）解分式方程

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據最簡二次根式的概念解答即可．【詳解】∵，2，不能化簡，不能化簡．∴，是最簡二次根式．故選B．【點睛】本題考查了最簡二次根式的概念，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式的概念．2、A【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為（，n為正整數）．與較大數的科學記數法不同的是其所用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】故選：A【點睛】本題考查了用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．3、C【分析】兩式相減，得，所以，即．【詳解】解：兩式相減，得，∴，即，故選C．【點睛】本題考查了二元一次方程組，對原方程組進行變形是解題的關鍵4、B【分析】根據因式分解的定義逐個進行判斷即可.【詳解】解：A、變形的結果不是幾個整式的積，不是因式分解；B、把多項式10x2﹣5x變形為5x與2x﹣1的積，是因式分解；C、變形的結果不是幾個整式的積，不是因式分解；D、變形的結果不是幾個整式的積，不是因式分解；故選：B．【點睛】本題主要考察了因式分解的定義，理解因式分解的定義是解題的關鍵.5、A【解析】根據眾數、中位數、平均數、方差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數據分別列出算式，求出答案．【詳解】A、90分的人數最多，眾數是90分，正確；

B、中位數是90分，錯誤；

C、平均數是分，錯誤；D、分，錯誤；

故選：A．【點睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數、中位數、平均數、方差，關鍵是能從統(tǒng)計圖中獲得有關數據，求出眾數、中位數、平均數、方差．6、C【解析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1C的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠DA2A1，∠EA3A2的度數，找出規(guī)律即可得出第n個三角形中以An為頂點的底角度數．【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°…∴第n個三角形中以An為頂點的底角度數是（）n?1×75°．故選C.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出∠DA2A1，∠EA3A2的度數，找出規(guī)律是解答此題的關鍵．7、B【解析】若一個正數x的平方等于a，即x2=a，則這個正數x為a的算術平方根，可得4的算術平方根為2.故選B.8、A【分析】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為1.8xkm/h，根據線路二的用時預計比線路一用時少半小時，列方程即可．【詳解】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為1.8xkm/h，由題意得：，故選A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是，讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程．9、A【分析】連接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，根據S△APC+S△APB+S△BPC=S△ACB，列出方程，即可求解．【詳解】連接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，由題意得：PE=PD=PF，S△APC+S△APB+S△BPC=S△ACB，∴，即，解得：PD=1．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式，添加合適的輔助線，構造方程，是解題的關鍵．10、A【分析】根據全等三角形的對應邊、對應角相等，可得出正確的結論，可得出答案．【詳解】∵△AOC≌△BOD，∴∠A=∠B，AO=BO，AC=BD，∴B、C、D均正確，而AB、CD不是不是對應邊，且CO≠AO，∴AB≠CD，故選A．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊、角相等是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】根據平行四邊形的性質及全等三角形的判定方法進行分析，從而得到答案．【詳解】解：∵ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），同理：△ADO≌△CBO；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），同理：△ACD≌△CAB；∴圖中的全等三角形共有1對．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定；熟記平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．12、1．【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關于直線EF的對稱點為點C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結論．【詳解】連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點A關于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，軸對稱-最短路線問題.能根據軸對稱的性質得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解決此題的關鍵.13、【分析】設的中點為，過作的垂直平分線，通過待定系數法求出直線的函數表達式，根據可以得到直線的值，再求出中點坐標，用待定系數法求出直線的函數表達式即可．【詳解】解：設的中點為，過作的垂直平分線∵A(1，3)，B(2，-1)設直線的解析式為，把點A和B代入得：解得：∴∵D為AB中點，即D(，)∴D(，)設直線的解析式為∵∴∴∴把點D和代入可得：∴∴∴點C(x，y)在直線上故答案為【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，中垂線的性質，待定系數法求一次函數的表達式，根據題意作出中垂線，再用待定系數法求出一次函數的解析式是解題的關鍵．14、【分析】由平行線的性質得出∠B＝∠E，由ASA即可得出△ABC≌△DEF．【詳解】解：添加條件：,理由如下：∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）；故答案為：【點睛】本題主要考查利用ASA判定三角形全等，找到另外一組相等角是解題的關鍵.15、0.01km/min【解析】解：設該河水流的速度是每小時x公里，游泳者在靜水中每小時游a公里．由題意，有=，解得x=1.1．經檢驗，x=1.1是原方程的解．1.1km/h=0.01km/min．故答案為：0.01km/min．點睛：本題考查分式方程的應用．分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題需注意順流速度與逆流速度的表示方法．另外，本題求解時設的未知數a，在解方程的過程中抵消．這種方法在解復雜的應用題時常用來幫助分析數量關系，便于解題．16、如果兩個角相等，那么兩個角都是直角【解析】試題分析：將一個命題的題設和結論互換即可得到原命題的逆命題，所以命題“如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等”的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角都是直角.考點：命題與逆命題.17、16【分析】由點坐標可求出直線的解析式，從而可找到和之間的關系，代入即可求得的值．【詳解】解：設點所在直線的解析式為，依題意得：∴，∵無論取什么實數，恒成立，∴，∴直線的解析式為，點是直線上的動點，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，即一次函數圖象上點的坐標一定適合此函數的解析式．18、1【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【詳解】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為30，AB＝10，∴×10×CE＝30，∴CE＝1．即CM+MN的最小值為1．故答案為1．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題(共66分)19、（1）50，5；（2）7.4；（3）600.【分析】（1）用B級的人數除以所占百分比即可得到甲班學生總數，用學生總數減去A，B，C級的人數可得到a的值；（2）根據加權平均數的計算方法求解即可；（3）用3000乘以樣本中A級所占的比例即可.【詳解】解：（1）甲班學生總數為：20÷40%＝50（人），a＝50－10－20－15＝5，故答案為：50，5；（2）甲班學生藝術賦分的平均分＝（分），故答案為：7.4；（3）（人），答：估計全校3000名學生藝術評價等級為級的人數是600人.【點睛】本題考查了統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖、求加權平均數以及樣本估計總體，能夠從統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖中獲取有用信息是解題的關鍵.20、（1）直拍球拍每副220元，橫拍球每副260元；（2）購買直拍球拍30副，則購買橫拍球10副時，費用最少．【解析】（1）設直拍球拍每副x元，根據題中的相等關系：20副直拍球拍的價錢+15副橫拍球拍的價錢＝9000元；10副橫拍球拍價錢－5副直拍球拍價錢＝1600元，建立方程組即可求解；（2）設購買直拍球拍m副，根據題意列出不等式可得出m的取值范圍，再根據題意列出費用關于m的一次函數，并根據一次函數的性質解答即可.【詳解】解：（1）設直拍球拍每副x元，橫拍球每副y元，由題意得，解得，，答：直拍球拍每副220元，橫拍球每副260元；（2）設購買直拍球拍m副，則購買橫拍球（40-m）副，由題意得，m≤3（40-m），解得，m≤30，設買40副球拍所需的費用為w，則w=（220+20）m+（260+20）（40-m）=-40m+11200，∵-40＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m=30時，w取最小值，最小值為-40×30+11200=10000（元）．答：購買直拍球拍30副，則購買橫拍球10副時，費用最少．點睛：本題主要考查二元一次方程組、不等式和一次函數的性質等知識點.在解題中要利用題中的相等關系和不等關系建立方程組和不等式，而難點在于要借助一次函數建立解決實際問題的模型并根據自變量的取值范圍和一次函數的增減性作出決策.21、（1）（0<t≤1.5），（1.5<t≤4），（4<t<5）；（2）當t=3時，△ABP和△CDQ全等．【分析】（1）分別討論①當Q在CD上時，②當Q在DA上時，③當Q在AB上時，表示出CQ，BP求出面積即可；（2）分別討論①當Q在CD上時，②當Q在AD上時，③當Q在AB上時，求出△ABP和△CDQ全等時的t值.【詳解】解：（1）①當Q在CD上時，如圖，由題意得CQ=2t，BP=t∴CP=5t（0<t≤1.5）②當Q在DA上時，（1.5<t≤4）③當Q在AB上時，由題意得BQ=112t（4<t<5）（2）①當Q在CD上時，不存在t使△ABP和△CDQ全等②當Q在AD上時，如圖，由題意得DQ=2t3要使△ABP≌△CDQ，則需BP=DQ∵DQ=2t3，BP=t∴t=2t3，t=3即當t=3時，△ABP≌△CDQ．③當Q在AB上時，不存在t使△ABP和△CDQ全等綜上所述，當t=3時，△ABP和△CDQ全等．【點睛】本題是對矩形動點問題的考查，熟練掌握矩形的性質是解決本題的關鍵，難度較大.22、，【分析】原式括號中的兩項分母分解因式后利用異分母分式加減法法則，先通分再運算，然后利用分式除法運算法則運算，約分化簡，最后把的值代入求值即可．【詳解】原式＝＝＝＝＝，當時，原式＝＝＝【點睛】本題考查了分式的混合運算，重點是通分和約分的應用，掌握因式分解的方法，分式加減和乘除法法則為解題關鍵．23、（1）A4200棵，B2400棵；（2）A14人，B12人.【解析】試題分析：（1）首先設B花木數量為x棵，則A花木數量是（2x-600）棵，由題意得等量關系：種植A，B兩種花木共6600棵，根據等量關系列出方程，再解即可；（2）首先設安排a人種植A花木，由題意得等量關系：a人種植A花木所用時間=（26-a）人種植B花木所用時間，根據等量關系列出方程，再解即可．試題解析：（1）設B花木數量為x棵，則A花木數量是（2x-600）棵，由題意得：x+2x-600=6600，解得：x=2400，2x-600=4200，答：B花木數量為2400棵，則A花木數量是4200棵；（2）設安排a人種植A花木，由題意得：，解得：a=14，經檢驗：a=14是原分式方程的解，26-a=26-14=12，答：安排14人種植A花木，12人種植B花木．【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．注意不要忘記檢驗．24、（1）見解析；（2）結論成立，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）先證明△BMP，△CNP是等邊三角形，再證明△BPN≌△MPC，從而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN＝BC；（2）BN＝CM總成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根據全等三角形的性質可得結論；（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，連接DF即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠AB