2023春步步高數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊期中檢測試卷

期中檢測試卷

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.已知i為虛數(shù)單位，則z==在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

鏟垢__i__i(l+2i)~2+i2,1.

解析z-i-2i-l-(2i)2-5—5+5b

其對應(yīng)的點(diǎn)（一I，目位于第二象限.

2.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=|3+4i|,則z的虛部為（）

5555

A./iC.一］iD.—2

答案D

解析?.?z（l+i）=|3+4i|=5,.?.z=71r=絲/?一景.?.復(fù)數(shù)z的虛部為一?.

惇，1）在向量4=（小，1）方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）

3.向量Z>=

A律1)

c(-9,1

答案B

aba坐%小+1i

解析在方向上的投影向量的坐標(biāo)為

bal?l(小"1々(小)2+1"

4.如圖，在△A8C中，AD=^AC9BP=^BD,若Q=Z矗+〃啟，則后的值為（）

C

DX\

4

A.-3B.3C.2D.-2

答案B

解析因?yàn)?/p>

所以8P=g8O=g(A￡>一泰)=看病一

~~?-?2-2■—

所以4尸=A8+B尸=]A8+§4C,

又辦=通+向7，

29J

所以2=§,〃=§,從而7=3.

5.在△48C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知匕=c,4=2/(l-sinA),則A

等于()

?3兀一兀—兀一兀

A彳BjC，4D%

答案C

解析由余弦定理得〃2=〃2+c2—2bccosA=2〃2—2按cosAy所以2按(1—sinA)=2按(1—cos

A),

所以sinA=cosA,即tanA=l,又0<4<兀，

7T

所以A=/.

6.己知根為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若m+(小-4)>0,則三苗等于()

A.iB.1C.-iD.-1

答案A

解析因?yàn)??+(%2—4)i>0,所以機(jī)+(??—4)i是實(shí)數(shù)，且《解得，〃=2,故^~~

[w2—4=0,2—21

2(1+i).

-2(l-i)-h

7.在△ABC中，點(diǎn)。在邊BC的延長線上，且戌7=3麗.若歷=品+(1—此/，-1<x<0,

則點(diǎn)。在()

A.線段BC上B.線段CC上

C.線段AC上D.線段AO上

答案B

解析VAO=A-A?+(1-X)AC,~|<X<0,

由向量共線定理可知O,B,C三點(diǎn)共線.

VBC=3CD,：.AC-AB^3>Ab--3AC,

.'.AD=—^AB+^AC.

又—2<x<0,

.?.點(diǎn)0在線段C￡>上，且不與C,。點(diǎn)重合.

8.2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在

舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲

線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花

曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一

段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊

長為6,則圖③中切認(rèn)赤的值為(

圖①圖②圖③

A.24B.6C.6^3D.6^2

答案A

解析在圖③中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P為與點(diǎn)N相鄰

的左側(cè)一個(gè)端點(diǎn).

|痂|=4,OM=^4cos1,.兀

1,4sin

一I8,即宓=(*0),

MP\=y

2

-

尸N

3由圖形知PN〃OM,

所以麗=9,

所以麗=痂+汾+麗=

所以痂?麗=2乂5+2#義￥=24.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的

得2分，有選錯(cuò)的得。分）

9.在△ABC中，下列命題正確的是（）

A.AB~AC=BC

B.A8+BC+CA=0

C.若（福+而?（嘉一最7）=0,則△ABC為等腰三角形

D.若戰(zhàn)＞矗＞0,則△48C為銳角三角形

答案BC

解析由向量的運(yùn)算法則知贏一啟=為，AB+BC+C4=0,故A錯(cuò)，B對；

?.?（贏+歷?（疝一危）=誦2一流2=0,

.,.誦2=宓，即AB=AC,

.二△ABC為等腰三角形，故C對；

\'ACAB＞Q,

...角A為銳角，但三角形不一定是銳角三角形，故D錯(cuò).

10.已知向量a,b滿足|a|=|例=1且步—2〃|=小，則下列結(jié)論正確的是（）

A.\a-b\=-\[2B.|a+b|=2

C.（a,b）=60。D.aVb

答案AD

解析因?yàn)棰?|臼=1且步一2a|=邛，則（占-2a）2=占2—4。仍+4/=5,解得。力=0,

\a-b\=—b）2yja2—2a-b-\-b-=,故A正確；

\a+—^/（a+ft）2—yJa2-\-2a-b-i-b2—y[2,故B不正確；

又|a|=|臼=1,ab=0,則a_Lb,故C不正確，D正確.

11.對任意zi，Z2,zee,下列結(jié)論成立的是（）

A.當(dāng)WWN*時(shí)，有/2"=2"讓"

B.若zl+z￡=0,則zi=0且Z2=0

C.互為共輾復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，且|,|2=02="7

D.Z1=Z2的充要條件是|Z||=|Z2|

答案AC

解析由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律知，A正確；

取Z1=1,Z2=i,滿足W+z2=0,但zi=0且Z2=0不成立，B錯(cuò)誤；

由復(fù)數(shù)的模及共舸復(fù)數(shù)的概念知，C正確;

由Z1=Z2能推出同=憶2|,但|Z1|=|Z2|推不出Zl=Z2,

因此|Z1|=|Z2|是Zl=Z2的必要不充分條件，D錯(cuò)誤.

12.已知aABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是（）

A.若cosA=cos3,則aABC為等腰三角形

B.若A>8,則sinA>sinB

C.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的AABC有兩個(gè)

D.若sin2A+sin2B<sin2C,則△4BC是鈍角三角形

答案ABD

解析對于A,若cosA=cos8,則A=B,此時(shí)△ABC為等腰三角形，故A正確；

對于B,若A>B,則〃>%,由正弦定理］，彳=】匕,得sinA>sinB成立，故B正確；

sinzisinij

對于C,由余弦定理可得

ZJ=^82+102-2X8X10X^=A/84=2V21.只有一解，故C錯(cuò)誤；

對于D,若siMA+siMBVsiMC,

則根據(jù)正弦定理得“2+按</,COSC=r7—<0,則C為鈍角，此時(shí)AABC是鈍角三角

形，故D正確.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若復(fù)數(shù)zi+z2=3+4i,z\—Z2=5—2i,則z1=.

答案4+i

解析兩式相加得2zi=8+2i,；.zi=4+i.

14.已知a=（l,-2）”=（1,2）,且。與b的夾角6為銳角,則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

答案（-8,_2）U（—2,，

解析由a與b的夾角。為銳角知a力>0且。與，不共線，即1-2%>0且2W—2,即，

且2r—2,故實(shí)數(shù)2的取值范圍為（-8,—2）U（—2,￡）.

15.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45。，沿傾斜角為30。的斜坡前進(jìn)2千米

后到達(dá)。處，又測得山頂B的仰角為75。，則山的高度8c為千米.

答案2

解析作QELBC,垂足為E,如圖所示.

由題意得ND4C=30°,ZBAC=45°,ZADE=\50°,NBDE=75°,

所以N8AD=15°,ZA￡>B=135°,/A2￡>=30°,且AO=2千米,

,.___,,『4一卅ADAB?2AB

在△ABO中'由正弦正理:二,a在sin30°=sin1350'

2迎

即T

-盅解得AB=2，2(千米),

22

所以BC=ABsin45。=2也義乎=2(千米).

16.在矩形ABC。中，AB=2,40=1.邊QC上的動(dòng)點(diǎn)P(包含點(diǎn)。，。與C8延長線上的動(dòng)

點(diǎn)Q(包含點(diǎn)8)滿足|5>|=|曲|,則麗?麗的最小值為.

答案i3

解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,A。所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系，

設(shè)尸(x,l),2(2,y),

由題意知0WxW2,

因?yàn)閨而|=|的|,所以|川=b|,所以x=-y.

所以一2WyW0.

因?yàn)榈?(—x,-1),PQ=(2~x,y-1),

所以B4-PQ=—x(,2—x)—(y—l)—x2—2x—y+1—x2~x+1^2+^,

所以當(dāng)x=；時(shí)，皮質(zhì)取得最小值

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(10分)已知復(fù)數(shù)z=(%2—5,“+6)+(4—m—2)i(,wWR).

(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑵若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

力?2—5〃?+6=0,

解（1）由題意得，

加2—m—2#:0,

m=2或m=3,

解得，

加"2且"?"一1,

綜上可得，m=3.

機(jī)2—5，〃+6>0,

（2）由題意得

/n2—W—2<0,

m>3或加<2,

解得

-l<w<2,

所以一lVmV2,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（一1,2）.

兀1

18.（12分）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=不於7=?九

求tanC的值.

IJT

解由尻一層=產(chǎn)，A=￡及正弦定理得

sin2fi—^=^sin2C,所以一cos2B=sin2C.

又由4=；,得3+。=竽,

-cos仔-20

則一cos28==sin2C

=2sinCeosC,

所以sin2C=2sinCeosC,

又sinCWO,則sinC=2cosC,

故tanC=2.

19.（12分）已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中。=（1,3）.

（1）若|c|=4,且c〃m求c的坐標(biāo)；

（2）若步|=1,且（a+?_L（a—|b）,求a與b的夾角。.

解（1）因?yàn)閏〃a,所以存在實(shí)數(shù)7（2eR）,使得c=Az=（九小心,

又|c|=4,所以卜4+3入2=4,解得義=±2.

所以c=（2,2巾）或c=（-2,一2小）.

（2）因?yàn)椋╝+。）_L（a一/》）,

所以（a+Z＞）（a—|b）=0,

即解一3會(huì)仍一5^^2=(),

3S

所以4—^X2X1Xcos。一2=0,

所以cos＜9=1,

因?yàn)?￡[0,兀],所以。=與

20.(12分)已知a,b,c分別為aABC中內(nèi)角A,B,C的對邊，若aABC同時(shí)滿足下列四

個(gè)條件中的三個(gè)：?^=2中竇°；②cos2A+2cos4=1；③。=#；④6=2小.

(1)滿足三角形有解的序號組合有哪些？

(2)在(1)中所有組合中任選一組，并求對應(yīng)△ABC的面積.(若選擇多組組合解答，則按第一

個(gè)解答計(jì)分)

222

解⑴由①1?得3(a+c—b)=—2y]6acf

所以由余弦定理得cosB=黑=-3-

A

由②cos2A+2cos弓=1,得2cos2A+cosA—1=0,

1TT

解得cosA=/或cosA=-1(舍去)，所以A=§.

\[()12兀

因?yàn)閏os8=—kv—1且8￡(0,71),所以＜兀，

此時(shí)4+5＞兀，與A,B,。為△ABC的內(nèi)角矛盾.

所以XABC不能同時(shí)滿足①②.

故滿足三角形有解的序號組合為①@④或②③④.

(2)若△ABC滿足①③④，

因?yàn)閎2=a2+c2—2accosB,

所以8=6+廿+2義加XcX乎，即c2+4c—2=0,

解得c=yf6—2,又sinB=3.

所以△ABC的面積5=1?csinB=^~yf2.

若△ABC滿足②③④，

由正弦定喘1=焉得蓍需解得疝“1,

2

即B=l，

所以c=也，所以△ABC的面積S=Tac=小.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量。=(一1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,

t),C(ksin仇f)(0W0詞.

(1)若而_La,且而|=#|有\(zhòng)|,求向量荏；

(2)若向量啟與向量a共線，當(dāng)％>4,且fsind的最大值為4時(shí)，求蘇?女.

解(1)@=(〃-8,/),'：AB±a,

；.8—〃+2f=0,即鹿=8+2f.

又：小|為i|=|矗|,

...5X64=(〃-8)2+產(chǎn)=5產(chǎn)，解得.=±8,

...油=(24,8)或?yàn)?(-8,-8).

(2)Ac=(fein6?-8,t).

?.?啟與a共線，.*./=-2fein(9+16.

rsin6=(-2ksin。+16)sin0=-2%(sin。一*>+苧，

4

又；上>4,/.(XTCI,

K

437

當(dāng)sin時(shí)，/sin0取最大值丁.

KK

由芋=4,得％=8,此時(shí)6=5，女=(4,8),

殖灰=8X4+0X