大學(xué)物理4-剛體的轉(zhuǎn)動

第四章剛體的轉(zhuǎn)動1剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組．)剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的．說明：4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動2剛體平動質(zhì)點運動

平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動3轉(zhuǎn)動：分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動剛體的平面運動

4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動4剛體的一般運動可看作：隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動5一剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度角位移

角坐標(biāo)沿逆時針方向轉(zhuǎn)動沿順時針方向轉(zhuǎn)動<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動約定6角加速度剛體定軸轉(zhuǎn)動(一維轉(zhuǎn)動)的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正、負(fù)來表示.4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動7(1)

每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；(2)

任一質(zhì)點運動均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動的特點

(3)

運動描述僅需一個坐標(biāo)．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動8二勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的

=常量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動9三角量與線量的關(guān)系4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動10例1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動.試求：（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時，設(shè).飛輪做勻減速運動時，

t=0s

4–1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動11飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)過的圈數(shù)（2）時，飛輪的角速度12（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度4–1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動2222nsm/6.31sm/)π4(2.0--=×==wra13例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動．開始時，它的角速度，經(jīng)300s

后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1

．轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比．問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解令，即，積分得4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動14當(dāng)t=300s

時4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動15由得在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)END4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動16PO

:力臂對轉(zhuǎn)軸z

的力矩

一力矩

用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用．*4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩方向:右手螺旋法則17O討論

（1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量18O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量19

例1

有一大型水壩高110m、長1000m,水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.QyOxyOhxL4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量20解設(shè)水深h，壩長L，在壩面上取面積元，作用在此面積元上的力yOhxyQyOxL4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量21令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhxyL4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量22QyOyh對通過點Q的軸的力矩代入數(shù)據(jù)，得：4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量23O二轉(zhuǎn)動定律

（1）單個質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量24（2）剛體質(zhì)量元(質(zhì)點)受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量剛體:25剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量O4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量26討論（2）（3）（1）

不變轉(zhuǎn)動定律4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量27三轉(zhuǎn)動慣量

J

的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.

轉(zhuǎn)動慣量的單位：kg·m24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量28質(zhì)量離散分布

J的計算方法質(zhì)量連續(xù)分布

：質(zhì)量元4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量29

對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度

：質(zhì)量元4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量30剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．（1）與剛體的密度有關(guān)．（2）與剛體的幾何形狀及密度的分布有關(guān)．說明4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量31

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元例2一質(zhì)量為、長為

的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.O′O4–2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量324-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量O′O如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒33ORO

例3一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量4–2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量34四

平行軸定理質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量35質(zhì)量為m，長為L的細(xì)棒繞其一端的JP圓盤對P

軸的轉(zhuǎn)動慣量OO1d=l/2O1’O2O2’4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量3637竿子長些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量38(2)為瞬時關(guān)系．(3)轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同．(1)

,與方向相同．說明轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量39

例4

質(zhì)量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為ABC第四章剛體的轉(zhuǎn)動40解

(1)

用隔離法分別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系．ABCOO4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量41OO4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量42解得：4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量43如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量44（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動定律結(jié)合（1）中其它方程4–2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量45ABC4–2

力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動46穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動．試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度．例5一長為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動．由于此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmgθ4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量47

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得式中得m,lOmgθ4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量48由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量49

力的時間累積效應(yīng)：沖量、動量、動量定理．

力矩的時間累積效應(yīng)：沖量矩、角動量、角動量定理．4-3角動量角動量守恒定律50一質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點運動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動描述4-3角動量角動量守恒定律511

質(zhì)點的角動量質(zhì)量為

的質(zhì)點以速度在空間運動，某時對

O

的位矢為，質(zhì)點對O的角動量大小的方向符合右手法則角動量單位：kg·m2·s-14-3角動量角動量守恒定律52質(zhì)點以作半徑為

的圓周運動，相對圓心作用于質(zhì)點的合外力對參考點O

的力矩，等于質(zhì)點對該點O

的角動量隨時間的變化率.2

質(zhì)點的角動量定理4-3角動量角動量守恒定律53質(zhì)點角動量定理的推導(dǎo)4-3角動量角動量守恒定律54質(zhì)點的角動量定理：對同一參考點O，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量.

恒矢量

3

質(zhì)點的角動量守恒定律沖量矩4-3角動量角動量守恒定律55

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A

(該點在通過環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點開始下滑．設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計．求小球滑到點B

時對環(huán)心O

的角動量和角速度．4-3角動量角動量守恒定律56解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點的角動量定理4-3角動量角動量守恒定律因為57得由題設(shè)條件積分上式4-3角動量角動量守恒定律58例2一質(zhì)量為m=1.2×104Kg的登月飛船，在離月球表面高度h=100Km處繞月球作圓周運動．飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點A

時，它向外側(cè)短時間噴射出粒子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點B

,且OA

與OB

垂直．飛船所噴氣體相對飛船的速度為試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量是多少?(已知月球半徑R=1700km,g=1.62m．s-2)4-3角動量角動量守恒定律59BhORA已知4-3角動量角動量守恒定律求所需消耗燃料的質(zhì)量.60解設(shè)飛船在點A的速度,月球質(zhì)量mM

,由萬有引力和牛頓定律BhORA4-3角動量角動量守恒定律61BhORA4–3角動量角動量守恒定律第四章剛體的轉(zhuǎn)動當(dāng)飛船在A點以相對速度

向外噴氣的短時間里,飛船的質(zhì)量減少了Δm

而為

,并獲得速度的增量,使飛船的速度變?yōu)?其值為4-3角動量角動量守恒定律624–3角動量角動量守恒定律質(zhì)量

在A點和B

點只受有心力作用,角動量守恒BhORA4-3角動量角動量守恒定律63飛船在A點噴出氣體后,在到達(dá)月球的過程中,機(jī)械能守恒BhORA第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-3角動量角動量守恒定律64A點水平方向動量守恒BhORA4–3角動量角動量守恒定律(以月球為參考系,噴前動量為零,噴后動量也為零)4-3角動量角動量守恒定律65661

質(zhì)點的角動量大小的向符合右手法則4-3角動量角動量守恒定律

力矩的時間累積效應(yīng)：沖量矩、角動量、角動量定理．67質(zhì)點以作半徑為

的圓周運動，相對圓心2

質(zhì)點的角動量定理4-3角動量角動量守恒定律68

恒矢量

3

質(zhì)點的角動量守恒定律沖量矩4-3角動量角動量守恒定律69二剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律

1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量O4-3角動量角動量守恒定律70

剛體2

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理質(zhì)點mi受合力矩Mi4-3角動量角動量守恒定律713

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律，則若=常量對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，受合外力矩M，從到內(nèi)，角速度從

變?yōu)?/p>

，積分可得：4-3角動量角動量守恒定律72

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.討論

在沖擊等問題中常量4-3角動量角動量守恒定律73許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣滑冰跳水運動員跳水點擊圖片播放4-3角動量角動量守恒定律74自然界中存在多種守恒定律動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等4-3角動量角動量守恒定律75

例3

質(zhì)量很小長度為l

的均勻細(xì)桿，可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處，并背離點O

向細(xì)桿的端點A

爬行．設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m．問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點爬行?l/4O4-3角動量角動量守恒定律76解蟲與桿作為一個系統(tǒng)，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒4-3角動量角動量守恒定律77轉(zhuǎn)動后由角動量定理考慮到4-3角動量角動量守恒定律78以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能不守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理79子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒．角動量守恒；動量不守恒；4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理80圓錐擺圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守恒；機(jī)械能守恒．4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理81

例4一雜技演員M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來．設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為

，蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞．問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh4-3角動量角動量守恒定律82解碰撞前M落在

A點的速度碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度4-3角動量角動量守恒定律lll/2CABMNh83M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒ll/2CABMNh4-3角動量角動量守恒定律84解得演員N以u起跳，達(dá)到的高度：END4-3角動量角動量守恒定律85力的空間累積效應(yīng)：

力的功、動能、動能定理．力矩的空間累積效應(yīng)：

力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理．4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理86力矩的功一力矩作功4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理87二力矩的功率比較三轉(zhuǎn)動動能4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理88四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理比較

4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理89例1

留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率

作勻速轉(zhuǎn)動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動．設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為

，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；(2)唱片達(dá)到角速度

時需要多長時間；(3)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理90Rrdrdlo解(1)

如圖取面積元ds

=

drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理91于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理92

(3)

由

可得在0

到t的時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為

(2)

由轉(zhuǎn)動定律求

，(唱片J=mR2/2)（作勻加速轉(zhuǎn)動）驅(qū)動力矩做的功為由

可求得4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理9394例2

一長為l

,質(zhì)量為m’

的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動．一質(zhì)量為m

、速率為v

的子彈射入竿內(nèi)距支點為a

處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o

.問子彈的初速率為多少?解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動量守恒4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理95射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球為系統(tǒng)，E=常量．END4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理96Rhm'mm

和、分別為圓盤終了和起始時的角坐標(biāo)和角速度.

例3

一質(zhì)量為

、半徑為R

的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動.圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m

的物體.問物體在靜止下落高度h

時，其速度的大小為多少?設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計.

解拉力對圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理可得，拉力的力矩所作的功為m4–4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理97物體由靜止開始下落解得對物體m，由質(zhì)點功能定理m并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動y98

例4

質(zhì)量為

m1和m2的兩物體A、B,分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R

和r

，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2

，輪與軸承間的摩擦力略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩的張力。第四章剛體的轉(zhuǎn)動A4–4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理99解：分別對兩物體及組合輪作受力分析，根據(jù)質(zhì)點的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動定律，有