地磁第2章 地球主磁場的解析表示-1

第二章地球主磁場的解析表示§2.1西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子場的解析式）§2.2地磁場的高斯理論§2.3主磁場數(shù)學(xué)表達(dá)式，國際地磁參考場

在地磁場的研究中，存在兩個(gè)重要的問題：第一，能不能找到一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式把地磁要素的地面分布表示成地理坐標(biāo)的函數(shù);

第二，地磁場到底是起源于地球內(nèi)部還是地球外部。解決第一個(gè)問題，不僅對(duì)地磁場的分布可以給出精確的、定量的表示形式，而且對(duì)地磁場的構(gòu)成可以獲得全面而深刻的認(rèn)識(shí)。弄清第二個(gè)問題，正是進(jìn)一步從理論上解決地磁場成因問題的基礎(chǔ)。

A.吉爾伯特1600年的《磁體論》：把分散地點(diǎn)的地磁偏角和傾角測量資料組織在一個(gè)統(tǒng)一的框架之下，描繪在一個(gè)內(nèi)部環(huán)境與地球表面環(huán)境相同的太空艙中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，地球表面磁場的分布與位于地心的一個(gè)條形磁鐵所長生的磁場非常相似

1）地磁場相似位于地心的一個(gè)條形磁鐵所產(chǎn)生的磁場

2）地磁場起源于地球內(nèi)部。吉爾伯特《磁體論》→西蒙諾夫理論→高斯球諧分析→高斯-施密特理論B.1835年西蒙諾夫：地球磁場是一個(gè)其磁軸通過地球中心的均勻磁化球體的磁場，首次給出地磁場（偶極子場）的解析表達(dá)式C.1839年高斯：完全不管產(chǎn)生磁場的物理原因，把球諧分析理論用于地磁場研究，把地磁場表示為地理坐標(biāo)的函數(shù)，奠定了地磁學(xué)的理論基礎(chǔ)D.1885年施密特又發(fā)展了地磁場的球諧分析方法，引入施密特締合勒讓德函數(shù)磁偶極子的磁標(biāo)勢(1)定義——一對(duì)十分靠近且?guī)У攘慨愋源藕?+q和-q)所組成的磁荷體系稱為磁偶極子。（一個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)磁荷稱為單極子）矢量的大小為正負(fù)磁荷之間的距離,方向規(guī)定為從負(fù)磁荷指向正磁荷。，稱為偶極子的偶極矩

為Q點(diǎn)(+q位置)到觀察點(diǎn)M的距離為點(diǎn)(-q位置)到M點(diǎn)的距離為的中點(diǎn)到M的距離。r(2)偶極子的磁標(biāo)勢:+q和-q磁荷在M點(diǎn)的勢為:下面是該勢的具體推導(dǎo)簡化過程將r+,r-

轉(zhuǎn)換為它們與r

的關(guān)系,由余弦定理得因此有因?yàn)?略去比的方次更高的項(xiàng)，得同樣可得故得出磁偶極子場的磁標(biāo)勢的公式:§2.1西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子場的解析式）

一般

特殊均勻磁化物體的磁場均勻磁化球體磁場（磁偶極子磁場）（元磁鐵的組合，地心傾斜和地心重合泊松定理）一、泊松定理泊松定理—一個(gè)均勻磁化物體的磁標(biāo)勢U，可用磁化強(qiáng)度(單位體積的磁矩)與這個(gè)物體的引力位V的梯度的標(biāo)量積的負(fù)值來表示。用公式描述為其中證明：為磁化強(qiáng)度，在dv體積元內(nèi)的元磁矩

可視為一個(gè)磁偶極子,它在P點(diǎn)的磁標(biāo)勢為：為體積元Q到P的距離矢量。

證明整個(gè)磁化體在P點(diǎn)的磁勢：

∵J均勻，積分和求梯度是分別對(duì)Q、P二點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行，故可交換順序。∴其中，,從本質(zhì)上講，V是一個(gè)勻質(zhì)物體的引力位，G=1/ρ，僅只單位不同。二、均勻磁化球體的磁標(biāo)勢，磁場和磁偶極子力線方程。1.磁標(biāo)勢：當(dāng)r>R時(shí)，球體引力位

v為球體體積。

的直觀上的證明：

從數(shù)學(xué)上講，積分的實(shí)質(zhì)是求和，球體在P點(diǎn)的引力位為球體上各個(gè)體積元在P點(diǎn)的引力位的疊加，而關(guān)于球心對(duì)稱的任何兩個(gè)體積元在P點(diǎn)的引力位的疊加等效于位于球心的大小為這兩個(gè)體積元之和的體積元在P點(diǎn)的引力位。由泊松定理：

在電磁學(xué)中，磁偶極子磁標(biāo)勢為（國際單位制SI），所以是一個(gè)磁偶極子的磁標(biāo)勢（電磁單位制emu）結(jié)論：一個(gè)均勻磁化球體在球外一點(diǎn)的磁標(biāo)勢，等于一個(gè)放在地心共軸（偶極磁軸與地理軸重合）磁偶極子所產(chǎn)生的磁標(biāo)勢。

2.球心共軸磁偶極子的磁場球心共軸—磁心和地心重合，偶極軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合磁標(biāo)勢為：

Θ為地磁余緯，地磁余緯將在后面講到，在這里我們先引用。由于球心共軸，所以地磁余緯和地理余緯是相同的。為磁場強(qiáng)度與標(biāo)量磁位U有如下的關(guān)系：

又在球坐標(biāo)系下：在球心共軸的條件下，可以寫為的三個(gè)分量記為：其中的方向與相反，的方向與相同磁感應(yīng)強(qiáng)度所以球心共軸磁偶極子的磁場分量為又由地磁要素X，Y，Z的定義知磁場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的區(qū)別所以

在兩地磁極，或和r=a(a為地球半徑)，故在地磁赤道，和r=a,故兩者之比，即地磁兩極的磁場強(qiáng)度是地磁赤道的兩倍磁傾角：3.磁力線方程：磁力線切線方向即磁場方向，由這一條件寫出磁偶極子的磁力線方程

當(dāng)Θ=90°，r=r0,得C=r0，

當(dāng)r=R，則Θ=Θ0，Θ0為磁力線過球面點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角求得:∴給定一個(gè)參量r0或Θ0，由（2-1-10）或（2-1-11）式畫出一條磁力線。①給定參量r0，由（2-1-10）式畫出磁力線。假如給定r0=0A，可以確定經(jīng)過點(diǎn)O和A的磁力線1，由Θ=90°知，A點(diǎn)為此磁力線的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

當(dāng)Θ取值00～1800,則相應(yīng)的有r（Θ），在坐標(biāo)系ΘOr上描點(diǎn)，這樣我們就得到許多點(diǎn)（Θ，r（Θ）），再把這些點(diǎn)連接起來就得到磁力線1了。當(dāng)r0取不同的值就可以畫出不同的磁力線了。②利用（2-1-11）式確定磁力線：給定參量Θ0，由（2-1-11）式畫出磁力線。當(dāng)r=R，給定Θ0=（就是磁力線過球面點(diǎn)（A）對(duì)應(yīng)的極角），可以確定經(jīng)過點(diǎn)O和A的磁力線1。

當(dāng)Θ0取不同的值就可以畫出不同的磁力線了。三、西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子的磁場）將地球視為一個(gè)均勻磁化球體時(shí)地磁場的解析表達(dá)式。在地心傾斜磁偶極子模型中，磁偶極子仍然位于地心，但磁軸與地球自轉(zhuǎn)軸不重合，有一個(gè)夾角情況。

1.磁標(biāo)勢因?yàn)榫鶆虼呕S(磁偶極子軸)與地理軸不復(fù)合，以磁化軸為極軸,則根據(jù)球面三角形邊的余弦定理：即球面三角形一邊的余弦等于其它兩邊的余弦之積加上該兩邊的正弦及其夾角余弦之積。在球面三角形NmNPs中：將2-1-12代入2-1-11得：令

∴

2.磁場以測點(diǎn)o為原點(diǎn)，ox軸指向地理北，oy軸指地理東，oz軸向下建立坐標(biāo)系。因?yàn)椋涸诘厍虮砻?r=R

若知道,,,則地面上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度則由上式給出。三個(gè)系數(shù)一般由高斯分析給出。（2-1-15）式是地理坐標(biāo)系下的偶極子磁場的表達(dá)式。令λ0=0，ψ0=90°，即取地磁軸與地理軸重合，這相當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)變換，λ→∧地磁經(jīng)度，φ→Ф地磁緯度。λ0=0，ψ0=90°λ→∧地磁經(jīng)度，φ→Ф地磁緯度則（2-1-16）變換為：

(2-1-17)式為地磁坐標(biāo)系下地心共軸磁偶極子磁場的表達(dá)式。由(2-1-17)得：(2-1-17)式為地磁坐標(biāo)系下地心共軸磁偶極子磁場的表達(dá)式。

叫傾角（磁）緯度，或叫磁緯度，它由譜測傾角I根據(jù)上式算出。I=00→Фm=0,叫傾角磁赤道，簡稱磁赤道，它不是一個(gè)大圓圈。

概念和（2-1-18）式在古地磁研究中非常重要。

西蒙諾夫理論的價(jià)值并不是用它來描述地表地磁場，而在于：（1）它能較精確地描述高空地磁場的分布；（2）能夠確定出磁偶極場的參數(shù)（J，M）；（3）建立地磁坐標(biāo)系。西蒙諾夫理論的價(jià)值在于：（1）它能較精確地描述高空地磁場的分布；（2）能夠確定出磁偶極場的參數(shù)（J，M）；（3）建立地磁坐標(biāo)系。3.地心磁偶極參數(shù)磁矩M由（2-1-14）式得：

這樣我們就可以得到地磁北極Nm的地理位置λ0和θ0,其中

λ0

為地理經(jīng)度，θ0為地理余緯，θ0也就是磁偶極子軸與地球自轉(zhuǎn)軸的夾角

兩個(gè)概念：磁極(Magneticpole)，又叫磁傾極—實(shí)際測量確定的,I=正（負(fù)）90°,等偏線密集的兩個(gè)點(diǎn)（區(qū)域）,兩磁極的連線不一定通過地心。它對(duì)應(yīng)的是傾角磁緯度，傾角磁赤道不是大圓圈。地磁極(Geomagneticpole)—理論上的偶極磁軸，必通過地心，磁極地理位置由

確定,它對(duì)應(yīng)著地磁坐標(biāo)系，地磁赤道是大圓圈。由1980年主磁場高斯系數(shù)代入得出：

M=7.91×1022A/m2λ0=70.8°W,φ0=78.8°N(φ0=900-θ0)

而1980年普測的南北磁極位置是：北磁極：78.2°N，102.9°W，南磁極：65.6°S，139.4°E，可見地磁北極和北磁極偏差很大。4.地磁坐標(biāo)有很多地磁現(xiàn)象（特別在高空中）相對(duì)于地磁軸其有明顯的對(duì)稱性，因而在以地磁軸為極軸的坐標(biāo)系下研究顯得很方便，從而導(dǎo)致人們建立如下的地磁坐標(biāo)系：

地磁坐標(biāo)系：以理論上的磁偶極子磁軸為極軸，偶極磁軸在地球表面的交點(diǎn)為地磁南北極。地磁子午線：過地磁兩極的任一大圓。地磁赤道面：過地心而垂直于地磁軸的平面.

本初地磁子午線（零度地磁經(jīng)線）：連接地磁北極、地理北極和地磁南極那條地磁子午線。地面某點(diǎn)的地磁坐標(biāo)定義為：該點(diǎn)的矢徑與地磁軸的夾角稱為該點(diǎn)的地磁余緯度Θ，過該點(diǎn)的地磁子午面與本初地磁子午線的夾角叫該點(diǎn)的地磁經(jīng)度∧。N：地理北極Nm：地磁北極P：地理坐標(biāo)

地磁經(jīng)緯度地理余緯θ地磁余緯Θ地理余緯和經(jīng)度在球面三角形NmNP中應(yīng)用邊的余弦定理：應(yīng)用邊的正弦定理：三邊正弦之比等于其對(duì)角的正弦之比

簡化僅由上式還確定不了Λ,如sinΛ<0，因?yàn)?，Λ可在?(或4)相限，需用找一個(gè)式子來聯(lián)立確定Λ。再應(yīng)用一次邊的余弦定理：（2-1-22）～（2-1-24）式就是測點(diǎn)的地理坐標(biāo)和地磁坐標(biāo)間的變換關(guān)系

5.地方時(shí)與地方磁時(shí)地方時(shí)：旋轉(zhuǎn)確定，時(shí)差可由日地系統(tǒng)的相對(duì)化為經(jīng)度差。地方磁時(shí)一般用角度來表示：某一時(shí)刻太陽所在的地磁子午面與觀測點(diǎn)所在的地磁子午面之間的夾角。如圖所示：S0為太陽在地面上的投影，其地理坐標(biāo)為(λˊ,φˊ)，地磁坐標(biāo)為(Λˊ,Φˊ)，P為測點(diǎn)，其地理，地磁坐標(biāo)分別為,(Λ,Φ)。時(shí)間：A=λ-λˊ定義：地方時(shí)t=A+A0=(λ-λˊ)+A0A0為確定地方時(shí)零時(shí)的時(shí)角。又定義當(dāng)λˊ-λ=180°時(shí)（太陽正背該點(diǎn)），t=0,得A0=180°,故t=180°+λ-λˊ。定義本初子午線（λ=0）上的地方時(shí)為世界時(shí)t0。即t0=180°-λˊ因此：地方時(shí)t=t0+λ同樣，地方磁時(shí)的