2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第8章 第6節(jié)　雙曲線(xiàn)

篦。雙曲線(xiàn)

［考試要求］

1.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

2.通過(guò)圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€>梳理?必備知識(shí)

1.雙曲線(xiàn)的定義

(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)回，出的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于

國(guó)人|)的點(diǎn)的軌跡.

(2)符號(hào)表示:\\MFi|一|g||=2a(常數(shù))(0<2a<|KF2|).

(3)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)B，F(xiàn)i.

(4)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離,表示為⑻尸2|.

提醒：(1)當(dāng)2a=內(nèi)尸2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線(xiàn)；

⑵當(dāng)2a>|人尸2|時(shí),P點(diǎn)不存在.

2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

4-^=i

219——1

標(biāo)準(zhǔn)方程abl

(a>0,b>Q)3>0,b>0)

圖形?.*/6K：B^

范圍尤2。或xW—。，y<一?；騳》。，x￡R

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸,對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn).

性頂點(diǎn)Ai(—a,0),A2(a,0)Ai(0,—a),A2(0,a)

,ba

質(zhì)漸近線(xiàn)y=±=%

工---------ar

離心率e=~,e￡(l,+0°),其中。=4層+序

實(shí)軸以血|=2；虛軸⑹因=絲；實(shí)半軸長(zhǎng)a,虛半

實(shí)虛軸

軸長(zhǎng)2

a,b,c的關(guān)系c2=6Z2+fe2(C>6Z>0,c>b>0)

［常用結(jié)論］

_22

1.雙曲線(xiàn)也一方=1g>0,Q0)中的幾個(gè)常用結(jié)論

(1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為乩

(2)若P是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,尸2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則IPFlkin

=O±C,|尸/2|min=c-g.

(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為呼，

異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為然.

(4)設(shè)P,A,8是雙曲線(xiàn)上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直

從

線(xiàn)B4,P5斜率存在且不為0,則直線(xiàn)山與尸3的斜率之積為

(5)P是雙曲線(xiàn)上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)\,3分別為雙曲線(xiàn)的左、

右焦點(diǎn)，則S4PF\F2=^?其中。為NBPR.

-t-a--n--?2

2.巧設(shè)雙曲線(xiàn)方程

⑴與雙曲線(xiàn)a一1=1(。>0，。>0)有共同漸近線(xiàn)的方程可表示為,二力三

★#0).

⑵過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為nvc2+=1仞〃VO).

◎激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)￡(0,4),F2(0,一4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是

雙曲線(xiàn).()

(2)方程而一：=1(相〃>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).()

(3)雙曲線(xiàn)心0,〃>0,7W0)的漸近線(xiàn)方程是￡一$=(),即■q=()?

)

2

(4)等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)互相垂直，離心率等于也.()

［答案］(1)義(2)X(3)V(4)V

二'教材習(xí)題衍生

1.以橢圓?+?=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為()

v2f

A.%2—*y=1B.y—y2=l

C.x2—^=1D.,一(=1

77^21

A［設(shè)所求的雙曲線(xiàn)方程為宗一/=l(a>0,b>0),由橢圓5+5=1,得橢圓

焦點(diǎn)為(±1,0),在X軸上的頂點(diǎn)為(±2,0).所以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為

(±2,0).所以4=1,C=2,所以/no2—/=3,所以雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為；!？一、=

1.］

72

2.若方程合一｛7=1表示雙曲線(xiàn)，則〃2的取值范圍是_______.

2十根m-r1

92

(-8,-2)u(-l,+8)［因?yàn)榉匠倘弧?=1表示雙曲線(xiàn)，所以(2

+m)(m+1)>0,即〃2>—1或〃2V—2.]

3.雙曲線(xiàn)近一會(huì)=一1的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,漸近線(xiàn)

方程為_(kāi)_______

v2f

[雙曲線(xiàn)三一方=1中q=5,/?2=24,C2=25+24=49,

,c7

???實(shí)軸長(zhǎng)為2a=10,離心率e=［=亍

漸近線(xiàn)方程為y=±淬§x.］

4.已知雙曲線(xiàn)『一=1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)P

到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.

6［設(shè)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為B，尸2,1PBi=4,則11PBi—|P4||=2,故|P3|=6或

2,又雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離的最小值為故|「巳|=

6.］

3

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑?直擊高考

n考點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義及其應(yīng)用《師生共研

［典例1］(1)已知圓c：(x+3)2+V=l和圓。2：(x—3)2+y2=9,動(dòng)圓M同

時(shí)與圓G及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.

(2)已知尸F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：f—產(chǎn)=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PFi|

=2\PF2\,則cosZF\PF2=.

(2)(［⑴如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓C2分別

外切于點(diǎn)A和B.

根據(jù)兩圓外切的條件，得|MG|-HG|=|K4|,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因?yàn)?

所以|A/Ci|-|ACI|=|MC2|-|BC2|,

即IMC2I—|MC|=|8C2|一|AG|=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C,的距離的差是

常數(shù)且小于IC1C2I.

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)的左支(點(diǎn)M與C2的距離大,

與G的距離小)，其中a=l,c=3,則從=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為％2—占=1(啟-1).

O

⑵因?yàn)橛呻p曲線(xiàn)的定義有|PB|-\PF2\=\PF2\=2a=2y{2,所以\PFi\=2\PF2\

=46，

IPBF+IPBF一舊EF

所以cosNFiPF?=

21PBi?|明|

(4?2+(2/)2—423

2X472X2^2一%,

［母題變遷］

1.將本例(2)中的條件"|PF||=2|PB|"改為"NFiP尸2=60°”,則△“尸2

的面積是多少？

［解］不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線(xiàn)的右支上,

4

則『西|一|尸產(chǎn)2|=2。=26，

在△西尸乃中，由余弦定理，得

八IPFF+IPG」一IBEF!

C0SDR

NF1PF2-2|PFI|?\PF2\~2,

：.\PFi\?\PF2\=S,

：.S^F\PFI=^PF\\?\PF2\-sin60°=2小.

2.將本例⑵中的條件“下網(wǎng)=2|尸尸2列改為“PFi?P尸2=0"，則/XEiP將

的面積是多少？

［解］不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，

則|P"|一|P&|=2a=2啦,

?/PF\?PF2=0,；.PF\!PF2,

.?.在△f'lPB中，有伊凡|2+|。尸2|2=尸1尸2|2,

即|PKF+|PBF=16,

.,.IPF1I?|PF2|=4,

.,.SAF1PF2=||PF1|?\PF2\=2.

令反思領(lǐng)悟雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用

(1)判定滿(mǎn)足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不是雙曲線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)要求可求

出曲線(xiàn)方程.

(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，當(dāng)NBPb2=90°時(shí)，SAPF\F2=b2,常利用正弦

定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合||P尸i|一|P尸2||=2a,運(yùn)用平方的方法，建立|PB|與|「外|

的關(guān)系.

提醒：在應(yīng)用雙曲線(xiàn)定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線(xiàn)，

還是雙曲線(xiàn)的一支，若是雙曲線(xiàn)的一支，則需確定是哪一支.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)虛軸長(zhǎng)為2,離心率e=3的雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)為丹，F(xiàn)2,過(guò)Q作直線(xiàn)

交雙曲線(xiàn)的一支于A,B兩點(diǎn),且以陰=8,則△A3出的周長(zhǎng)為()

A.3B.16+72C.12+72D.24

(2)(2021?浙江高考)已知a,Z?GR,ab>Q,函數(shù)/0)=加+/*￡R).若"s—f),

5

火s),y(s+f)成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)($，。的軌跡是()

A.直線(xiàn)和圓B.直線(xiàn)和橢圓

C.直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)D.直線(xiàn)和拋物線(xiàn)

(3)已知廠(chǎng)是雙曲線(xiàn)]一石=1的左焦點(diǎn)，A(l，4),P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，

則上用+解|的最小值為.

(1)B(2)C(3)9[(1)由于2/?=2,e=\=3,：.b=\,c=3a,

9a2=a2+l,.，.a=乎.

巾

由雙曲線(xiàn)的定義知，\AF2\-\AF\\=2a=^,①

\BF2\-\BFi\=^,②

①+②得以尸2|十出網(wǎng)一(|AF||十0Fl1)=^2,

又|A尸i|+|5B|=|AB|=8,

：.\AF2\+\BF2\=S+y[2,

則△ABE的周長(zhǎng)為16+優(yōu),故選B.

(2)因?yàn)楹瘮?shù).小:)=加+/?,所以?s-f)=a(s—f)2+4*$)=發(fā)2+江沁+。=

a(s+r)2+h.因?yàn)?(s-。，/(s),於+。成等比數(shù)列，所以/(s)=/(s—r)/(s+。，即(os2

+/>)2=[a(5—t)2+^]-[a(5+r)2+b],化簡(jiǎn)得一2a2s2金+“2/+2"尸=o,得,=?；?/p>

2as2—at2=2b,易知點(diǎn)(s,f)的軌跡為一條直線(xiàn)和一個(gè)雙曲線(xiàn).故選C.

(3)設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為Fi，則由雙曲線(xiàn)的定義，可知|P『|=4+|PK],所以

當(dāng)|PB|+|網(wǎng)最小時(shí)滿(mǎn)足|尸產(chǎn)|+|網(wǎng)最小.由雙曲線(xiàn)的圖象(圖略)，可知當(dāng)點(diǎn)A,P,

Fi共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足|PFi|十照|最小，|AFi|即|P產(chǎn)1|+解|的最小值.又|AFi|=5,故所

求的最小值為9.]

□考點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程悔組通關(guān)

1.(2021.洛陽(yáng)市第一次統(tǒng)考)已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4,且一

條漸近線(xiàn)方程為了=,龍，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

/V2

A.y—y2=1B.1

6

C./-3=]D.y2--^=]

C[因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為又焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)雙

/y2匕L

曲線(xiàn)的方程為/一京=l（a〉O,b>Oi）,則/=小,又,2=/+。2,c=2,所以的=1,

b2=3）,即雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一1=1.故選C.]

72

2.已知R,尸2分別為雙曲線(xiàn)%一方=130,。>0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲

線(xiàn)上一點(diǎn)，與x軸垂直，NPFR=30°,且虛軸長(zhǎng)為2啦，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

C.,一]=1D.5=]

D[由題意可知|PFi|=斗豆，|PF2|=Z^，2b=2y[2,由雙曲線(xiàn)的定義可得

,弋。-2個(gè)c=2a,即c=45a.又/?=/，c2=a2+b2,；.a=l,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)

方程為』一5=1，故選D.]

92

3.（2021.北京高考）雙曲線(xiàn)%一g=1過(guò)點(diǎn)（隹曲，離心率為2,則雙曲線(xiàn)

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

v2/

A.%2—,y=lB.y—

C」*=lD.華-產(chǎn)i

A[雙曲線(xiàn)離心率e=\=2,故c=2a,b=y/3a,將■點(diǎn)（6，?。┐腚p曲線(xiàn)

方程，得了一赤=7=1，故。=1，。=小，故雙曲線(xiàn)方程為X2一1=1.]

4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2巾），。（一6近，7）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

25~~y^=1[設(shè)雙曲線(xiàn)方程為nvc1—ny2=]

7

9/72-28/7=1,75'

:A解得〈

172/??-49/i=1,1

?--25.

V2r2

雙曲線(xiàn)方程為鶯一行=1」

畬反思袋信求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(xiàn)，由雙曲線(xiàn)定義，確定2a,

2?；?c,從而求出。2,吩,寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程.

(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在無(wú)軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定

/,人的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線(xiàn)方程

72

設(shè)為泉一方=犯70)，再根據(jù)條件求人的值.

D考點(diǎn)三雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)修維探究

考向1雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

92

[典例2—1](2021.新高考n卷)已知雙曲線(xiàn)5一方=l(a>0,。>0)的離心率e

=2,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.

y=±\[3x「.,雙曲線(xiàn)的方程是，一方=l(a>0,Z?>0),

b

雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為y=±-x,

Q

,離心率為e=%=2,可得c=2a,二寸二胡?，

即〃+82=4屋，可得。=小.，由此可得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為

考向2雙曲線(xiàn)的離心率

[典例2—2](1)(2021.全國(guó)甲卷)已知K，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為

。上一點(diǎn)，且/FIPF2=60°,m=3\PF2\,則。的離心率為()

A.乎B.C.幣D.V13

92

(2)若斜率為戲的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方一%=1恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率

的取值范圍是()

A.(1,2)B.(2,+00)

8

C.(1,S)D.(小，+8)

(1)A(2)D[(1)設(shè)\PF2\=m,|PFi|=3m,則|F,F2|=

c2c

4加2+9〃0一2X3mX/nXcos60°=小機(jī)，所以C的離心率e=^=^=

|FIF2|_V7m_V7

\PFi\~\PF2\~2m~2?

(2)因?yàn)樾甭蕿橹沟闹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)%一$=1恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以￡＞啦，

故選D.]

考向3雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用

[典例2—3]（1）已知頗助泗）是雙曲線(xiàn)C：弓一V=i上的一點(diǎn),凡是

C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若M/rMBVO，則州的取值范圍是（）

AT由B.（邛叫

C.（等嚼D（攣嚼

（2）已知尸1,22是雙曲線(xiàn)，一冬=1（。>0，8>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)~的直線(xiàn)/

與雙曲線(xiàn)的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,若|AB|=2a,ZFiAF2=y,則

5AAFIF2

SAABF2=1)

A.1B.gC.1D.1

?

(1)A(2)B[⑴因?yàn)?i(一小，0),F2(V3,0),~yo=b所以MFIMF2

=(—\/3—xo,-yo)?(小一x(),—泗)=看+點(diǎn)-3VO,即3點(diǎn)一]V0,解得一＜

yQ＜3'

9

（2）如圖所示，由雙曲線(xiàn)定義可知以川一|AFi|=2a.

又|AQ|=2a,所以|AF2|=4a,

21

因?yàn)镹BAF2=針，所以S/\AF\F1=^AF\\?|AF2|?sinNF1AF2

=；X2〃X4〃X9=2小a2.

由雙曲線(xiàn)定義可知內(nèi)/1|-|BF2|=2a,

所以|8川=2。+|8尸2|,又知|BB|=2a+|BA|,

所以△氏4F2為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4a,

、行

所以5/\43凡=￥|48|2=^X（4a）2=4小4,

2

S/\AF\F22\l3a=；.故選B.]

所以，

SAABF2=4小a2

力反思領(lǐng)悟1.求雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程的方法

9222

求雙曲線(xiàn)於一/=1（4>0,Av>0）或方一方=1（。>°，。>0）的漸近線(xiàn)方程的方法是

令右邊的常數(shù)等于0,即令'一$=0,得尸土3；或令,一東=0,得尸土拉

2.求雙曲線(xiàn)的離心率或其范圍的方法

廿02+廬F

（1）求mb,。的值，由，=巴/一=1+3直接求已

（2）列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于廿=,2—/消去力，然

后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程（或不等式）求解.

[跟進(jìn)訓(xùn)練廠(chǎng)

2.⑴Q020.全國(guó)II卷）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)C：，一方=13

>0,8>0）的兩條漸近線(xiàn)分別交于O,E兩點(diǎn)，若△O0E的面積為8,