2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊 　兩角和與差的正弦、正切 學(xué)案

兩角和與差的正弦、正切學(xué)習(xí)目標(biāo)胸中有藍(lán)圖1.能利用兩角和與差的余弦公式、誘導(dǎo)公式推導(dǎo)證明兩角和與差的正弦公式.(邏輯推理)2.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)證明兩角和與差的正切公式.(邏輯推理)3.理解兩角和與差的正弦、正切公式,并能利用公式解決簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和證明問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【情境導(dǎo)學(xué)】喬布斯描述蘋果電腦是“思想的自行車”——一種能夠使人們的思想達(dá)到想象中任何角落的工具,并且功能多樣,他用類比介紹了這一引領(lǐng)信息時(shí)代的創(chuàng)新發(fā)明.我們一旦開始給予類比密切的關(guān)注,就會發(fā)現(xiàn)它在生活中隨處可見,類比可以推動創(chuàng)新.由誘導(dǎo)公式及兩角和與差的余弦公式如何推導(dǎo)兩角和的正弦公式?用類比的方法,由sin(α+β)能推導(dǎo)出sin(α-β)嗎?一、兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦Sα+βsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβα,β∈R兩角差的正弦Sα-βsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβα,β∈R點(diǎn)睛兩角和與差的正弦公式的理解(1)兩角和與差的正弦公式的左端為兩角和與差的正弦,右端為α,β的異名三角函數(shù)積的和與差,可以簡記為“正余余正,符號相同”,前者指展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的正弦乘余弦,余弦乘正弦;后者是指展開后的兩項(xiàng)之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同;(2)α,β可以是單個(gè)角,也可以是兩個(gè)角的和與差,在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體.二、兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切Tα+βtan(α+β)=tanα+tanβα,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z)且tanαtanβ兩角差的正切Tα-βtan(α-β)=tanα,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z)且tanαtanβ點(diǎn)睛兩角和與差正切公式的理解(1)在兩角和與差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+π2(k∈Z),這是由正切函數(shù)的定義域決定的(2)公式的結(jié)構(gòu)特征及符號特征如下:①公式Tα±β的右側(cè)為分式形式,其中分子為tanα與tanβ的和或差,分母為1與tanαtanβ的差或和.②符號變化規(guī)律可簡記為“分子同,分母反”.思考你能舉出幾個(gè)兩角和與差的正切公式的變形式嗎?提示:(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).(2)1-tanαtanβ=tanα(3)tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β).(4)tanαtanβ=1-tanα【教材深化】1.兩角和與差的正弦、余弦公式的內(nèi)在聯(lián)系2.使用和(差)公式時(shí)不僅要會正用,還要能夠逆用公式,如化簡sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)時(shí),不要將cos(α+β)和sin(α+β)展開,而是應(yīng)采用整體思想,作如下變形:sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα.3.兩角和與差的正切公式變形公式Tα±β在逆用時(shí),一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu),只要見到tanα±tanβ,tanαtanβ時(shí),要有靈活應(yīng)用公式Tα±β的意識,就不難想到解題思路.另一方面要注意常值代換.如tanπ4=1,tanπ6=33,tanπ3=3等.要特別注意tan(=1+tanα1-tanα,tan(π4【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (√)提示:根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得.(2)任意α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (×)提示:不符合公式.(3)sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin82°. (×)提示:因?yàn)閟in56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式錯(cuò).(4)任意α,β∈R,tan(α+β)=tanα+tanβ成立. (×)提示:不符合公式.2.(教材改編·練習(xí)BT1)sin46°cos16°-sin44°sin164°= ()A.-12 B.C.32 D.-【解析】選B.sin46°cos16°-sin44°sin164°=sin46°cos16°-cos46°sin16°=sin(46°-16°)=sin30°=123.(教材改編·例5)下列式子結(jié)果為3的是________.(填序號)

①tan25°+tan35°+3tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③1+tan15°④1-【解析】對于①,由于tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),所以tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=tan(25°+35°)1-3tan25°tan35°=tan(25°+35°)=3;對于②,由于cos65°=sin25°,所以2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°)=2sin60°=3;對于③,因?yàn)閠an45°=1,1+tan15°1-tan15°對于④,因?yàn)閠an45°=1,1-tan15°1+tan15°答案:①②③類型一兩角和與差正弦公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例1](1)2sin40°+sin20°cos20A.3 B.62 C.1 D.【解析】選A.原式=2sin(60=2×32cos20°-2×(2)若α,β為銳角,且滿足cosα=45,cosα+β=513,則sin【解析】由α,β為銳角,且滿足cosα=45cosα+β=513,可得sinα=35,sin所以sinβ=sinα+β-α=sinα+βcosα-cos答案:33(3)(2023·濰坊高一檢測)若π4<β<π<α<3π2,且cos(α+β)=-210,sin2β=45,則α-【解析】因?yàn)棣?<β<π,所以π2<2sin2β=45>0,所以π2<2β<π,所以π4<β所以-π2<-β<-π又π<α<3π2,所以π2<α-β<因?yàn)棣?<2β<π,sin2β=45,所以cos2β=-又5π4<α+β<2π,cos(α+β)=-2所以sin(α+β)=-72所以sin(α-β)=sin(α+β)-2β=sin(α+β)cos2β=-7210×(-35)-(-210)×所以α-β=3π4答案:3π【總結(jié)升華】1.解決給角求值問題的方法(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進(jìn)行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值,化分子、分母形式進(jìn)行約分,解題時(shí)要逆用或變用公式.2.解決給值求值問題的方法在解決此類題目時(shí),一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧,同時(shí)分析角之間的關(guān)系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當(dāng)條件中有兩角時(shí),一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差;(2)當(dāng)條件中只有一個(gè)已知角時(shí),可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.【即學(xué)即練】1.(2023·煙臺高一檢測)計(jì)算:2sin20°sin10°-1tan10A.-2 B.2C.-3 D.3【解析】選C.原式=2sin20°sin10°-cos10°=2(12cos10°-32sin102.已知cos(π4-α)=35,sin(5π4+β)=-1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),則sin(αA.-1665 B.C.-6365 D.【解析】選B.因?yàn)棣痢?π4,3π4),所以(π4-α)∈(-π2,0),又cos(π4-所以sin(π4-α)=-1-co因?yàn)棣隆?0,π4),所以(π4+β)∈(π4,又sin(5π4+β)=sin(π+π4+β)=-sin(π4+β)=-1213,所以sin(π4+所以cos(π4+β)=1-si又(α+β)=(π4+β)-(π4-α所以sin(α+β)=sin[(π4+β)-(π4-α)]=sin(π4+β)cos(π4-α)-cos(π4+β)sin=1213×35-513×(-453.已知0<β<α<π2,點(diǎn)P(1,43)為角α的終邊上一點(diǎn),且sinαsinπcosαcosπ2+β=3314,則角A.π12 B.π6 C.π4 【解析】選D.因?yàn)閨OP|=7,所以sinα=437,cosα=17.由已知sinαcosαcosπ2+β=3314,根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得sinαcosβ-cosαsinβ=3314因?yàn)?<β<α<π2,所以0<α-β<π所以cos(α-β)=1-sin所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-17×因?yàn)?<β<π2,所以角β=π類型二兩角和與差正切公式的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例2](1)(2023·德州高一檢測)若tan(π4-α)=-2,則sinαsin2A.52 C.-52 D.-【解析】選C.由tan(π4-α)=-2可得1-tanα1+tan故sinαsin2αcos而sin2α+3cos2α=sin2α+3cos故tanαsin2α+3即sinαsin2(2)(2023·棗莊高一檢測)已知sinα-2cosα=5,則tan(α-π4)=________【解析】對sinα-2cosα=5兩邊同時(shí)平方可得:(sinα-2cosα)2=5,sin2所以tan2解得tanα=-12所以tan(α-π4)=tanα答案:-3(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).已知A,B的橫坐標(biāo)分別為210,255①tan(α+β)的值;②α+2β的值.【解析】①由已知條件及三角函數(shù)的定義可知,cosα=210,cosβ=255.因?yàn)棣翞殇J角,故sinα=1-cos同理可得sinβ=55.因此tanα=7,tanβ=1即tan(α+β)=tanα+tanβ1②tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=-3+121-(-3)×12=-1.又0<α<π2,0<β由tan(α+2β)=-1得α+2β=34π【總結(jié)升華】1.公式Tα+β,Tα-β應(yīng)用的解題策略(1)公式Tα+β,Tα-β中有tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者知二可求出第三個(gè);(2)化簡過程中注意“1”與“tanπ4”,“3”與“tanπ3”2.解決給值求角問題的選擇原則(1)已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);(2)已知正余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù),若角的范圍是0,π2,選正弦或余弦函數(shù)均可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍是(-π2,π【即學(xué)即練】1.求值:(1)cos75°-(2)tan36°+tan84°-3tan36°tan84°.【解析】(1)原式=1-tan75°1+tan75°(2)原式=tan120°(1-tan36°tan84°)-3tan36°tan84°=tan120°-tan120°tan36°tan84°-3tan36°tan84°=tan120°=-3.2.(2023·大連高一檢測)已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α∈(0,π4),β∈(π(1)求tanα的值;(2)求2α-β的值.【解析】(1)由題意可得:tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)(2)由(1)可知:tanα=13則tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-因?yàn)?<α<π4,π2<則0<2α<π2,-π<-β<-π可得-π<2α-β<0,故2α-β=-3π4【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·青島高一檢測)已知6cos(α-π2)+sin(α+π(1)求tanα的值;(2)若β∈(0,π2),且cos(π4+β)=55,求α+【解析】(1)因?yàn)?cos(α-π2)+sin(α+π所以6sinα+cosα-2cosα+3sinα=(2)因?yàn)棣隆?0,π2),所以π4<π4+β且cos(π4+β)=55,所以sin(π4+β)所以cosβ=cos(π4+β)-π4=55所以sinβ=1010,則tanβ=1所以tan(α+β)=tanα+tanβ又因?yàn)棣?β∈(0,3π4)所以α+β=π4類型三輔助角公式的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例3](2023·沈陽高一檢測)已知函數(shù)f(x)=22(sin2x+cos2x)+1(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)的最大值及相應(yīng)自變量x的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=22(sin2x+cos2x)+1=sin(2x+π4所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2(2)當(dāng)2x+π4=π2+2kπ,k∈Z,即x=π8+kπ,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)取最大值,【備選例題】已知a=(3,-1),b=(sinx,cosx),x∈R,f(x)=a·b,求函數(shù)f(x)的最小正周期,值域,單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】