特級教師改編中考數(shù)學(xué)幾何模型24講：專題05 手拉手模型構(gòu)造全等三角形（學(xué)生版）

專題05手拉手模型構(gòu)造全等三角形【專題說明】兩個具有公共頂點(diǎn)的相似多邊形，在繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，產(chǎn)生伴隨的全等或相似三角形，這樣的圖形稱作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型；為了更加直觀，我們形象的稱其為“手拉手”模型?！局R總結(jié)】【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等圖1圖2圖3圖4二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；圖1圖2圖3圖41、如圖，點(diǎn)C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，求證：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連結(jié)AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)0，AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.

3、已知，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P平面內(nèi)一點(diǎn)，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，⑴若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，求證BQ＝CP；⑵若點(diǎn)P在△ABC外部，以上結(jié)論還成立嗎？4、如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H.若AB=2，AG=1，則EB=________________.

5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)G、E分別在線段AD、AB上，若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接DG,在旋轉(zhuǎn)的過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長度始終相等？并說明理由。6、已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD,BE.以下四個結(jié)論:=1\*GB3①BD=CE;=2\*GB3②BD⊥CE;=3\*GB3③∠ACE+∠BDC=45°；=4\*GB3④BE2=2AD2+AB2其中結(jié)論正確的個數(shù)是_______

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，求證：△ABD≌△ACE;直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需要證明）；如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.2、如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn).若DE=13，BD=12，求線段AB的長.3、如圖，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，△ABD,△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD,AE分別交CD,BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ,BM.下面結(jié)論：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ為等邊三角形；MB平分∠AMC.其中正確的有____________4、如圖1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點(diǎn)M,連接CM.求證：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)；當(dāng)α=90°時，取AD、BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP,CQ,PQ,如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明.

【鞏固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連接BF．當(dāng)AC＝4時，求BF的長；（2）如圖2，將圖1中的△BDE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接EM并延長至點(diǎn)N，使MN＝EM，連接CN．求證：CN⊥CE．

2、如圖，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，點(diǎn)D為邊BC上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE與AB交于點(diǎn)F，連接BE．（1）求BC的長；（2）求證∠ABE＝∠ABC；（3）當(dāng)FB＝FE時，求CD的長．

3、如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE，連接AE．（1）求證：△BCD≌△ACE；（2）如圖2，連接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的長；（3）如圖3，若點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，分別連接EB和CF，求證：CF⊥EB．

4、如圖，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)，連接AD、BE，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)D點(diǎn)在BC上時，試判斷線段BE、CF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，把△DEC繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變時，請?zhí)骄緽E、CF的關(guān)系并直接寫出結(jié)論．

5、如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如圖2），連接DB'，EC'．（1）探究DB'與EC'的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖2給予證明；（2）填空：①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為時，則DB'∥AE；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)B'，D，E在一條直線上，且AD＝時，此時EC′的長為．

6、如圖，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM與射