特級教師改編中考數(shù)學幾何模型24講：專題22 一次函數(shù)在實際應(yīng)用中的最值問題（教師版）

專題10一次函數(shù)在實際應(yīng)用中的最值問題【專題說明】1、通過圖象獲取信息通過觀察一次函數(shù)的圖象獲取有用的信息是我們在日常生活中經(jīng)常遇到的問題，要掌握這個重點在于對函數(shù)圖象的觀察和【分析】，觀察函數(shù)圖象時，首先要看橫軸、縱軸分別代表的是什么，也就是觀察圖象反映的是哪兩個變量之間的關(guān)系．【注】函數(shù)圖象中的特殊點觀察圖象獲取信息時，一定要注意圖象上的特殊點，這些特殊點對我們解決問題有很大的幫助．2、一次函數(shù)圖象的應(yīng)用一次函數(shù)和正比例函數(shù)是我們接觸到的最簡單的函數(shù)，它們的圖象和性質(zhì)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用．利用一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象解決問題是本節(jié)的一個重點，這部分內(nèi)容在中考中占有重要的地位．【注】函數(shù)y＝kx＋b圖象的變化形式在實際問題中，當自變量的取值范圍受到一定的限制時，函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象就不再是一條直線．要根據(jù)實際情況進行【分析】，其圖象可能是射線、線段或折線等等．1、甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：(1)乙隊開挖到30m時，用了________h．開挖6h時甲隊比乙隊多挖了_______m.(2)請你求出：①甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)當x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？【分析】(1)由圖象可以直接看出乙隊開挖到30m時，用了2h．開挖6h時甲隊比乙隊多挖了10m；(2)設(shè)甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x(k1≠0)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.設(shè)乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x＋b(k2≠0)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由題意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．【解析】(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由題意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故當x為4h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等．2、某單位急需用車，但又不準備買車，他們準備和一個體車主或一國有出租車公司簽訂月租車合同．設(shè)汽車每月行駛xkm，應(yīng)付給個體車主的月費用為y1元，應(yīng)付給國有出租車公司的月費用是y2元，y1，y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象(兩條射線)如圖，觀察圖象回答下列問題：(1)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租國有出租車公司的車合算？(2)每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？(3)如果這個單位估計每月行駛的路程為2600km，那么這個單位租哪家車合算？【分析】本題從給出的兩個函數(shù)圖象中可獲取以下信息：都是一次函數(shù)，一個是正比例函數(shù)；兩條直線交點的橫坐標為1500；表明當x＝1500時，兩個函數(shù)值相等；根據(jù)圖象可知：x＞1500時，y2＞y1；0＜x＜1500時，y2＜y1.【解析】觀察圖象，得：(1)每月行駛的路程小于1500km時，租國有出租車公司的車合算；(2)每月行駛的路程為1500km時，租兩家車的費用相同；(3)如果每月行駛的路程為2600km，那么這個單位租個體車主的車合算．析規(guī)律函數(shù)圖象交點規(guī)律兩函數(shù)圖象在同一坐標系中，當取相同的自變量時，下方圖象對應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值小；交點處函數(shù)值相等

3、某汽車生產(chǎn)廠對其生產(chǎn)的A型汽車進行耗油量實驗，實驗中汽車視為勻速行駛．已知油箱中的余油量y(L)與行駛時間t(h)的關(guān)系如下表，與行駛路程x(km)的關(guān)系如下圖．請你根據(jù)這些信息求A型車在實驗中速度.行駛時間t(h)0123油箱余油量y(L)100846852【分析】考查綜合利用一次函數(shù)的相關(guān)知識解決問題的能力．解法一：∵余油量y與行駛路程x的關(guān)系圖象是一條直線，∴可設(shè)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．由圖象可知y＝kx＋b經(jīng)過兩點(0,100)和(500,20)，則有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－eq\f(4,25).∴直線的解析式為y＝－eq\f(4,25)x＋100.當y＝100時，x＝0；當y＝84時，x＝100.由圖表可知，油箱中的余油量從100L到84L，行駛時間是1h，行駛路程是100km.∴A型汽車的速度為100km/h.解法二：由圖表可知：A型汽車每行駛1h的路程耗油16L.由圖象可知：A型汽車耗油80L所行駛的路程為500km.可設(shè)汽車耗油16L所行駛的路程為xkm，則500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A型汽車1h行駛的路程為100km.∴它的速度為100km/h.【小結(jié)】有時，我們利用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的近似解．

3、有兩個發(fā)電廠，每焚燒一噸垃圾，發(fā)電廠比發(fā)電廠多發(fā)40度電，焚燒20噸垃圾比焚燒30噸垃圾少1800度電.（1）求焚燒1噸垃圾，和各發(fā)多少度電？（2）兩個發(fā)電廠共焚燒90噸垃圾，焚燒的垃圾不多于焚燒的垃圾的兩倍，求廠和廠總發(fā)電量的最大值.【解析】（1）設(shè)焚燒1噸垃圾，發(fā)電廠發(fā)電度，發(fā)電廠發(fā)電度，則，解得：答：焚燒1噸垃圾，發(fā)電廠發(fā)電300度，發(fā)電廠發(fā)電260度.（2）設(shè)發(fā)電廠焚燒噸垃圾，則發(fā)電廠焚燒噸，總發(fā)電量為度，則∵∴∵隨的增大而增大∴當時，取最大值25800度.4、學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【解析】（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，，A的單價30元，B的單價15元；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，，，，當時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；5、某網(wǎng)店銷售甲、乙兩種防霧霾口罩，已知甲種口罩每袋的售價比乙種口罩多5元，小麗從該網(wǎng)店網(wǎng)購2袋甲種口罩和3袋乙種口罩共花費110元．（1）改網(wǎng)店甲、乙兩種口罩每袋的售價各多少元？（2）根據(jù)消費者需求，網(wǎng)店決定用不超過10000元購進價、乙兩種口罩共500袋，且甲種口罩的數(shù)量大于乙種口罩的，已知甲種口罩每袋的進價為22.4元，乙種口罩每袋的進價為18元，請你幫助網(wǎng)店計算有幾種進貨方案？若使網(wǎng)店獲利最大，應(yīng)該購進甲、乙兩種口罩各多少袋，最大獲利多少元？【解析】（1）設(shè)該網(wǎng)店甲種口罩每袋的售價為x元，乙種口罩每袋的售價為y元，根據(jù)題意得：，解這個方程組得：，故該網(wǎng)店甲種口罩每袋的售價為25元，乙種口罩每袋的售價為20元；（2）設(shè)該網(wǎng)店購進甲種口罩m袋，購進乙種口罩（500﹣m）袋，根據(jù)題意得，解這個不等式組得：222.2＜m≤227.3，因m為整數(shù)，故有5種進貨方案，分別是：購進甲種口罩223袋，乙種口罩277袋；購進甲種口罩224袋，乙種口罩276袋；購進甲種口罩225袋，乙種口罩275袋；購進甲種口罩226袋，乙種口罩274袋；購進甲種口罩227袋，乙種口罩273袋；設(shè)網(wǎng)店獲利w元，則有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故當m=227時，w最大，w最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故該網(wǎng)店購進甲種口罩227袋，購進乙種口罩273袋時，獲利最大，最大利潤為1136.2元．

6、某班級45名同學自發(fā)籌集到1700元資金，用于初中畢業(yè)時各項活動的經(jīng)費．通過商議，決定拿出不少于544元但不超過560元的資金用于請專業(yè)人士拍照，其余資金用于給每名同學購買一件文化衫或一本制作精美的相冊作為紀念品．已知每件文化衫28元，每本相冊20元．（1）適用于購買文化衫和相冊的總費用為W元，求總費用W（元）與購買文化衫件數(shù)t（件）函數(shù)關(guān)系式（2）購買文化衫和相冊有哪幾種方案？為了使拍照的資金更充足，應(yīng)選擇哪種方案，并說明理由．【解析】（1）設(shè)購買的文化衫t件，則購買相冊（45﹣t）件，根據(jù)題意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根據(jù)題意得：，解得：30≤t≤32，∴有三種購買方案：方案一：購買30件文化衫、15本相冊；方案二：購買31件文化衫、14本相冊；方案三：購買32件文化衫、13本相冊．∵W=8t+900中W隨x的增大而增大，∴當t=30時，W取最小值，此時用于拍照的費用最多，∴為了使拍照的資金更充足，應(yīng)選擇方案一：購買30件文化衫、15本相冊．7、江南農(nóng)場收割小麥，已知1臺大型收割機和3臺小型收割機1小時可以收割小麥1.4公頃，2臺大型收割機和5臺小型收割機1小時可以收割小麥2.5公頃．（1）每臺大型收割機和每臺小型收割機1小時收割小麥各多少公頃？（2）大型收割機每小時費用為300元，小型收割機每小時費用為200元，兩種型號的收割機一共有10臺，要求2小時完成8公頃小麥的收割任務(wù)，且總費用不超過5400元，有幾種方案？請指出費用最低的一種方案，并求出相應(yīng)的費用．【解析】（1）設(shè)每臺大型收割機1小時收割小麥x公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥y公頃，根據(jù)題意得：，解得：．答：每臺大型收割機1小時收割小麥0.5公頃，每臺小型收割機1小時收割小麥0.3公頃．（2）設(shè)大型收割機有m臺，總費用為w元，則小型收割機有（10﹣m）臺，根據(jù)題意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小時完成8公頃小麥的收割任務(wù)，且總費用不超過5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三種不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值隨m值的增大而增大，∴當m=5時，總費用最小，最小值為5000元答：有三種方案，當大型收割機和小型收割機各5臺時，總費用最低，最低費用為5000元．8、為了推進我州校園籃球運動的發(fā)展，2017年四川省中小學生男子籃球賽于2月在西昌成功舉辦．在此期間，某體育文化用品商店計劃一次性購進籃球和排球共60個，其進價與售價間的關(guān)系如下表：（1）商店用4200元購進這批籃球和排球，求購進籃球和排球各多少個？（2）設(shè)商店所獲利潤為y（單位：元），購進籃球的個數(shù)為x（單位：個），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）若要使商店的進貨成本在4300元的限額內(nèi)，且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元，請你列舉出商店所有進貨方案，并求出最大利潤是多少？【解析】（1）設(shè)購進籃球m個，排球n個，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進籃球40個，排球20個．（2）設(shè)商店所獲利潤為y元，購進籃球x個，則購進排球（60﹣x）個，根據(jù)題意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=5x+1200．（3）設(shè)購進籃球x個，則購進排球（60﹣x）個，根據(jù)題意得：，解得：40≤x≤．∵x取整數(shù)，∴x=40，41，42，43，共有四種方案，方案1：購進籃球40個，排球20個；方案2：購進籃球41個，排球19個；方案3：購進籃球42個，排球18個；方案4：購進籃球43個，排球17個．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=43時，可獲得最大利潤，最大利潤為5×43+1200=1415元．

9、為解決消費者停車難的問題，某商場新建一小型轎車停車場，經(jīng)測算，此停車場每天需固定支出的費用（包括設(shè)施維修費、管理人員工資等）為600元，為制定合理的收費標準，該商場對每天轎車停放輛次（每輛轎車每停放一次簡稱為“輛次”）與每輛轎車的收費情況進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每輛次轎車的停車費定價不超過10元時，每天來此停放的轎車都為300輛次；若每輛次轎車的停車費定價超過10元，則每超過1元，每天來此停放的轎車就減少12輛次，設(shè)每輛次轎車的停車費x元（為便于結(jié)算，停車費x只取整數(shù)），此停車場的日凈收入為y元（日凈收入=每天共收停車費﹣每天固定的支出）回答下列問題：（1）①當x≤10時，y與x的關(guān)系式為：；②當x＞10時，y與x的關(guān)系式為：；（2）停車場能否實現(xiàn)3000元的日凈收入？如能實現(xiàn)，求出每輛次轎車的停車費定價，如不能實現(xiàn)，請說明理由；（3）該商場要求此停車場既要吸引顧客，使每天轎車停放的輛次較多，又要有最大的日凈收入，按此要求，每輛次轎車的停車費定價應(yīng)定為多少元？此時最大日凈收入是多少元？【解析】(1)①由題意得：y=300x﹣600；②由題意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依題意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停車場能實現(xiàn)3000元的日凈收入，每輛次轎車的停車費定價是15元或20元；(3)、當x≤10時，停車300輛次，最大日凈收入y=300×10﹣600=2400（元）；當x＞10時，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，∴當x=17.5時，y有最大值．但x只能取整數(shù)，∴x取17或18．顯然x