中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題09 三角形中的垂線段最短模型（學(xué)生版）

專題09三角形中的垂線段最短模型【模型1】垂線段最短如圖，已知點(diǎn)P是直線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，則PB是直線外一點(diǎn)P與直線上各點(diǎn)的連線中最短的線段?！灸Ｐ?】?jī)蓷l線段的和最小值問(wèn)題如圖，已知點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)、是，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，通常作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)。此時(shí)的值最小?！纠?】如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【例2】如圖Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，則線段CP的最小值是_______．【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm，點(diǎn)D為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．(1)求AB，AC的長(zhǎng)度；(2)如圖，連接CD，線段CD是否有最小值；若有最小值，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及此時(shí)時(shí)間t的值；若沒(méi)有最小值，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，連接DE，當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，求時(shí)間t的值．一、單選題1．如圖，AP平分∠CAB，PD⊥AC于點(diǎn)D，若PD＝6，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段PE敘述正確的是（）A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥62．如圖，從位置O到直線公路l有四條小道，其中路程最短的是（

）A．OA B．OB C．OC D．OD3．如圖，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．54．如圖，l是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點(diǎn)A，小球從B到C從左向右擺動(dòng)，在這一過(guò)程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長(zhǎng)度的變化是（

）A．從大變小 B．從小變大 C．從小變大再變小 D．從大變小再變大5．如圖，中，，，，，平分，如果點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A． B． C． D．6．如圖，BD⊥CD，垂足為D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝6，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（

）A．7.1 B．6.5 C．4.8 D．3.2二、填空題7．如圖，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．8．在△ABC中，，，E是AB邊上的中點(diǎn)，且，點(diǎn)D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD取最小值時(shí)，∠DCE=________．9．如圖，已知是的中線，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，若的面積為10，，則的最小值為_______10．如圖，菱形ABCD中，，，E是對(duì)角線AC上的任意一點(diǎn)，則的最小值為______．11．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，點(diǎn)M為BC上一定點(diǎn)且BM＝1，在BC上有一動(dòng)點(diǎn)Q，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)P，則PM+PQ的最小值為_______．12．如圖，，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN=6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為______．三、解答題13．如圖，點(diǎn)在直線外，點(diǎn)在直線上，連接．選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D．(1)在直線上作點(diǎn)，使，連接；(2)在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，連接；(3)在，，中，最短的線段是______________，依據(jù)是______________．14．如圖，已知點(diǎn)P在∠AOC的邊OA上，(1)過(guò)點(diǎn)P畫OA的垂線交OC于點(diǎn)B；(2)畫點(diǎn)P到OB的垂線段PM；(3)測(cè)量P點(diǎn)到OB邊的距離：cm；(4)線段OP、PM和PB中，長(zhǎng)度最短的線段是；理由是．15．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，點(diǎn)P、Q分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、D重合，點(diǎn)Q不與A、C重合），求PC＋PQ的最小值16．在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，其中AB＝BC，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路CD，測(cè)得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米．(1)問(wèn)CD是否為從村莊C到河邊最近的路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)求原來(lái)的路線BC的長(zhǎng)．17．如圖所示，∠AED=80°，EF平分∠AED交AD于點(diǎn)F，∠1=40°(1)寫出判定EFBD的推理過(guò)程．(2)當(dāng)∠ADE=50°時(shí)，線段EA、EF、ED中最短的是哪段？并說(shuō)出理由．18．在中，，，是邊上一點(diǎn)，，直線交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，則______，______；(2)如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且滿足，，連接，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，若，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且滿足，，連接，請(qǐng)求出的最小值．19．(1)如圖1，在中，，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是、邊上的點(diǎn)．若B、E、F在一條直線上，且，探究與的數(shù)量之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，某體育課上老師組織學(xué)生進(jìn)行傳球訓(xùn)練．如圖2所示，體育老師在地面畫了一塊場(chǎng)地，已知米，米，D為的中點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為15米，受訓(xùn)練的兩名同學(xué)E和F分別在和邊上移動(dòng)，老師站在C點(diǎn)位置給同學(xué)傳球，先把球傳給E同學(xué)，E同學(xué)再傳給F同學(xué)，請(qǐng)求出所傳球的運(yùn)動(dòng)路徑最小值（即的最小值）．20．在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD、AC邊上的點(diǎn)．（1）如圖①，連接BE、EF，若∠ABE＝∠