中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專(zhuān)題10 幾何變換中的三角形全等模型（學(xué)生版）

專(zhuān)題10幾何變換中的三角形全等模型【模型1】全等三角形中的平移變換【說(shuō)明】平移前后的三角形全等。平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過(guò)平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．【模型2】全等三角形中的折疊變換模型【說(shuō)明】折疊問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)。軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)：

①關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn).

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同一直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).【模型3】全等三角形中的旋轉(zhuǎn)變換模型旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化.【例1】如圖，是由經(jīng)過(guò)平移得到的，AC分別交DE、EF于點(diǎn)G、H，若，，則的度數(shù)為（

）A．150° B．140° C．120° D．30°【例2】如圖，紙片的對(duì)邊，將紙片沿折疊，的對(duì)應(yīng)邊交于點(diǎn)G．若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．【例3】如圖，在等腰和等腰中，．(1)觀察猜想：如圖1，點(diǎn)在上，線(xiàn)段與的關(guān)系是_________；(2)探究證明：把繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若，，、交于點(diǎn)時(shí)，連接，直接寫(xiě)出最大面積_________．一、單選題1．如圖，三角形，三角形均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)是、的中點(diǎn)，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)M在CD的邊上，且DM＝1，△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，將△ADM按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．5 D．3．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝20，BC＝4，將紙片沿MN折疊，點(diǎn)，分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，MB′與DC交于K，若△MNK的面積為10，則DN的最大值是（

）A．7.5 B．12.5 C．15 D．174．如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM．下列結(jié)論：①CQ＝CD；②四邊形CMPN是菱形；③P，A重合時(shí)，MN＝2；④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5．其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④5．如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，交于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝EC，將△DCE沿DE對(duì)折至△DFE，延長(zhǎng)EF交邊AB于點(diǎn)G，連接DG、BF，給出以下結(jié)論：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題9．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AD=6cm，則∠EAD的正弦值為_(kāi)____．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°，將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DCM．若AE=1，則FM的長(zhǎng)為_(kāi)_．11．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的CD邊上，連結(jié)BE，將正方形折疊，使點(diǎn)B與E重合，折痕MN交BC邊于點(diǎn)M，交AD邊于點(diǎn)N，若tan∠EMC＝，ME＋CE＝8，則折痕MN的長(zhǎng)為_(kāi)__________．12．如圖，△ABC，△DEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點(diǎn)P與△ABC的頂點(diǎn)A重合，PD，PE分別與BC相交于點(diǎn)F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．13．如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)交線(xiàn)段于點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．14．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．三、解答題15．如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連接CD，將線(xiàn)CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE，連接DE交BC于點(diǎn)F，連接BE.(1)求證：ΔACD

≌

ΔBCE；(2)當(dāng)AD＝BF時(shí)，求∠BEF的度數(shù).16．如圖，中，，，為內(nèi)一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．17．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過(guò)的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長(zhǎng)．18．已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線(xiàn)上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AE，連接CE．直接寫(xiě)出BD和CE數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AE，連接CE，畫(huà)出圖形．（1）的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由．19．如圖，在中，，，點(diǎn)E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，連結(jié)，沿將折疊得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在上時(shí)，求的度數(shù)．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．20．如圖，，，≌，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出、的數(shù)量關(guān)系：______；(2)將沿剪開(kāi)，讓點(diǎn)和點(diǎn)重合．①按圖放置，將線(xiàn)段沿平移至，連接、，求證：；②按圖放置，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)度．21．如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，將Rt△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE（1）當(dāng)α＝15°，則∠ACE＝°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BF于M，作CN⊥EF于N，求證：CF平分∠BFE．（3）求Rt△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）為多少度時(shí)，△CFG為等腰三角形．22．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC=，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接CE，BD，CD．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：垂直平分．23．【問(wèn)題提出】如圖①，在中，若，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．【問(wèn)題解決】解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，再連結(jié)（或?qū)⒗@著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把、、集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．由此得出中線(xiàn)的取值范圍是____________．【應(yīng)用】如圖②，在中，D為邊的中點(diǎn)、已知．求的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，過(guò)點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)F，連結(jié)．已知，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．24．已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線(xiàn)與相交于點(diǎn)．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．25．折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過(guò)折紙，如折小花、飛機(jī)、小船等，在折紙過(guò)程中，我們通過(guò)研究圖形的性質(zhì)發(fā)展空間觀念，在思考問(wèn)題的過(guò)程中建立幾何直觀．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1將一個(gè)正方形先沿EF折疊得到圖2，再將圖2進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，折痕與正方形的邊交于點(diǎn)M、N，如圖3，打開(kāi)這張正方形的紙得到兩條折痕EF和MN，如圖4這兩條折痕的位置關(guān)系為，＝．【探究證明】（2）如圖5，將AB＝1，AD＝3的長(zhǎng)方形按（1）的方式進(jìn)行折疊，同樣得到兩條折痕EF和MN，（1）中的結(jié)論是否還成立，如果成立請(qǐng)證明，如果不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，將△ABC沿著斜邊AB翻折后得的三角形與原來(lái)三角形組合成一個(gè)四邊形ACBD，將四邊形ACBD分別沿著頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)D折疊得到兩條互相垂直的折痕，交四邊形的另兩條邊于點(diǎn)M和點(diǎn)N，＝．26．如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方