2021屆全國高三5月份數(shù)學(xué)模擬試題（二）（解析版）

2021屆全國高三5月份數(shù)學(xué)模擬試題〔二〕

一、單項選擇題

1.假設(shè)集合4=任年2-3工-4<0,xGZ},B={x\y=\n(2-x)},那么4仆3=()

A.{0}B.{0,1,2,3}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再求出集合5,最后根據(jù)交集的定義計算

可得；

【詳解】解：x2-3x-4<0,即(x—4)(x+l)<0,解得—l<x<4,所以

A=^x\x2-3x-4<0,xeZ|={0,1,2,3},

所以4口5={0』}

應(yīng)選：D

2.復(fù)數(shù)z=巖的虛部是()

2+3，

A.-iB.-1C.1D.i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法那么，求出z,即可得出結(jié)論.

3-2z_(3-2z)(2-3z)_-13f_.

【詳解】解法一:2+3z-(2+30(2-3/)一~一”

所以z的虛部為-1.

3-2/-;(2+3z)

解法二:z~~

2+3i2+3/

所以z的虛部為-1.

應(yīng)選：B.

3.某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種治療某疾病的新藥，服藥后，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少

于0.25毫克時，治療疾病有效.據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)

與時間f(單位：時)之間滿足如下圖的曲線，那么服藥一次后治療疾病的有效時間為

()

7379,

A.—B.—C.5D.6

1616

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象先求出函數(shù)的解析式，然后我們將函數(shù)值0.25代入函數(shù)解析式，構(gòu)

造不等式/⑺-。.25,可以求出每毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起始時刻和結(jié)束

時刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時間.

【詳解】解：由題意，當(dāng)腹劭1時，函數(shù)圖象是一個線段，

由于過原點與點(1,4),故其解析式為y=4r,噴出1；

當(dāng)心1時，函數(shù)的解析式為y=,

此時M(l,4)在曲線上，將此點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4=(；)~,解得”=3

故函數(shù)的解析式為y=(；)'T,f..l.

所以y=/⑺=

令/⑺..0.25,即

1

解得，16,

5

5.

16

179

二服藥一次治療疾病有效的時間為5-%=/小時.

1616

應(yīng)選：B.

4.等差數(shù)列｛&｝的前n項和為Sn,且S?=—~,令Tm=\am+am+i+...am^\(/nGN),

2

那么4,的最小值為()

A.9B.8C.5D.3

【答案】C

【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可分析到圖的最小值.

【詳解】解：由等差數(shù)列｛q｝的前.〃項和S“=吟迎，當(dāng)〃=1時4=-11,當(dāng)“22時,

_二3(1)2一25(1)

所以為=s/s”=宜咨一3(1)2—25(1)]4

Mnn—\22

當(dāng))=1,?！?3〃-14也成立,所以4=3*14.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，=鼠+4e+4“2+.3+41|=5|/』=5|3加-8,5,當(dāng)且

僅當(dāng)m=3時取等號.

應(yīng)選：C.

5.假設(shè)等邊三角形A8C的邊長為1,點。滿足83=2/葭＞1)，假設(shè)防*A=3,

那么實數(shù)2的值為()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

、、、、、2、、

【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算，化簡防.左;=防.（法+/）=&+防.晶，從而

22-1/1=3,解得2的值.

【詳解】DB，DC=DB-（DB+BC）=DB+DBBC=（-2AC）2-2AC-BC

,1

—A'—A=3,

2

解得2=2或-g（舍）

應(yīng)選：B

6.某校進(jìn)行體育抽測，甲與乙兩位同學(xué)都要在100m跑、立定跳遠(yuǎn)、鉛球、引體向上、

三級跳遠(yuǎn)這5項運(yùn)動中，選出3項進(jìn)行測試.假定他們對這五項運(yùn)動沒有偏好，那么他

們選擇的結(jié)果中至少有兩項相同運(yùn)動的選法種數(shù)為（）

A.70B.50C.30D.20

【答案】A

【分析】考慮兩種情況：①僅有兩項相同，②三項都相同，采用組合數(shù)計算選法種數(shù)，

由此求得結(jié)果.

【詳解】①僅有兩項相同的選法數(shù)有：C；C；C；=60種，

②三項都相同的選法數(shù)有：仁=10種，

所以至少有兩項相同運(yùn)動的選法種數(shù)為60+10=70種，

應(yīng)選：A.

7.斜率為A的直線/過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點尸，與拋物線C交于A,B

34

兩點，又直線/與圓/+爐-px-]p2=。交于C,。兩點.假設(shè)SA]SAoa”那

么k的值為（）

A.±1B.±0C.D.±2

【答案】C

【分析】求出拋物線的焦點F恰好為圓的圓心，得至lj|C4=2p,由面積關(guān)系得到

|明=），利用設(shè)而不求法表示出拋物線的焦點弦M=A+w+p=2p+告解出k.

JK

3.

【詳解】圓x2+y2-px-]p2=。的圓心為poi,半徑為p,

而斜率為大的直線/過拋物線c：yi=2px(p>0)的焦點尸[多0),

所以|C4=2p.

因為SAOAB=~St,OCD1所以=JC￡)|=gp.

設(shè)直線/：y=依代入)2=2px可得：k2x2-(^k2p+2p^x+^=0,

設(shè)A(玉,乂),3(々，%)，所以％+xi=P+當(dāng)，|A8|=XI+%+P=2p+g,

由陷=gm=|p得：2p+*號解得：4±6

應(yīng)選：C

8,函數(shù)/(x)那么以下說法正確的選項是()

X

A.f(x)無極大值，也無極小值

B.f(x)有極大值，也有極小值

C.f(x)有極大值，無極小值

D.f(x)無極小值，有極大值

【答案】C

【分析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，但由于l-lnx-d，不容易判斷正負(fù)，所以需要二次

求導(dǎo)來判斷.

【詳解】因為八力=叱一靖，所以產(chǎn)八.\-xTn"[Tnx—x.,

*八廣一P—P

令〃(x)=l-Inx-x2",

/?x)=」_2xex-x2ex=-^-+2xex+xVj,

因為x>0,所以，>0,2加，>0,/0*>0,即」+2xe'+//>0,故/?'(x)<0,

XX

所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

(1A111-2

ee

又因為力(1)=]_0<0,/?1-1=2Txe=2-e>0,

所以存在唯一的/eg』)，使得〃(x°)=l—lnx0-x，=0,

所以/(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(天,物)上單調(diào)遞減，

所以/(x)有極大值，無極小值.

應(yīng)選：C.

二、多項選擇題

9.某校擬從甲、乙兩名同學(xué)中選一人參加“網(wǎng)絡(luò)平安知識競賽"，于是抽取了甲、乙兩

人最近同時參加校內(nèi)競賽的十次成績，將統(tǒng)計情況繪制成如下圖的折線圖.根據(jù)該折線

圖，以下結(jié)論正確的選項是()

A.乙的成績的極差為7

B.甲的成績的平均數(shù)與中位數(shù)均為7

C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差

D.甲從第二次到第三次成績的上升速率要大于乙從第六次到第八次的上升速率

【答案】BD

【分析】結(jié)合折線圖，找到甲乙每次的成績，然后逐項分析即可.

【詳解】對A：找到乙的成績的最小值為2.最大值為10,所以極差為8,故A錯誤；

對B：甲的十次成績從小到大排列：5,6,6,777,7,8,8,9,所以中位數(shù)為三=7,平均數(shù)

為

5+6+6+7+7+7+7+8+8+9_,,十

-------------------------二7,故B正確；

對C：從折線圖可以看出乙的成績比甲的成績波動更大，所以甲的成績的方差小于乙的

成績的方差，故C錯誤；

對D：從折線圖可以看出甲從第二次到第三次成績上升速率要大于乙從第六次到第八次

的上升速率，故D正確.

應(yīng)選：BD.

10.函數(shù)〃x)=sin?x+e)(0>O,|同《5的局部圖象如下圖，那么以下說法正確的選

項是()

A./(x)=sin(2x+?)

B./(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是_等。

C.f(x)的圖象向左平移?個單位，所得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(不。］對稱

D.Vxe-黑,假設(shè)/仔卜，壯/圖恒成立，那么〃’的最大值為?

【答案】ACD

【分析】A.根據(jù)函數(shù)圖象先確定出周期T,由此求解出。的值，再根據(jù)最高點坐標(biāo)求

解出8的值，由此求解出“X)的解析式；

7T

B.采用整體代入的方法判斷-萬，。是否是一個單調(diào)遞增區(qū)間；

C.根據(jù)圖象平移先求解出g(x)的解析式，然后根據(jù)的值是否為零進(jìn)行判斷；

D.將問題轉(zhuǎn)化為“Txe-黑,，…中工+幻+等很成立”，先求解出sin(3x+*j

的最小值，即可求解出m的取值范圍.

【詳解】A.由圖象可知號=y-3=苧，所以7=二=%，所以。=2,所以

46124co

/(x)=sin(2x+<p),

又因為/信)=1,所以sin箱+(p=1,所以)+e=2%r+.#wZ,

所以9=2版■+$ZeZ且時41,所以“所以/(x)=sin(2x+S，故正確；

B.當(dāng)x十萬,0］時,12x+#卜可，升

因為y=sinx在-與,-］)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以-］，0不是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，故錯誤；

C.由題意可知g(x)=/(x+?)=sin+y=sin(2x+i)=-sin2x,

又因為gO=-sin"O,所以g(x)的圖象關(guān)于點(］,(/］對稱，故正確；

D.因為/J，所以"zWsin(3x+q)+*，

7171機(jī)Wsin[3x+g)+等很成立〃,

即“Vxw

66

TT7T~\(7r\715萬

因為xw一7',所以3x+we

_OOJIJJ66

?rri*ij1\/3y/3—1

所以sin(3x+yT"，所"以優(yōu)K-----1-----，即nn加4--------

2222

所以加的最大值為叵］，故正確.

2

應(yīng)選：ACD.

18

11.假設(shè)x>Ly>2,且滿足孫-2x=y,那么言'+的值可以為()

A.-B.3C.4D.—

22

【答案】CD

【分析】由條件化簡得(x-l)(y-2)=2,那么_1+_匚22、一1-^=4,根據(jù)不

x-\y-2yx-1y-2

等式的最小值，判斷滿足的選項即可.

【詳解】由孫-2x=y,知x=-^；nx-l=-^n(x-l)(y-2)=2,

y-2y-2

那么一4+咦22口耳=4

x—1y—Z.yx—Iy—2

當(dāng)且僅當(dāng)X=]3,y=6時，等號成立，

從選項可知，CD滿足條件，

應(yīng)選：CD

12.假設(shè)存在實數(shù)A和瓦使函數(shù)/(》)和g(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:

/(X)>丘+〃和g(X)<依+6恒成立，那么稱直線尸乙+/7為.“X)和g(x)的“隔離直

線”.函數(shù)"力="\g(x)=',那么以下直線為了(X)與g(x)的“隔離直線〃的是

()

A.尸xB.y=—xC.y=x+lD.y=x~\

4e

【答案】AD

【分析】按照“隔離直線”的定義，對四個選項一一驗證：

Inx

對于A：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別證明和也4X,即可判斷；

X

對于B：取特殊值》=6,驗證g(x)4履+6不滿足，即可判斷；

對于C：取特殊值x=l,驗證/(x)Z"+6不滿足，即可判斷；

InY

對于D：由A證明過程可得成立；利用分析法證明:j4x-l即可判斷..

【詳解】因為/(x)="T,g(x)=/，所以公共定義域為(0,+8)

對于A：令/?(x)=e*T-x,xe(0,+oo),h'(x)=e'~'-1

所以當(dāng)x?l,+8),有“(x)>0,單增；當(dāng)xe(O,l),有力'(x)<0,單減；

所以/7(x)=e、T—乂2萬(1)=0,即小七萬.所以成立；

同理可證：(J.所以g(x)4"+8成立.

所以尸x是〃x)與g(x)的“隔離直線”.故A正確.

對于B：當(dāng)x=e時，有8(6)=3￡=：,而y=《xe=；<；,所以g(x)4"+匕不滿足,

故B不正確.

對于C：當(dāng)x=l時，有〃l)=ei=l,而y=l+l=2>l,所以〃x)N米+b不滿足，故

C不正確.

對于D：由A證明過程可得：ex-'>x>x-\^即成立；

下面證明處4x-l：

X

由d-Nx,兩邊取對數(shù)得：lnx4x-l,

只需證明匕4》-1,

X

因為x>0,只需證明x-l〈(x-l)x=x2一%,

只需爐-2x+120成立.

而Y一2X+1=(X-1)22。顯然成立，

所以邛4x7成立，即g(x)4履+匕成立.故D正確.

應(yīng)選：AD

【點睛】(1)多項選擇題，一個一個選項驗證：

(2)數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵：②根據(jù)新定義,

對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.

(3)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個:其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；

其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)

證明.

三、填空題

'3x+2y-220

13.變量x,y滿足約束條件■x-y40,那么z=2x-5y+2的最大值為_.

x<2

4

【答案】y

【分析】首先作出可行域，然后數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意作出圖形：

其中噌，渺(2,2)，

數(shù)形結(jié)合可知，經(jīng)過點A(|,|卜寸，

224

z=2x-5y+2有最大值，且最大值為2x1—5x《+2=w.

4

故答案為：y.

14.不為1的正實數(shù)機(jī)，〃滿足10glm>10gl"，那么以下不等式中一定成立的是.(將

33

所有正確答案的序號都填在橫線上)

①」②@ln（n-m）>0；④3而”<1；⑤，>L

n-\mn

【答案】④⑤.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性先分析出“〃的大小關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及不等式

的性質(zhì)逐項分析.

【詳解】因為log>m>logi"且見〃不為i,由對數(shù)函數(shù)y=logix的單調(diào)性可知o<〃?<〃，

333

①當(dāng)。時，-^-<0,-i->0,所以」故①不一定成立；

m-\n-\in-In-\

②因為m<n,由指數(shù)函數(shù)y=/的單調(diào)性可知d"<e"，故②不成立；

③當(dāng)0<〃z<〃vl時，0〈〃一〃zvl,所以In（〃一團(tuán)）vO,故③不一定成立;

④因為根一〃<0,所以3〃i<3°=l,故④一定成立；

⑤因為0<根<〃，所以故⑤一定成立；

mn

故答案為：④⑤.

15.三棱錐P-A5C的所有棱長為2,D,E,尸分別為如，PB,PC的中點，那么此

三棱錐的外接球被平面。E尸所截的截面面積為.

4萬

【答案】y

【分析】根據(jù)正四面體的邊長，求得外接球半徑，并求得外接球球心到被平面OEk所

截的截面的距離，從而求得外接球被平面。燈所截的截面所在的圓的半徑，從而求得

面積.

【詳解】作取人平面ABC于N點，交平面OEF于M點，取三棱錐P-ABC的外接球

球心為O,那么設(shè)外接球半徑OP=OB=r,

易知BN=當(dāng),PN=J22-

那么在R,Z\ONB中，/=（子）2+（平-，）2,解得『=告

又D,E,尸分別為山,PB,PC的中點，那么尸7=逅

23

那么球心到平面DEF的距離0M=-

236

此三棱錐的外接球被平面。E尸所截的截面為以77二萬產(chǎn)=氈為半徑的圓,

3

那么截面面積為雙竽）2=^江

故答案為：

16.假設(shè)函數(shù)/只有一個零點，那么實數(shù)。的取值范圍是.

x

【答案】或",

e

【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根，令g(X)=@W，利用導(dǎo)數(shù)

xexe

研究函數(shù)的圖象特征，即可得到答案；

>-InxI八lnx+x八、

【詳解】?：ae------1=0=。=----：—(zx>0),

xxex

令g(x)=總中，那么g.(x)=(x+)(l二l；x-x),

xexe

4k?W=l-lnx-x,那么〃(x)=_』_l<0在x〉0恒成立，

x

履x)=l_lnx_x在(0,行)單調(diào)遞減，且〃(1)=0,

(x)>0=>0<x<1,(x)<0x>1,

g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,"0)單調(diào)遞減，且g(l)=L

e

當(dāng)xf+oo時，g(x)->。，

如下圖，可得當(dāng)"MO或4=士j時，直線y=a與>=上In千Y4-Y有且僅有一個交點，

exe

故答案為：“M0或

e

四、解答題

17.在①asin"；'=csinA,②a-'|=ccos8,③詬=(a+c,b-。)，n=(a-c,b),且

正，〃.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.

問題：在AABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且—.

(1)求C；

(2)假設(shè)c=3,求A48c面積的最大值.

【答案】(1)g;(2)班.

34

【分析】(1)選①，由正弦定理將條件等式邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，求出

sin1,即可得出C角；

選②，由正弦定理，將條件等式化邊為角，結(jié)合sinA=sin(B+C),求出cosC,即可得

出C角；

選③，由正_L/h得出4,4c的關(guān)系，再由余弦定理，即可求出cosC,進(jìn)而求出C角；

(2)根據(jù)(1)中的C的值和c=3,由余弦定理，結(jié)合根本不等式，可求出油的最大

值，即可得出結(jié)論.

【詳解】選擇條件①：

(1)由正弦定理及asin-^—=csinA,

ccc

可得sinAcos—=sinCsinA=2sin—cosysinA,

因為0cA<",0<￡<工,所以sinA>0,cosC>0,

222

所以5抽5=；，5=1，。=[;

22263

(2)在dABC中，由余弦定理及C=q,c=3,

得<2=9=a2+b2-2abeos5>ab,所以出?W9,

當(dāng)且僅當(dāng)。二人二3時，等號成立，

那么S&ABC=g〃bsinC=,

所以△ABC面積的最大值為也.

4

選擇條件②

(1)由正弦定理及〃一?=ccosB,

2

_.,sinB.「八

得zsinA----=sinCeosB,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sin8cosC=^3,

2

因為0<3<%，所以$出3>0,35。=,，

2

rr

又0<<7<乃，所以C=§；

(2)下同選擇條件①.

選擇條件③：

由zn=(a+c,6-a),n=(a-c,b),且正"L1,

m-n=a1—c1+b2—ab=G>

由余弦定理得cosC=工,

lab2

又0<C(萬，所以c=(；

(2)下同選擇條件①.

18.數(shù)列｛a“｝是遞增的等比數(shù)列，ai=3,且ai,敗+6,。3成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

b

(2)假設(shè)數(shù)列｛瓦｝滿足岳=1,b?+bn+i=(2/i+Da,?記],=々+；仇+…+(gj?)

4<1V111

假設(shè)%=不（一1d，證明：2+…+/<2.

3\JJC1C2Ln

【答案】（1）%=3"；（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)｛4｝的公比為〃，利用通項公式根本量代換建立方程組，解出外寫出

通項公式；

⑵由+…+（g）可得：%+…

兩式相加后整理化簡求出q,=g7；,-（；）b?=n2,由當(dāng)“22時，

11111

r==用裂項相消法求和即可證明

cnnnyn-\）n-1n

【詳解】（1）設(shè)｛4｝的公比為q,那么。,,=4/，

由題意得:a”s+6,“3成等差數(shù)列，所以2（qq+6）=q+q/,

因為。1=3,所以—2q-3=0,解得：4=3或q=-1.

因為0=3,數(shù)列｛m｝是遞增數(shù)列，所以9=3,

所以為=用1=3".

（2）由7；=偽+：打+—+（：）%,可得：

兩式相加得：

所以#=4+gx3x3i+（；）X5X32+---+^

X（2〃-1）X3"T+Ib.

所以#-（g）d=1+3+5+…+（2〃-1）=〃2,即％=._仕）b?=n2.

1I11I

所以當(dāng)〃*2時，-=—<-（---齊=---7一一，

cnnn[n-\）n-\n

111,,11111c1c

所以一+——+...+——=1+1——+----+…+-------=2——<2.

5c2%223n—\nn

即證.

19.如圖，四棱錐P-A3C。的底面ABC0為菱形，NA3C=60。，R1J_平面ABC。,

且E,M分別為BC,尸。的中點，點尸為棱PC上一動點.

(1)證明：平面4E凡L平面粗。.

(2)假設(shè)在線段PC上是否存在一點尸，使得二面角尸-AE-M的正弦值

為巫？假設(shè)存在，試確定尸的位置；假設(shè)不存在，說明理由.

10

【答案】m證明見解析；(2)存在點F,當(dāng)月為線段PC的中點或尸為線段PC的靠

近點C的五等分點，能夠使得得二面角F-AE-M的正弦值為巫.

10

【分析】(1)連結(jié)AC,證明AE_L8C和%L4E,得到AEJL面AOP,再利用面面垂直

的判定定理可以證明面AERL平面PAD,

(2)以A為原點，而，而，衣分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量

法求解即可.

【詳解】(1)連結(jié)AC,

因為底面4BCC為菱形，ZABC=60°,所以三角形ABC為等邊三角形，

因為E為8C的中點，所以AE_L8C.

又AQ〃BC,所以AE_LAD

因為孫，平面ABC。，所以%_LAE.

因為45nAP=A,所以AE_L面4DP.

因為AEq面AE尸,所以面AERL平面PAD.

(2)

以A為原點，荏，而，而分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)4?=2,

那么：/I(0,0,0),/?(73,-1,0),C(A/3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),E(退,0,0),

所以近=(6,0,0),祝=(0,1,1),麗=(0,0,2)前=(61,—2),

設(shè)所=4定=,4e(0,1),那么而=而+討=(6兄2,2-24),

設(shè)平面AE例的一個法向量為￡=(x,y,z),那么即[?x=0,

'[m-AM=0[y+z=O

不妨設(shè)產(chǎn)1,那么而=(0,1,-1).

同理可求平面4EF的一個法向量為7=(0,24—2,4).

假設(shè)存在點尸符合題意，即存在點F,使得二面角尸-AE-M的正弦值為典，

10

所以二面角F-AE-M的余弦值為嚕，

所以?，刀卜咨《=丁」^￡^_=2平，解得：義=:或2=:,

1\71Hx|n|&.'（2幾一2）2+把1025

故存在點尸，當(dāng)尸為線段PC的中點或尸為線段PC的靠近點C的五等分點，能夠使得

得二面角F-AE-M的正弦值為巫.

10

20.某市為了解鄉(xiāng)村振興，農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程,對全市村莊進(jìn)行全方位的摸底調(diào)研.根

據(jù)調(diào)研成績評定“要加油”"良好"“優(yōu)秀"三個等級.現(xiàn)隨機(jī)抽取200個村莊的成績統(tǒng)

計結(jié)果如表：

等級要加油良好優(yōu)秀

得分[0,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)808040

（1）假設(shè)調(diào)研成績在80分及以上認(rèn)定為“優(yōu)良”，抽取的200個村莊中西部村莊的分

布情況如表.完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有

關(guān)？

是否優(yōu)良

村莊位置總計

優(yōu)良非優(yōu)良

東部村莊

西部村莊5050

總計

（2）用分層抽樣的方法，從評定為“要加油”"良好”"優(yōu)秀〃三個等級的村莊中隨機(jī)抽

取10個進(jìn)行細(xì)致調(diào)查，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“優(yōu)秀”記10分，“良好”記5分，"要

加油”記0分.現(xiàn)再從抽取的10個村莊中任選2個村，所選村的量化分之和記為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

其中〃=a+8+c+d.

附:A-,）9

尸（一“。）0.100.050.010

“02.7063.8416.635

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有關(guān)；（2）分布

列見解析，E（X）=8分.

【分析】11）根據(jù)優(yōu)良和非優(yōu)良的頻數(shù)填寫表格，然后根據(jù)公式計算出K?的值與6.635

比擬大小并作判斷；

（2）先根據(jù)分層抽樣求解出“要加油”"良好”“優(yōu)秀”三個等級分別抽取的村莊個數(shù)，

再根據(jù)條件列出X的可取值并計算出對應(yīng)概率，由此X的分布列可知，最后根據(jù)數(shù)學(xué)

期望的計算公式求解出數(shù)學(xué)期望的值.

【詳解】（1）2x2列聯(lián)表如下表所示：

是否優(yōu)良

村莊位置總計

優(yōu)良非優(yōu)良

東部村莊7030100

西部村莊5050100

總計12080200

所以_200(70x50-30x50)2

a8.333>6.635，

-100x100x120x80

故有99%的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有關(guān);

QA

⑵“要加油〃等級的村莊抽取數(shù)：m布布于4個,

80

“良好”等級的村莊抽取數(shù)：10x=4個,

80+80+40

40

“優(yōu)秀”等級的村莊抽取數(shù)：10x=2個,

80+80+40

由題意可知：X的可取值有。,5』0』5,20,

)

p(X=O=盤一話

rxCx16

尸(X=5)=-^

C1045

C?C；C：=14

P(X=10)=

C；,a45

P(X=15)=嬰=色

,)445

P(X=20)=與」,

IF45,

所以X的分布列為:

X05101520

2161481

P

1545454545

所以數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x]+5x導(dǎo)10*+15x?20x￡=8分.

/”2

21.A,8分別是橢圓￡=+±=1S>b>0）的左頂點與上頂點，F(xiàn)i,凡分別為橢

a~b~

圓E的左，右焦點，橢圓E的離心率為g,尸是線段48上一點，且國?麗的最大

值為3.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點尸2的直線/交橢圓E（異于橢圓頂點）于M,N兩點，試判斷+

IIINF21

是否為定值？假設(shè)是，求出該定值；假設(shè)不是，說明理由.

丫2V24

【答案】（1）二+匕=1；（2）是定值，且定值為;.

【分析】m根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，求解即可；

（2）設(shè)出直線方程，然后與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理用所設(shè)參數(shù)表示出五%十而\,

然后化簡即可求出結(jié)果.

【詳解】⑴因為月（一〃,0）,8（0,6）,耳（—c,0）,6（c,0）,所以直線AB的方程為y=^x+b,

設(shè)其中—又因為離心率為:，所以￡=（，即a=2c,

又因為片二尸+仃?，所以人=百（?，

所以兩?PF\=t2-c2+與r++b2=t2-c2++3ct+3c2=(*+3ct+2c2

當(dāng)/=一々，即，=-2c時,

(PF\-PF\)^=^x(-2c)2+3cx(-2c)+2?=3?,所以3c2=3,即0=i,

22

所以。=2,8=6，故橢圓的方程為土+乙=1；

43

（2）月（1,0）,顯然斜率不為0,故設(shè)了=陽+1,

x=my+1

所以X2V,聯(lián)立得(3*+4)y2+6〃h-9=0,

---F--=1

43

-6m

y+必=丁不