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2022高考一輪復(fù)習(xí)5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)課程標準解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)1.了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化.2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.象限角及終邊相同的角.2.扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用.3.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用.1.數(shù)學(xué)抽象.2.直觀想象.3.數(shù)學(xué)運算.(3)不相等的角終邊一定不相同.(
)(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關(guān).(
)課前自測(1)銳角是第一象限的角,第一象限的角也都是銳角.(
)×√×(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(
)
(6)若α為第一象限角,則sinα+cosα>1.(
)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)√√√
=2
AC3.若sinα<0,且tanα>0,則α是(
)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角sinα<0tanα>0α是第三象限角Cα的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上α的終邊在第一或第三象限4.一條弦長等于半徑,則此弦所對圓心角的弧度數(shù)為________rad.rrr
60°5.已知角α的終邊過點P(-4,3),則2sinα+tanα的值為________.
Oxy-43P(-4,3)5α
考點梳理1.任意角的概念角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著________從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.(1)定義端點(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向正角按_________方向旋轉(zhuǎn)而成的角負角按_________方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角射線沒有旋轉(zhuǎn)按終邊位置前提:角的頂點在原點,始邊與x軸的非負半軸重合象限角角的終邊在第幾象限,這個角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標軸上逆時針順時針(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=____________________________.{β|β=α+k·360°,k∈Z}Oxyα2.弧度制(1)定義把長度等于_______的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad.半徑長(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=___________角度與弧度的換算1°=______rad,1rad=()°≈57°18′弧長公式l=__________扇形面積公式S=_________=
α·r2
α·r
3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么___叫做α的正弦,記作sinα___叫做α的余弦,記作cosα___叫做α的正切,記作tanα各象限符號ⅠⅡⅢⅣ口訣一全正,二正弦,三正切,四余弦yx
正正正正負負負負負負正正常用結(jié)論象限角的集合第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
常用結(jié)論軸線角的集合終邊落在x軸上的角
終邊落在y軸上的角
終邊落在坐標軸上的角
常用結(jié)論三角函數(shù)定義的推廣
設(shè)點P(x,y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合,r=|OP|,則常見誤區(qū)4.利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度.1.相等的角終邊一定相同,但終邊相同的角卻不一定相等.2.在同一個式子中,不能同時出現(xiàn)角度制與弧度制.3.已知三角函數(shù)值的符號求角的終邊位置時,不要遺忘終邊在坐標軸上的情況.!典例剖析考點1象限角及終邊相同的角
A
C3.(多選)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是(
)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角當k=2n+1,n∈Z時,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α為第三角限角.角2α的終邊在x軸的上方當k=2n,n∈Z時,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α為第一象限角;k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Zk·180°<α<k·180°+90°,k∈ZAC4.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_________________.代入得β=-675°和β=-315°.所有與45°終邊相同的角可表示為β=45°+k×360°(k∈Z).令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z),
從而k=-2和k=-1,-675°和-315°方法總結(jié)象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角
注意“順轉(zhuǎn)減,逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用,如角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)180°可得角α+180°的終邊,類推可知α+k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角.①將θ的范圍用不等式(含有k,且k∈Z)表示;②兩邊同除以n或乘以n;注意考點2扇形的弧長及面積公式[例1]已知扇形的圓心角是α
,半徑為R,弧長為l.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧長l;
(2)若扇形的周長為20cm,當扇形的圓心角α為多少弧度時,這個扇形的面積最大?由已知得,l+2R=20,則l=20-2R,0<R<10,
所以當R=5時,S取得最大值,最大值為25cm2,此時l=10cm,α=2rad.
方法總結(jié)弧長、扇形面積問題的解題策略
運用弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度.(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.提醒跟蹤訓(xùn)練1.(多選)已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,則下列選項正確的有(
)A.扇形的半徑為2B.扇形的半徑為1C.圓心角的弧度數(shù)是1D.圓心角的弧度數(shù)是2可得圓心角的弧度數(shù)是4或1,扇形的半徑是1或2.設(shè)扇形半徑為r,圓心角的弧度數(shù)為α,
ABC
記扇形的圓心角為α,
考點3三角函數(shù)的定義角度一利用三角函數(shù)的定義求值
C
記P為角α的終邊與單位圓的交點,設(shè)P(x,y)(x<0,y<0)
sinα<0sinαcosβ<0
角α只能是第三象限角|OP|=1(O為坐標原點)x2+y2=1
方法總結(jié)(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.(1)已知角α終邊上一點P的坐標,可求角α的三角函數(shù)值.先求P到原點的距離,再用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值,可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值.三角函數(shù)定義問題的解題策略角度二判斷三角函數(shù)值的符號[例3](2020·高考全國卷Ⅱ)若α為第四象限角,則(
)A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0通解α為第四象限角D
-π+4kπ<2α<4kπ(k∈Z)cos2α≤0或cos2α>0,sin2α<0角度二判斷三角函數(shù)值的符號[例3](2020·高考全國卷Ⅱ)若α為第四象限角,則(
)A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0優(yōu)解Dα為第四象限角
方法總結(jié)要判定三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在的象限,那就要進行分類討論求解.三角函數(shù)值符號的判斷方法跟蹤訓(xùn)練
300°=360°-60°,則300°是第四象限角,故sin300°<0;-305°=-360°+55°,則-305°是第一象限角,故cos(-305°)>0;
D
C
角α的終邊位于第二或第四象限當角α的終邊位于第二象限時,
當角α的終邊位于第四象限時,
0隨堂訓(xùn)練
點P(sinx-cosx,-3)在第三象限sinx-cosx<0
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