2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國通用）：20 相似三角形重要模型之母子型（共邊共角模型）（學(xué)生版）

專題20.相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；例1．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在中，是邊上的點，，，則與的周長比是（

）A． B． C． D．例2．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長．

例5．（2023.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點D為坐標(biāo)原點O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，點Q出B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動；設(shè)運動時間為t秒是否存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例6．（2022·陜西漢中·九年級期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點為頂點的繞點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點分別為點、，與交于點，與交于點，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點，若，，求的長．例7．（2023·浙江·九年級期末）（1）如圖1，在中，為上一點，．求證：．（2）如圖2，在中，是上一點，連接，．已知，，．求證：．（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，、相交于點．已知的半徑為2，，，，求四邊形的面積．例8．（2022春·廣東深圳·九年級?？计谥校净A(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點在延長線上，連結(jié)，，，若，，，求的長；

【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點，連結(jié)，點，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．課后專項訓(xùn)練1.（2023成都市九年級期中）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，ADAB=12，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為SA．116 B．15 C．14 2．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線分別交，于點．以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連結(jié)．則下列說法錯誤的是（

）A．B．C．D．3．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，于點，下列關(guān)系中不正確的是（

）

A．B．C．D．4．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．5．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，在中，D是上的點，，，，則與的面積比為（

）

A． B． C． D．6．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；作射線交于點，若，，的面積為，則的面積為．7．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點，與交于點，則的長為．8．（2022·河北邢臺·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點為邊上一點，則點與點的最短距離為______．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時，的長為______．9．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對角線，與相交于點．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

10．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，，分別交對角線于點，若，則的值為．11．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點，，則的值為________．12．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．13．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．14．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長．

15．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點的對應(yīng)點是點，折痕交于點，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個菱形較長對角線的長．16．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．17．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點E在的延長線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的長．18．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）已知，點D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點，連接交于點P，當(dāng)，時，若，直接寫出的值______．

19．（2022·湖南長沙·?？既＃┘s定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．20．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知在?ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是邊BC上的動點，以AE為一邊作?AEFG，且使得直線FG經(jīng)過點D．（1）如圖1，EF與AD相交于H，若H是EF的中點．①求證：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的長；（2）如圖2，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，當(dāng)點E在邊BC上移動時，始終保持∠AEF＝45°，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)y的取值范圍；②連接ED，當(dāng)△AED是直角三角形時，求DF的值．21．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個三角形中，若一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時，稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對的邊分別為，若，則．下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長到點，使得，連接，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請補全證法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校聯(lián)考三模）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．23．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點，在邊上，連接，，使，且．(1)請判定的形狀，并說明理由；(2)若，，求的面積．

24．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準五角星．為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進行了較深入的研究．延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準五角星．如圖，正五邊形的