2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國通用）：23 解直角三角形模型之新定義模型（學(xué)生版）

專題23解直角三角形模型之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵?！局R(shí)儲(chǔ)備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，例2．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC＝_____．例3．（2022·山東青島·?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．例4．（2023春·四川瀘州·八年級(jí)?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個(gè)三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．

例5．（2023·北京市·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例6．（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長度．

例7．（2023·四川宜賓·?？既＃┩ㄟ^學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時(shí)=．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．例8．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，．（1）如圖3，若，則__，_____；（2）請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含的式子表示）．例9．（2022·重慶·校考一模）材料一：證明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．例10．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個(gè)角度來規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現(xiàn)已知在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．4．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L分別為a、b、c，求其面積問題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個(gè)三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（

）A． B． C． D．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請根據(jù)以上材料，求得tan75°的值為．6．（2023·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．7．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為．8．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．9．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為．10．（2023·四川成都·成都外國語學(xué)校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB．11．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，則存在余弦定理：，，，即三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和減去這兩邊與這兩邊夾角的余弦的積的2倍．例如：在圖1中，，∴AC＝請你利用余弦定理解答下列問題：(1)應(yīng)用新知：在圖2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，則c＝______；②若，，，求∠A；(2)遷移發(fā)散：如圖3，某客輪在A處看港口D在客輪的北偏東50°方向上，在A處看燈塔B在客輪的北偏西30°方向距離海里處，客輪由A處向正北方向航行到C處時(shí)，再看港口D在客輪的南偏東80°距離6海里處，求此時(shí)C處到燈塔B的距離．12．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關(guān)系，并寫出探究過程．13．（2023·山東·一模）小明學(xué)完了“銳角三角函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)后，通過研究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通過上網(wǎng)查閱資料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在著的關(guān)系”．這個(gè)關(guān)系對于一般三角形還適用嗎？為此他做了如下的探究：（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，請判斷此時(shí)“”的關(guān)系是否成立？答：______________．（2）完成上述探究后，他又想“對于任意的銳角△ABC，上述關(guān)系還成立嗎？”因此他又繼續(xù)進(jìn)行了如下的探究：如圖3，在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=h，∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=______________，sinB=______________．∴=_____________，=____________．∴同理，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，可證∴請將上面的過程補(bǔ)充完整．（3）運(yùn)用上面結(jié)論解答下列問題：①如圖4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的長．②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC內(nèi)切圓的半徑為______．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值例：根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當(dāng)?shù)墓酱鸢赶旅娴膯栴}(1)計(jì)算；(2)