三角恒等變換專題復(fù)習(xí)資料

三角恒等變換專題復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)：1、能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式；2、理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：；3、可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見(jiàn)的根本關(guān)系式解決各種問(wèn)題。教學(xué)重難點(diǎn)：可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見(jiàn)的根本關(guān)系式解決各種問(wèn)題【根底知識(shí)】一、同角的三大關(guān)系：=1\*GB3①倒數(shù)關(guān)系tan?cot=1=2\*GB3②商數(shù)關(guān)系=tan；=cot=3\*GB3③平方關(guān)系溫馨提示：〔1〕求同角三角函數(shù)有知一求三規(guī)律，可以利用公式求解，最好的方法是利用畫(huà)直角三角形速解。[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]〔2〕利用上述公式求三角函數(shù)值時(shí)，注意開(kāi)方時(shí)要結(jié)合角的范圍正確取舍“〞號(hào)。二、誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，一般先把角化成的形式，然后利用誘導(dǎo)公式的口訣化簡(jiǎn)〔如果前面的角是90度的奇數(shù)倍，就是“奇〞，是90度的偶數(shù)倍，就是“偶〞；符號(hào)看象限是，把看作是銳角，判斷角在第幾象限，在這個(gè)象限的前面三角函數(shù)的符號(hào)是“+〞還是“--〞，就加在前面〕。用誘導(dǎo)公式計(jì)算時(shí)，一般是先將負(fù)角變成正角，再將正角變成區(qū)間的角，再變到區(qū)間的角，再變到區(qū)間的角計(jì)算。三、和角與差角公式：;;變用±=(±)(1)四、二倍角公式：=..五、注意這些公式的來(lái)弄去脈這些公式都可以由公式推導(dǎo)出來(lái)。六、注意公式的順用、逆用、變用。如：逆用變用七、合一變形〔輔助角公式〕把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方〞的形式。，其中．八、萬(wàn)能公式九、用，表示十、積化和差與和差化積積化和差；；；.和差化積十一、方法總結(jié)1、三角恒等變換方法觀察〔角、名、式〕→三變〔變角、變名、變式〕〔1〕“變角〞主要指把未知的角向的角轉(zhuǎn)化，是變換的主線，如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·eq\f(α+β,2),eq\f(α+β,2)=(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)等.〔2〕“變名〞指的是切化弦〔正切余切化成正弦余弦〕，〔3〕“變式’指的是利用升冪公式和降冪公式升冪降冪，利用和角和差角公式、合一變形公式展開(kāi)和合并等。2、恒等式的證明方法靈活多樣①?gòu)囊贿呴_(kāi)場(chǎng)直接推證,得到另一邊,一般地,如果所證等式一邊比擬繁而另一邊比擬簡(jiǎn)時(shí)多采用此法,即由繁到簡(jiǎn).②左右歸一法,即將所證恒等式左、右兩邊同時(shí)推導(dǎo)變形,直接推得左右兩邊都等于同一個(gè)式子.③比擬法,即設(shè)法證明:"左邊－右邊=0"或"eq\f(左,右)=1";④分析法,從被證的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的充分條件,一直推到條件或顯然成立的結(jié)論成立為止,則可以判斷原等式成立.【例題精講】例1為第四象限角，化簡(jiǎn)：解：〔1〕因?yàn)闉榈谒南笙藿撬栽?例2，化簡(jiǎn)解：，所以原式=例3tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°==例4〔05天津〕，求及．解：解法一：由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得，即①由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得故②由①和②式得，因此，，由兩角和的正切公式解法二：由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得，解得，即由可得由于，且，故在第二象限于是，從而以下同解法一小結(jié)：1、此題以三角函數(shù)的求值問(wèn)題考察三角變換能力和運(yùn)算能力，可從角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系〔均含〕進(jìn)展轉(zhuǎn)換得到．2、在求三角函數(shù)值時(shí)，必須靈活應(yīng)用公式，注意隱含條件的使用，以防出現(xiàn)多解或漏解的情形．例5為銳角的三個(gè)內(nèi)角，兩向量，，假設(shè)與是共線向量.〔1〕求的大小；〔2〕求函數(shù)取最大值時(shí)，的大小.解：〔1〕，〔2〕，．小結(jié)：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很?chē)?yán)密，解題時(shí)要時(shí)刻注意例6設(shè)關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)內(nèi)有相異二解α、β.(1)求α的取值范圍;(2)求tan(α＋β)的值.解:(1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋),∴方程化為sin(x＋)＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)內(nèi)有相異二解,∴sin(x＋)≠sin＝.又sin(x＋)≠±1(∵當(dāng)?shù)扔诤汀?時(shí)僅有一解),∴|－|<1.且－≠.即|a|<2且a≠－.∴a的取值范圍是(－2,－)∪(－,2).(2)∵α、β是方程的相異解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.小結(jié)：要注意三角函數(shù)實(shí)根個(gè)數(shù)與普通方程的區(qū)別，這里不能忘記(0,2π)這一條件.例7函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：條件實(shí)際上給出了一個(gè)在區(qū)間上恒成立的不等式．任取，且，則不等式恒成立，即恒成立．化簡(jiǎn)得由可知：，所以上式恒成立的條件為：.由于且當(dāng)時(shí)，，所以,從而,有,故的取值范圍為.【根底精練】1．α是銳角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋π))的值等于()A.eq\f(\r(2),4)B．－eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(14),4) D．－eq\f(\r(14),4)2．假設(shè)－2π＜α＜－eq\f(3π,2)，則eq\r(\f(1－cos(α－π),2))的值是()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2) D．－coseq\f(α,2)3.eq\f(sin(180°＋2α),1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos(90°＋α))等于()A.－sinαB.－4.角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，則eq\f(1＋\r(2)cos(2α－\f(π,4)),sin(α＋\f(π,2)))等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(7,5)C.eq\f(14,5)D.－eq\f(2,5)5.定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(ab),\s\do5(cd))))＝ad－bc.假設(shè)cosα＝eq\f(1,7)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(sinαsinβ),\s\do5(cosαcosβ))))＝eq\f(3\r(3),14)，0<β<α<eq\f(π,2)，則β等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)6.tanα和tan(eq\f(π,4)－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，則a、b、c的關(guān)系是()＝a＋＝a＋＝b＋＝ab7.設(shè)a＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝eq\f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)，d＝eq\f(1,2)(cos80°－2cos250°＋1)，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()＞b＞d＞＞a＞d＞＞a＞b＞＞a＞d＞b8．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)，\f(\r(2),2)－\f(1,2)))9.假設(shè)銳角α、β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，則α＋β＝.10.設(shè)α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(4,3)，且sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2)，則coseq\f(α,2)＝.11.sin(x)=，0<x<，求的值。12.假設(shè)，，求α+2β。【拓展提高】1、設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(eq\f(πx,4)－eq\f(π,6))－2cos2eq\f(πx,8)＋1(1)求f(x)的最小正周期.(2)假設(shè)函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，求當(dāng)x∈[0，eq\f(4,3)]時(shí)y＝g(x)的最大值2.向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)(1)求cos(α－β)的值；(2)假設(shè)0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，且sinβ＝－eq\f(5,13)，求sinα.3、求證：－2cos〔α+β〕=.【根底精練參考答案】4．C【解析】原式＝eq\f(1＋\r(2)(cos2αcos\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4)),cosα)＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cosα)＝2×(cosα＋sinα)＝2×(eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(14,5).【解析】依題設(shè)得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\f(13,14).又∵cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7).sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，∴β＝eq\f(π,3).【解析】∴taneq\f(π,4)＝tan[(eq\f(π,4)－α)＋α]＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，∴－eq\f(b,a)＝1－eq\f(c,a)，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c＝eq\f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)＝cos81°＝sin9°，d＝eq\f(1,2)(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°∴b＞a＞d＞c.【解析】y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，應(yīng)選擇C.9.eq\f(π,3)【解析】由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(π,3).10.－eq\f(\r(5),5)解析：∵α是第二象限的角，∴eq\f(α,2)可能在第一或第三象限，又sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2)，∴eq\f(α,2)為第三象限的角，∴coseq\f(α,2)<0.∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\f(\r(5),5).12.【解析】∵，∴∴，α+2β,又tan2β=,,[來(lái)源:Zxxk.Com]∴α+2β=【拓展提高參考答案】1、【解析】(1)f(x)＝sineq\f(πx,4)coseq\f(π,6)－coseq\f(πx,4)sineq\f(π,6)－coseq\f(π,4)x＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,4)x－eq\f(3,2)coseq\f(π,4)x＝eq\r(3)sin(eq\f(π,4)x－eq\f(π,3))，故f(x)的最小正周期為T(mén)＝eq\f(\f(2π,π),4)＝8(2)法一：在y＝g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x))，它關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)(2－x，g(x)).由題設(shè)條件，點(diǎn)(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上，從而g(x)＝f(2－x)＝eq\r(3)sin[eq\f(π,4)(2－x)－eq\f(π,3)]＝eq\r(3)sin[eq\f(π,2)－eq\f(π,4)x－eq\f(π,3)]＝eq\r(3)cos(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,3))，當(dāng)0≤x≤eq\f(4,3)時(shí)，eq\f(π,3)≤eq\f(π,4)x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，因此y＝g(x)在區(qū)間[0，eq\f(4,3)]上的最大值為g(x)max＝eq\r(3)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).法二：因區(qū)間[0，eq\f(4,3)]關(guān)于x＝1的對(duì)稱區(qū)間為[eq\f(2,3)，2]，且y＝g(x)與y