第一節(jié)　導數的概念及其意義、導數的運算

第三章

|一元函數的導數及其應用第一節(jié)導數的概念及其意義、導數的運算1.通過實例分析，了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達.2.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.4.能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數.2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k0，即

，切線方程為

．k0＝f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)3．基本初等函數的導數公式5．復合函數的定義和導數(1)f′(x)是一個函數，f′(x0)是函數f′(x)在x0處的函數值(常數)不一定為0，(f(x0))′是函數值f(x0)的導數且(f(x0))′＝0.(2)奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數．周期函數的導數還是周期函數．(3)導數的加法與減法法則，可由兩個可導函數推廣到任意有限個可導函數的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．(4)函數的積的導數可以推廣到有限個函數的乘積的導數，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．(6)曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．(7)函數y＝f(x)的導數f′(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”．(8)在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導，不能混淆．1．(北師大版選擇性必修第二冊P57·T1改編)設f(x)＝e＋ln2的導函數為f′(x)，則f′(1)的值為

(

)2．(人教A版選擇性必修第二冊P81·T1改編)

下列導數的運算中不正確的是

(

)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋x3．已知曲線y＝xex在點(1，e)處的切線與曲線y＝alnx＋2在點(1,2)處的切線平行，則a＝

(

)A．1 B．2C．e D．2e答案：x＋2y－2＝05．若函數f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則f′(1)＝________.答案：－2層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)導數的運算

[題點全訓]4．已知函數f(x)＝ln(ax－1)的導函數為f′(x)，若f′(2)＝2，則實數a的值為________．[一“點”就過](1)求導之前，應利用代數運算、三角恒等式等對函數進行化簡，然后求導，盡量避免不必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．(2)①若函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導．②復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時可進行換元．2．已知函數f(x)＝g(x)·x2，曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線方程是y＝2x－1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是

(

)A．y＝x＋1 B．y＝4x－3C．y＝3x－2 D．y＝5x－4解析：由題意得，g(1)＝2×1－1＝1，g′(1)＝2，∴f(1)＝g(1)×12＝1，∵f′(x)＝g′(x)·x2＋2x·g(x)，∴f′(1)＝g′(1)＋2g(1)＝4，∴曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝4(x－1)＋1，即y＝4x－3.答案：B

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)求曲線過某點的切線方程

[典例]若經過點P(2,8)作曲線y＝x3的切線，則切線方程為

(

)A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0[解析]

①易知P點在曲線y＝x3上，當P點為切點時，y′＝3x2，k＝12，切線方程為12x－y－16＝0.過點的切線方程的求解方法設切點為P(x0，y0)，則斜率k＝f′(x0)，過切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因為切線方程過點A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有幾個值，就有幾條切線)[提醒]在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．

[針對訓練]1．設曲線y＝x＋lnx的一條切線過點(0,1)，則此切線與坐標軸圍成的三角形面積為

(

)2．(2022·合肥八中模擬)曲線y＝xlnx的一條切線過點(0，－3)，則該切線的斜率為________．重難點(二)求切點坐標或參數

[典例]

(1)(2022·開封一模)設函數f(x)＝alnx＋bx3在點(1，－1)處的切線經過點(0,1)，則實數a＋b的值為

(

)A．－2 B．－1C．0 D．1求切點、參數問題的方法通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出關于參數的方程(組)并解出參數，注意以下幾點：切點處的導數是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上．

[典例]

(2021·衡陽二模)若函數f(x)＝1－ax2(a>0)與g(x)＝1－lnx的圖象存在公切線，則實數a的最小值為

(

)確定兩曲線的公切線問題，切點是切線的核心，解決這類問題的關鍵是設出切點的坐標，用好相切的特征，即若兩個函數的圖象有相同的切線，則需根據函數與切線在切點處的函數值相等以及兩函數在切點處的導函數的函數值也相等，構建方程(組)加以求解．

[針對訓練]1．若曲線y＝ax2與曲線y＝lnx在它們的公共點處具有公共切線，則實數a的值為(

)2．(不理解瞬時變化率的意義)已知曲線f(x)＝2x2＋1在點M(x0，f(x0))處的瞬時變化率為－8，則點M的坐標為________．解析：∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，則x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴點M的坐標是(－2,9)．答案：(－2,9)二、融會貫通應用創(chuàng)新題4．(體現(xiàn)數學應用)在橋梁設計中，橋墩一般設計成圓柱形，因為其各向受力均衡，而且在相同截面下，澆筑用模最省．假設一橋梁施工隊在澆筑橋墩時，采用由內向外擴張式澆筑，即保持圓柱高度不變，截面半徑逐漸增大，設圓柱半徑關于時間變化的函數為R(t)．若圓柱的體積以均勻速度c增長，則圓柱的側面積的增長速度與圓柱半徑

(

)A．成正比，比例系數為cB．成正比，比例系數為c2C．成反比，比例系數為cD．成反比，比例系數為c25．(創(chuàng)新命題形式)(2021·新高考Ⅰ卷)若過點(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(

)A．eb＜a B．ea＜bC．0＜a＜eb D．0＜b＜ea解析：當x→－∞時，曲線y＝ex的切線的斜率k>0且k趨向于0，當x→＋∞時，曲線y＝ex的切線的斜率k>0且k趨向于＋∞，結合圖象可知，兩切線的交點應該在x軸上方，且在曲線y＝ex的下方，∴0<b<ea，故選D.答案：D

6．(借助數學文化)我國魏晉時期的科學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設f(x)＝e

，則f′(x)＝________，其在點(0,1)處的切線方程為________．解析：∵f(x)＝e

，故f′(x)＝(x2)′e

＝2xe

，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(0,1)處的切線方程為y＝1.答案：2xe

y＝18．(強化開放思維)請寫出與曲線f(x)＝x3＋1在點(0,1)處具有相同切線的