第一節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第三章

|一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.通過(guò)實(shí)例分析，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k0，即

，切線方程為

．k0＝f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式5．復(fù)合函數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)(1)f′(x)是一個(gè)函數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值(常數(shù))不一定為0，(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)且(f(x0))′＝0.(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，可由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．(4)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．(6)曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)．(7)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”．(8)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中要分清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)，不能混淆．1．(北師大版選擇性必修第二冊(cè)P57·T1改編)設(shè)f(x)＝e＋ln2的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f′(1)的值為

(

)2．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P81·T1改編)

下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中不正確的是

(

)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋x3．已知曲線y＝xex在點(diǎn)(1，e)處的切線與曲線y＝alnx＋2在點(diǎn)(1,2)處的切線平行，則a＝

(

)A．1 B．2C．e D．2e答案：x＋2y－2＝05．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則f′(1)＝________.答案：－2層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

[題點(diǎn)全訓(xùn)]4．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax－1)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(2)＝2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．[一“點(diǎn)”就過(guò)](1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運(yùn)算、三角恒等式等對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)．(2)①若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．②復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可進(jìn)行換元．2．已知函數(shù)f(x)＝g(x)·x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程是y＝2x－1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是

(

)A．y＝x＋1 B．y＝4x－3C．y＝3x－2 D．y＝5x－4解析：由題意得，g(1)＝2×1－1＝1，g′(1)＝2，∴f(1)＝g(1)×12＝1，∵f′(x)＝g′(x)·x2＋2x·g(x)，∴f′(1)＝g′(1)＋2g(1)＝4，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝4(x－1)＋1，即y＝4x－3.答案：B

層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程

[典例]若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,8)作曲線y＝x3的切線，則切線方程為

(

)A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0[解析]

①易知P點(diǎn)在曲線y＝x3上，當(dāng)P點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，y′＝3x2，k＝12，切線方程為12x－y－16＝0.過(guò)點(diǎn)的切線方程的求解方法設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則斜率k＝f′(x0)，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有幾個(gè)值，就有幾條切線)[提醒]在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．

[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)曲線y＝x＋lnx的一條切線過(guò)點(diǎn)(0,1)，則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

(

)2．(2022·合肥八中模擬)曲線y＝xlnx的一條切線過(guò)點(diǎn)(0，－3)，則該切線的斜率為_(kāi)_______．重難點(diǎn)(二)求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)

[典例]

(1)(2022·開(kāi)封一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋bx3在點(diǎn)(1，－1)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則實(shí)數(shù)a＋b的值為

(

)A．－2 B．－1C．0 D．1求切點(diǎn)、參數(shù)問(wèn)題的方法通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，注意以下幾點(diǎn)：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上．

[典例]

(2021·衡陽(yáng)二模)若函數(shù)f(x)＝1－ax2(a>0)與g(x)＝1－lnx的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的最小值為

(

)確定兩曲線的公切線問(wèn)題，切點(diǎn)是切線的核心，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，用好相切的特征，即若兩個(gè)函數(shù)的圖象有相同的切線，則需根據(jù)函數(shù)與切線在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等以及兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值也相等，構(gòu)建方程(組)加以求解．

[針對(duì)訓(xùn)練]1．若曲線y＝ax2與曲線y＝lnx在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)a的值為(

)2．(不理解瞬時(shí)變化率的意義)已知曲線f(x)＝2x2＋1在點(diǎn)M(x0，f(x0))處的瞬時(shí)變化率為－8，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，則x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－2,9)．答案：(－2,9)二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題4．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)在橋梁設(shè)計(jì)中，橋墩一般設(shè)計(jì)成圓柱形，因?yàn)槠涓飨蚴芰?，而且在相同截面下，澆筑用模最?。僭O(shè)一橋梁施工隊(duì)在澆筑橋墩時(shí)，采用由內(nèi)向外擴(kuò)張式澆筑，即保持圓柱高度不變，截面半徑逐漸增大，設(shè)圓柱半徑關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)為R(t)．若圓柱的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則圓柱的側(cè)面積的增長(zhǎng)速度與圓柱半徑

(

)A．成正比，比例系數(shù)為cB．成正比，比例系數(shù)為c2C．成反比，比例系數(shù)為cD．成反比，比例系數(shù)為c25．(創(chuàng)新命題形式)(2021·新高考Ⅰ卷)若過(guò)點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(

)A．eb＜a B．ea＜bC．0＜a＜eb D．0＜b＜ea解析：當(dāng)x→－∞時(shí)，曲線y＝ex的切線的斜率k>0且k趨向于0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，曲線y＝ex的切線的斜率k>0且k趨向于＋∞，結(jié)合圖象可知，兩切線的交點(diǎn)應(yīng)該在x軸上方，且在曲線y＝ex的下方，∴0<b<ea，故選D.答案：D

6．(借助數(shù)學(xué)文化)我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算．設(shè)f(x)＝e

，則f′(x)＝________，其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_(kāi)_______．解析：∵f(x)＝e

，故f′(x)＝(x2)′e

＝2xe

，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y＝1.答案：2xe

y＝18．(強(qiáng)化開(kāi)放思維)請(qǐng)寫(xiě)出與曲線f(x)＝x3＋1在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線的