專(zhuān)題簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃含答案

高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃專(zhuān)題要點(diǎn)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃：能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次不等式組。理解二元一次不等式組表示平面的區(qū)域，能夠準(zhǔn)確的畫(huà)出可行域。能夠?qū)?shí)際問(wèn)題抽象概括為線性規(guī)劃問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用線性規(guī)劃的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。線性規(guī)劃等內(nèi)容已成為高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要給于重視,另外，不等式的證明、繁瑣的推理逐漸趨于淡化,在復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)是注意。考察主要有三種：一是求給定可行域的最優(yōu)解；二是求給定可行域的面積；三是給出可行域的最優(yōu)解，求目標(biāo)函數(shù)〔或者可行域〕中參數(shù)的范圍。多以選擇填空題形式出現(xiàn)，不排除以解答題形式出現(xiàn)?？季V要求了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；了解線性規(guī)劃的意義并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。典例精析線性規(guī)劃是高考熱點(diǎn)之一,考察內(nèi)容設(shè)計(jì)最優(yōu)解,最值,區(qū)域面積與形狀等,通常通過(guò)畫(huà)可行域,移線,數(shù)形結(jié)合等方法解決問(wèn)題?？键c(diǎn)1：求給定可行域的最優(yōu)解例1.〔2021廣東文〕變量、滿(mǎn)足約束條件,則的最小值為 〔〕A．3 B．1 C．D．解析:C.畫(huà)出可行域,可知當(dāng)代表直線過(guò)點(diǎn),解得,所以的最小值為.例2.〔2021天津〕設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為〔A〕6〔B〕7〔C〕8〔D〕23解析：畫(huà)出不等式表示的可行域，如右圖，讓目標(biāo)函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點(diǎn)B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，應(yīng)選擇B.發(fā)散思維：假設(shè)將目標(biāo)函數(shù)改為求的取值范圍；或者改為求的取值范圍；或者改為求的最大值；或者或者改為求的最大值。方法思路：解決線性規(guī)則問(wèn)題首先要作出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找出目標(biāo)函數(shù)到達(dá)最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)〔或邊界上的點(diǎn)〕，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決。練習(xí)1.〔2021天津〕設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 〔〕A．B．C．D．3【解析】做出不等式對(duì)應(yīng)的可行域如圖,由得,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,而此時(shí)最小為,選B.練習(xí)2．在約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤2，,2y－x≥1，))下，eq\r(x－12＋y2)的最小值為_(kāi)_______．解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，注意到eq\r(x－12＋y2)可視為該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1,0)之間距離，結(jié)合圖形可知，該距離的最小值等于點(diǎn)(1,0)到直線2y－x＝1的距離，即為eq\f(|－1－1|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案eq\f(2\r(5),5)練習(xí)3、〔2021廣東文、理數(shù)〕平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．假設(shè)M〔x，y〕為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則z=?的最大值為〔〕 A、3 B、4C、3 D、4解答：解：首先做出可行域，如下圖：z=?=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，將此直線平行移動(dòng)，當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值．因?yàn)锳〔，2〕，所以z的最大值為4應(yīng)選B練習(xí)4.〔2021福建〕O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)，假設(shè)點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【分析】由于eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，實(shí)際上就是在線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))下，求線性目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y的最大值和最小值．【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，取目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線．當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,1)時(shí)，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,2)時(shí)，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.∴z的取值范圍是[0,2]，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是[0,2]，應(yīng)選C.考點(diǎn)2：求給定可行域的面積例3．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為〔〕A．B．C．D．答案c考點(diǎn)3：給出最優(yōu)解求目標(biāo)函數(shù)〔或者可行域〕中參數(shù)例4．(2021廣州一模文數(shù))在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為4，則實(shí)數(shù)的值為A．1B．2C．3D．答案B練習(xí)5.〔2021福建卷文〕在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)不等式組〔為常數(shù)〕所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A.-5B.1C.2D.3解析解析如圖可得黃色即為滿(mǎn)足的直線恒過(guò)〔0，1〕，故看作直線繞點(diǎn)〔0，1〕旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時(shí)，則可行域不是一個(gè)封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時(shí)，面積是1；a=2時(shí)，面積是；當(dāng)a=3時(shí)，面積恰好為2，應(yīng)選D.練習(xí)6.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是c〔A〕[1,3](B)[2,](C)[2,9](D)[,9]練習(xí)7．設(shè)z＝x＋y，其中x、y滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0,x－y≤0,0≤y≤k))，假設(shè)z的最大值為6，則z的最小值為A．－3B．3C．2D．－2解析如下圖，作出不等式組所確定的可行域△OAB，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線x＋y－z＝0在y軸上的截距，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＝k，))解得A(k，k)，故最大值為z＝k＋k＝2k，由題意，得2k＝6，故kB時(shí)，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,y＝3，))解得B(－6,3)，故最小值為z＝－6＋3＝－3.應(yīng)選A.答案A練習(xí)8.〔2021課標(biāo)文〕正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn)C在第一象限,假設(shè)點(diǎn)(x,y)在△ABC內(nèi)部,則的取值范圍是 〔〕A．(1-eq\r(3),2) B．(0,2) C．(eq\r(3)-1,2) D．(0,1+eq\r(3))【命題意圖】此題主要考察簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解法,是簡(jiǎn)單題.【解析】有題設(shè)知C(1+,2),作出直線:,平移直線,有圖像知,直線過(guò)B點(diǎn)時(shí),=2,過(guò)C時(shí),=,∴取值范圍為(1-eq\r(3),2),應(yīng)選A.練習(xí)9.〔2021福建文〕假設(shè)直線上存在點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為〔〕A．-1 B．1 C．D．2 【答案】B【解析】與的交點(diǎn)為,所以只有才能符合條件,B正確.【考點(diǎn)定位】此題主要考察一元二次不等式表示平面區(qū)域,考察分析判斷能力.邏輯推理能力和求解能力.練習(xí)10.〔2021福建理〕假設(shè)函數(shù)圖像上存在點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為〔〕A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】與的交點(diǎn)為,所以只有才能符合條件,B正確.【考點(diǎn)定位】此題主要考察一元一次不等式組表示平面區(qū)域,考察分析判斷能力、邏輯推理能力和求解計(jì)算能力考點(diǎn)四：實(shí)際應(yīng)用與大題例5〔2021四川卷理〕某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸，則該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是A.12萬(wàn)元B.20萬(wàn)元C.25萬(wàn)元D.27萬(wàn)元解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤(rùn)最大，故此題即約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，可求出最優(yōu)解為，故，應(yīng)選擇D。練習(xí)11.〔2021四川理〕原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中,要求每天消耗、原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)方案,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是 〔〕A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元[答案]C[解析]設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶,乙種產(chǎn)品Y桶,公司共可獲得利潤(rùn)為Z元/天,則由,得Z=300X+400Y且畫(huà)可行域如下圖,目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y=這是隨Z變化的一族平行直線解方程組即A(4,4)[點(diǎn)評(píng)]解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟:一列(列出約束條件)、二畫(huà)(畫(huà)出可行域)、三作(作目標(biāo)函數(shù)變形式的平行線)、四求(求出最優(yōu)解).練習(xí)12.(2021廣州二模文數(shù))甲、乙、丙三種食物的維生素含量及本錢(qián)如下表所示：食物類(lèi)型甲乙丙維生素〔單位/〕300500300維生素〔單位/〕700100300本錢(qián)〔元/〕543某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物，設(shè)所用食物甲、乙、丙的重量分別為〔1〕試以表示混合食物的本錢(qián);〔2〕假設(shè)混合食物至少需含35000單位維生素及40000單位維生素，問(wèn)取什么值時(shí)，混合食物的本錢(qián)最少？(本小題主要考察線性規(guī)劃等知識(shí),考察數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))〔1〕解：依題意得……………2分由，得，代入，得.……………3分解:依題意知、、要滿(mǎn)足的條件為………6分把代入方程組得……9分如圖可行域〔陰影局部〕的一個(gè)頂點(diǎn)為