數(shù)列的概念課件2-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.1數(shù)列的概念溫故知新1、數(shù)列的有關(guān)概念(1)按確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(2)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).(3)各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，常用符號(hào)a1表示，第2項(xiàng)，用a2表示…，第n項(xiàng)，用an表示….(4)數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}.溫故知新2、數(shù)列的分類1、以項(xiàng)數(shù)來(lái)分類：

①有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

②無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.2、以各項(xiàng)的大小關(guān)系來(lái)分類：(1)遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；

(2)遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；

(3)常數(shù)列：各項(xiàng)都相等的數(shù)列；(4)擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.對(duì)任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0).對(duì)任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0).溫故知新3、數(shù)列三種表示方法(1)列表法：列出序號(hào)n與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)值(2)解析式(通項(xiàng)公式)法：通項(xiàng)公式表示.

數(shù)列的圖象表示法是一群孤立的點(diǎn)通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)：通項(xiàng)公式就是an與n之間的函數(shù)關(guān)系式an=f(n)數(shù)列的幾何意義：有窮數(shù)列表示有限個(gè)孤立的點(diǎn)。

無(wú)窮數(shù)列表示無(wú)限個(gè)孤立的點(diǎn)。解：令n2+2n=120，解得n=-12(舍)或n=10，所以120是數(shù)列的項(xiàng)，是第10項(xiàng)。例題講解3、如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+2n，那么120是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？例題講解4、下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形，在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：在以上4個(gè)圖中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，即所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1.因此，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=3n-1.換個(gè)角度觀察圖中的4個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)，①a1=1；②每個(gè)圖形中的著色三角形都在下一個(gè)圖形中分裂為3個(gè)著色小三角形和1個(gè)無(wú)色小三角形；③從第2個(gè)圖形開(kāi)始，每個(gè)圖形中著色三角形的個(gè)數(shù)都是前一個(gè)圖形中著色三角形個(gè)數(shù)的3倍；這樣，例4中的數(shù)列的前4項(xiàng)滿足a1=1，a2

=3a1，a3

=3a2，a4

=3a3，由此猜測(cè)這個(gè)數(shù)列滿足公式探究新知

像an=3n-1這樣，如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

知道了首項(xiàng)或前幾項(xiàng)以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了.探究新知8、遞推公式當(dāng)不能明顯看出數(shù)列的項(xiàng)的取值規(guī)律時(shí)，可以嘗試通過(guò)運(yùn)算來(lái)尋找規(guī)律.如依次取出數(shù)列的某一項(xiàng)，減去或除以它的前一項(xiàng)，再對(duì)差或商加以觀察.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。探究新知5、數(shù)列的表示方法從例題中你發(fā)現(xiàn)數(shù)列有那些表示方法？(1)列表法(列出序號(hào)n與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)值)(4)遞推公式法(2)圖像法(一系列孤立的點(diǎn))(3)通項(xiàng)公式法(解析法)：an=f(n)

例題講解5、已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).

解：a1=1通項(xiàng)公式和遞推公式之間的差別與聯(lián)系：通項(xiàng)公式可以確定數(shù)列遞推公式項(xiàng)an是序號(hào)n的函數(shù)an=f(n)已知a1及相鄰項(xiàng)間的關(guān)系區(qū)別聯(lián)系聯(lián)系隨堂練習(xí)1、根據(jù)遞推公式，分別寫出它的前5項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可歸納出an＝(n－1)2.(2)a1＝1，隨堂練習(xí)2、在數(shù)列{an}中，(1)求數(shù)列{an}的前5項(xiàng)(2)求a2021(2)周期為3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。隨堂練習(xí)3、在數(shù)列{an}中，(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式解：(1)a2=2+ln2a3=2+ln3a4=2+ln4(2)an=2+lnn探究新知9、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：在對(duì)數(shù)列的研究中，求數(shù)列某些項(xiàng)的和是主要問(wèn)題之一.

我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.隨堂練習(xí)4、練習(xí)(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n，則S3=

，S5=

，S1=

。(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7=30，S8=40，則a8=

。615101

思考：an與Sn的關(guān)系？探究新知9、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：an與Sn的關(guān)系

我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.

顯然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)，于是我們有例題講解6、已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和公式為Sn=n2+n,(1)求S3，S5，Sn-1；(2)求出{an}的通項(xiàng)公式.解：(1)S3=32+3=12，S5=52+5=30，Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2)，①將n=1代入①式得，2×1=2=a1所以當(dāng)n=1時(shí)，①式依然成立.故{an}的通項(xiàng)公式是an=2n.隨堂練習(xí)5、已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和公式為Sn=-2n2，求{an}的通項(xiàng)公式。解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-2，當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1=

-2n2

-[-2(n-1)2]=2-4n(n≥2),①將n=1代入①式得，2-4=-2=a1所以當(dāng)n=1時(shí)，①式依然成立.故{an}的通項(xiàng)公式是an=2-4n.隨堂練習(xí)6、已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和公式為Sn=n2+4，求{an}的通項(xiàng)公式。解：(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+4=5;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.①將n=1代入①式得，2-1=1≠5=a1所以當(dāng)n=1時(shí)，①式不成立.例題講解7、已知函數(shù)

，構(gòu)造數(shù)列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求證：an>－2；(2)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？因?yàn)閚∈N*，所以an>－2.(2)數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．理由如下：即an＋1<an所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．方法技巧

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，采用作差法或作商法比較an與an+1的大小關(guān)系，從而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，

若an+1>an恒成立，則{an}是遞增數(shù)列;

若an+1<an恒成立，則{an}是遞減數(shù)列.隨堂練習(xí)7、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.求證：此數(shù)列為遞增數(shù)列.由n∈N*，得an+1-an>0，即an+1>an.所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.隨堂練習(xí)8、已知

，試問(wèn)數(shù)列{an}中有沒(méi)有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，故數(shù)列{an}存在最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為

數(shù)列的最大、最小項(xiàng)問(wèn)題，可以通過(guò)研究數(shù)列的單調(diào)性加以解決，若求最大項(xiàng)an，n的值可通過(guò)解不等式組來(lái)確定；若求最小項(xiàng)an，n的值可通過(guò)解不等式組來(lái)確定.小結(jié)課后練習(xí)1、已知a1=2，an+1=2an，求出前5項(xiàng)，并猜想an.解：數(shù)列的前5項(xiàng)分別為a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23，a4=2×23=24，a5=2×24=25法一：觀察可得：an=2n法二：由an+1=2an，得an=2an-1課后練習(xí)2、已知數(shù)列{an}中，a1