人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題7.7 二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專題7.7二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型精講）1．伯努利試驗(yàn)(1)伯努利試驗(yàn)的概念

把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).

(2)n重伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)特征

①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；

②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，k=0，1，2，SKIPIF1<0，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XSKIPIF1<0B(n，p).3．二項(xiàng)分布的期望與方差一般地，如果XSKIPIF1<0B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．超幾何分布(1)定義

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=SKIPIF1<0，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈SKIPIF1<0，MSKIPIF1<0N，nSKIPIF1<0N，m=SKIPIF1<0{0，n-N+M}，r=SKIPIF1<0.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=SKIPIF1<0=np.

(2)求超幾何分布的分布列

①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布；

②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.5．超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系(1)超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會(huì)發(fā)現(xiàn)其相似點(diǎn).超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)求解.在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的.

(2)事實(shí)上，在次品件數(shù)為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取n件(由于產(chǎn)品件數(shù)N無(wú)限多，無(wú)放回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作n重伯努利試驗(yàn))，其中含有次品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布.【題型1二項(xiàng)分布的概率計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于二項(xiàng)分布的概率計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義及二項(xiàng)分布的分布列，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022春·新疆·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B6,13，則PA．1316 B．4243 C．13【變式1-1】（2022·高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量X~B2,p，Y服從兩點(diǎn)分布，若PX≥1=0.64，PA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p)，若P(X≥1)=59，則p的值為（A．13 B．23 C．5【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ~B2,???p，η~B4,???p，若A．8081 B．6581 C．55【題型2二項(xiàng)分布的期望與方差】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B12,p，若E2X?3=5，則DA．83【變式2-1】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人.二進(jìn)制數(shù)被廣泛應(yīng)用于電子電路?計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域.某電子電路每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)四位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4，其中aii=1,2,3,4出現(xiàn)0的概率為13A．43 B．2 C．8【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機(jī)變量ξ+η=8，若ξ～B(10,0.3)，則E(η),D(η)分別是（

）A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6【變式2-3】（2022秋·河南南陽(yáng)·高三階段練習(xí)）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)=2.4，且P(X=4)<P(X=6)，則E(X)=（

）A．6 B．5 C．4 D．3【題型3二項(xiàng)分布中的最大值問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于二項(xiàng)分布中的最值問(wèn)題，結(jié)合P(X=k)的單調(diào)性確定P(X=k)的最大值和對(duì)應(yīng)的k的值，進(jìn)行求解即可.【例3】（2022春·山東棗莊·高二期末）某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若X~B11,0.8，若PX=k最大，則k＝（A．7 B．8 C．9 D．10【變式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若X～B10,12，則P(X=k)取得最大值時(shí)，k=A．4 B．5 C．6 D．5或6【變式3-2】（2022春·廣東云浮·高二期末）已知X～Bn,p，若4PX=2=3PX=3，則A．56 B．45 C．3【變式3-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)檢測(cè)有一批產(chǎn)品合格率為34，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ=k)取得最大值時(shí)k的值為（

A．2 B．3 C．4 D．5【題型4超幾何分布的判斷】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于所給的隨機(jī)變量X，根據(jù)超幾何分布的定義來(lái)進(jìn)行判斷即可.【例4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X【變式4-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【變式4-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選10個(gè)村莊中交通不方便的村莊的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【變式4-3】（2022春·黑龍江綏化·高二期末）一個(gè)袋子中100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則X服從（

）A．二項(xiàng)分布，且EX=8C．超幾何分布，且EX=8【題型5二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；(2)分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布；(3)若服從二項(xiàng)分布，則求出參數(shù)n和p的值；(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問(wèn)題.【例5】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，期望EX=3，方差(1)求n和p的值，并寫出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率．【變式5-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，且成活率均為23，設(shè)ξ(1)求ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.【變式5-2】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二期末）新疆棉以絨長(zhǎng)、品質(zhì)好、產(chǎn)量高著稱于世．現(xiàn)有兩類以新疆長(zhǎng)絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．這兩類服裝剩余部分將會(huì)在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完．(1)設(shè)A類服裝單件銷售價(jià)格為ξ元，B類服裝單件銷售價(jià)格為η元，分別寫出兩類服裝單件銷售價(jià)格的分布列，并通過(guò)計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)-成本）的大小；(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場(chǎng)A，B兩類服裝均以會(huì)員價(jià)銷售，假設(shè)每位來(lái)店購(gòu)買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購(gòu)買，每位顧客限購(gòu)1件，且購(gòu)買了服裝的顧客中購(gòu)買A類服裝的概率均為13．已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，若P(X≤n)≤0.5(n∈N)【變式5-3】（2022春·上海閔行·高二期末）2022年冬奧會(huì)剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)讓人們津津樂(lè)道．高山滑雪（A1pineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競(jìng)速運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．冬季奧運(yùn)會(huì)高山滑雪設(shè)男子項(xiàng)目、女子項(xiàng)目、混合項(xiàng)日．其中，男子項(xiàng)目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級(jí)大回轉(zhuǎn)、全能5個(gè)小項(xiàng)，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項(xiàng)目．現(xiàn)有90名運(yùn)動(dòng)員參加該項(xiàng)目的比賽，組委會(huì)根據(jù)報(bào)名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績(jī)，排名在前30位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場(chǎng)加賽，加賽排名在前10位的運(yùn)動(dòng)員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽．現(xiàn)已知每位參賽運(yùn)動(dòng)員水平相當(dāng)．(1)求每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組的概率，及每位敗者組運(yùn)動(dòng)員復(fù)活的概率；(2)從所有參賽的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論進(jìn)行分析．【題型6超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用超幾何分布模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；(2)分析隨機(jī)變量是否服從超幾何分布；(3)若服從超幾何分布，則求出隨機(jī)變量的概率及分布列；(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問(wèn)題.【例6】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）北京時(shí)間2月20日，北京2022年冬奧會(huì)閉幕式在國(guó)家體育場(chǎng)舉行.北京2022年冬奧會(huì)的舉行激發(fā)了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺(tái)計(jì)劃在注冊(cè)會(huì)員中調(diào)查對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的愛(ài)好情況，其中男會(huì)員有1000名，女會(huì)員有800名，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這36名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的男會(huì)員有8人，女會(huì)員有4人.(1)在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有多少人？(2)在抽取的喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的會(huì)員中任選3人，記選出的3人中男會(huì)員有X人，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來(lái)自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游4名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名高級(jí)導(dǎo)游，且這2名高級(jí)導(dǎo)游來(lái)自同一個(gè)旅游協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)ξ為選出的4人中高級(jí)導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式6-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：噸）．廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率P；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)X為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【變式6-3】（2022春·江蘇蘇州·高二期中）為了解昆山震川高級(jí)中學(xué)中學(xué)高二年級(jí)學(xué)生身視力情況，對(duì)高二年級(jí)（1）班—（8）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行視力監(jiān)測(cè)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中視力監(jiān)測(cè)成績(jī)