2023年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2023年浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學高考數(shù)學模擬試卷

一、多選題(本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項符合題目要求)

1.如圖，正四棱柱/^。。一公&口/中，AAy=2AB,E、F分別為CQ,

力久的中點，則

()

A.D[F"BE

B.直線&E與直線BF所成的角為90。

C.直線&E與直線D#所成的角為90。

D.直線0/與平面/BCD所成的角為45。

2.下列說法正確的有()

A.若事件4與事件B互斥，則P(4)+P(B)=1

B.若P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B),則P(A|B)=P(A)

C.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,o2),p(x<3)=0.6,則P(X<1)=0.4

D.這組數(shù)據(jù)4,3,2,5,6的60%分位數(shù)為4

二、填空題(本大題共2小題，共10.0分)

3.(l+MXl—Js的展開式中，常數(shù)項為_.

4.若點4(7i,an)(neN*)在函數(shù)y=J3Q2+i)的圖象上,則|%Pn+J的取值范圍是—.

三、解答題(本大題共2小題，共22.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

5.(本小題10.0分)

已知△2BC中角4B、C所對的邊分另ll為a、b、c,且滿足2csin4cos8+2bsin4cosC=V3a，

c>a.

(1)求角4

(2)若b=2,BC邊上中線夕，求△ABC的面積.

6.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為%,且%+2=2斯.

(1)求及數(shù)列｛5｝的通項公式；

(2)在a”與an+i之間插入n個數(shù)，使得這5+2)個數(shù)依次組成公差為分的等差數(shù)列，求數(shù)列｛；｝

的前n項和%.

答案和解析

1.【答案】ACD

【解析】解：對4選項，如圖，取的中點G,連接GE,GA,DiE,

又E,F分別為CG，力公的中點，

GE//DC//AB,且GE=DC=AB,

???四邊形4BGE為平行四邊形，

■■■AG//BE,又易知AG〃DF[,

??.DFJ/BE,選項正確；

對8選項，:BiE在正側(cè)面內(nèi)的射影為&B,

而當B與BF不垂直，

根據(jù)三垂線定理可得B]E與BF不垂直，B選項錯誤：

對C選項，???8任在左側(cè)面內(nèi)的射影為&G,

又根據(jù)題意易知DiF，4G,

???根據(jù)三垂線定理可得DiF1B]E,

二直線BiE與直線D#所成的角為90。，二C選項正確；

對。選項，由4選項分析可知//BE,

.??直線與平面4BCD所成的角為4EBC,

又根據(jù)題意易知NEBC=45。，D選項正確.

故選：ACD.

對4選項，取為。的中點G,則易證AG〃BE,AG//DFX,從而可得DFJ/BE；

對B,C選項，根據(jù)三垂線定理，即可求解；

對D選項，將兩異面直線平移成相交直線，即可求解.

本題考查平行線的傳遞性，三垂線定理的應用，異面直線所成角的求解，屬中檔題.

2.【答案】BC

【解析】解：對于小若事件4與事件B互斥，

則P(A)+P(B)<1,故P錯誤;

對于B,P(4)>0,P⑻>。,P(B|4)=P(B),

事件4,B相互獨立，

故P(4|B)=PG4),故8正確；

對于C,隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,tr),P(X<3)=0.6,

則P(X>3)=1-<3)=1-0.6=0.4,

故P(X<1)=P(X>3)=0.4,故C正確；

對于D,將數(shù)據(jù)4,3,2,5,6進行排序，2,3,4,5,6,共5個，

5x60%=3,

這種數(shù)據(jù)4,3,2,5,6的60%分位數(shù)為竽=4.5,故。錯誤.

故選：BC.

對于4結(jié)合互斥事件的定義，即可求解；

對于8,結(jié)合獨立事件的定義，即可求解；

對于C,結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解；

對于D,結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】11

【解析】解：先求的展開式中常數(shù)項以及含12的項；

7；+1=砥-3,=砥-1)*，，

由一r=0得丁=0,由一r=-2得r=2；

即(1一》5的展開式中常數(shù)項為以，含廣2的項為第(一1)2*2,

［一》5的展開式中常數(shù)項為以+量=11.

故答案為：11.

將問題轉(zhuǎn)化成(1-》5的常數(shù)項及含x-2的項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令X的

指數(shù)為0,-2求出常數(shù)項及含》-2的項，進而相加可得答案.

本題考查數(shù)學的等價轉(zhuǎn)化能力，利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，屬于

基礎(chǔ)題.

4.【答案】(2,同］

【解析】解：由^^=67n2-an+i=W(n+_1,

222222

可得島Pn+i/=(幾+1-n)+3(J(九+一1一Vn—I)=1+3(7(n4-1)—1—Vn-l),

因為(J(九+一1產(chǎn)—(Vn2—1+l)2=n2+2n—(n2-1+1+2Vn2-1)=2n-

2Vn2—1>0恒成立，

所以l4Pn+l『>l+3=4,即14Pzi+11>2,

設(shè)/(x)=Vx2+2x-V%2-l(x>1)，f，(X)=

因為(X+1)2(/-1)_(X2+2x)x=-2x-l<0,所以廣(x)<0,即/'(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(x)Wf(1)=遮,

則月Pn+I『wi+9=1O,QP|^pn+1|<V10,

則l&Pn+ll的取值范圍是(2,、G@.

故答案為：(2,同］.

運用兩點的距離公式和不等式的性質(zhì)，以及構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性，可得所求取值范圍.

本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，以及導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，

屬于中檔題.

5.【答案】解：(1)v2csinAcosB+2bsinAcosC=y/3a>

二由正弦定理得2s譏Cs譏4cosB+2sinBsinAcosC=y/3sinA?

vsinA>0,

???sinCcosB+sinBcosC=冬

V3

sin(B+C)=-f

??,4+B+C=7T,

???sinA—亭

VC>Q,

A11

-'-A=y

(_2)-AD=^(AB+AC),

則同2=；(荏+而)2,b=2,BC邊上中線40=近，

故|四『+2|荏|-24=0，解得|屈|=4,

???S4ABe=\besinA=25/3.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角恒等變換，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，推得布=*荏+而)，兩邊同時平方，求出|希再結(jié)合三角形的面積公式，

即可求解.

本題考查解三角形，三角函數(shù)公式的應用，向量中點公式的應用，向量數(shù)量積的性質(zhì)的應用，屬

中檔題.

6.【答案】解：(1)由題意，當幾=1時，Si+2=%+2=2a19解得出=2,

當九=2時，S2+2=2a2>

即+a2+2=2a2,解得g=4,

當n>2時，由%+2=2a九，

可得Sn_]+2=2an_i，

兩式相減，可得冊=2an-2。九_1，

整理，得時二？四^,

???數(shù)列｛冊｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

n

??.an=2；

nn+1

(2)由(1)可得，an=2,an+1=2,

在冊與an+i之間插入幾個數(shù)，使得這5+2)個數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列，

則有冊+i-an=(n+l)dn,

**n-n+1—n+l'

1n+1

:.d2n,

???/=；+；=

+-+T41+42+43+…+*

did2dn2222

23n+1

|rn=2x(i)+3x(A)+-+n-(1r+(n+1).(j),

兩式相減，

可得岬*i+A霜

_1____1

—1112"+1__+1

一1-12n+1

3n+3

一5一支，

n+3

:=3?

【解析】(1)先將n=1代入題干表達式計算出的=2,再將n=2代入題干表達式即可計算出a2的

值，當n22時，由Sn+2=2an，可得Sn-i+2=2an_i，兩式相減進一步推導即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛g｝

是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而計算出數(shù)列｛即｝的通項公式;

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果寫出即與斯+i的表達式，再根據(jù)題意可得即+i-