第2章第01講 認識無理數(shù)、平方根(7類熱點題型講練)（解析版）

第2章第01講認識無理數(shù)、平方根1.能正確地進行判斷某些數(shù)是否為有理數(shù)，加深對有理數(shù)和無理數(shù)的理解.2.理解數(shù)的算術(shù)平方根和平方根的概念，以及開平方的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根.3.掌握平方根的性質(zhì)，并能應(yīng)用平方根的性質(zhì)解決問題.知識點01認識無理數(shù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.知識點02算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)1.算術(shù)平方根的定義：如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).知識點03平方根的概念與性質(zhì)1.平方根的定義：如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．3.平方根的性質(zhì)題型01認識無理數(shù)【典例1】（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）在實數(shù)：，，4，π，中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，即無限不循環(huán)小數(shù)或開方開不盡的數(shù)為無理數(shù)，即可解答．【詳解】解：，π，都是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握和運用無理數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023春·湖北十堰·七年級校考階段練習）在實數(shù)，0，，，，，中，無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：在實數(shù)中，無理數(shù)是：，故選：C．【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，包括三方面的數(shù)：①含的，②一些有規(guī)律的數(shù)，例如，③開方開不盡的數(shù)．【變式2】（2023春·上海黃浦·七年級統(tǒng)考期末）在，，，，中，有理數(shù)個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，分數(shù)為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，找出其中的有理數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，有理數(shù)有：，，，共3個；故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟記有理數(shù)與無理數(shù)的定義．題型02平方根概念理解【典例1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）下列各數(shù)中沒有平方根的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根，找出計算結(jié)果為負數(shù)即可．【詳解】解：A、，故有平方根，不合題意；B、，故沒有平方根，符合題意；C、，故有平方根，不合題意；D、，故有平方根，不合題意；故選：B．【點睛】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023春·七年級課時練習）下列說法中正確的有（

）①1的平方根是1；②是1的平方根；③的平方根是；④一個數(shù)的平方根等于它的算術(shù)平方根，這個數(shù)只能是0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義逐項判斷即可．【詳解】解：1的平方根是，故①錯誤；是1的平方根之一，故②正確；，因此的平方根是，故③錯誤；一個數(shù)的平方根等于它的算術(shù)平方根，這個數(shù)只能是0．故④正確；綜上可知，正確的有②④，共2個，故選B．【點睛】此題考查了算術(shù)平方根、平方根．解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根和平方根的區(qū)別．【變式2】（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）下列說法中，不正確的是（

）A．沒有平方根 B．是2的平方根C．2的平方根是 D．是2的平方根【答案】C【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根，一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、沒有平方根，原說法正確，不符合題意；B、是2的平方根，原說法正確，不符合題意；C、2的平方根是，原說法錯誤，符合題意；D、是2的平方根，原說法正確，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了平方根的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．題型03求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根【典例1】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）4的平方根是___________；4的算術(shù)平方根是______________．【答案】2【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義進行計算即可得到答案．【詳解】解：4的平方根是；4的算術(shù)平方根是2，故答案為：；2．【點睛】本題主要考查平方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握平方根、算術(shù)平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）13的平方根是______；9的算術(shù)平方根是______．【答案】3【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可得．【詳解】解：13的平方根是，9的算術(shù)平方根是3，故答案為：，3．【點睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）81的算術(shù)平方根是________；的平方根是________．【答案】9【分析】根據(jù)求一個數(shù)的算術(shù)平方根及平方根的方法，即可解答．【詳解】解：∵，∴81的算術(shù)平方根是9；∵，，∴的平方根是，故答案為：9，．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根及平方根，熟練掌握和運用求一個數(shù)的算術(shù)平方根及平方根的方法是解決本題的關(guān)鍵．題型04已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)【典例1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）若與是同一個數(shù)的兩個不同的平方根，則這個數(shù)是_________．【答案】4【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)得到，即可求出m的值，進而求出這個數(shù)．【詳解】解：∵與是同一個數(shù)的兩個不同的平方根，∴，∴，∴，∴這個數(shù)為，故答案為：4．【點睛】本題考查了平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義．【變式訓練】【變式1】（2023春·北京海淀·七年級?？计谥校┤粢粋€正數(shù)的平方根分別為和，則的值為________.【答案】【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)得出并求解即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查的是平方根的性質(zhì)，掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·廣東湛江·七年級校考期中）若一正數(shù)的兩個平方根分別是和，則這個正數(shù)是___________．【答案】25【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)列出方程，求出方程的解得到的值，即可確定出這個正數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，則這個正數(shù)為．故答案為：25．【點睛】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．題型05利用算術(shù)平方根的非負性解題【典例1】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）若，則=__________．【答案】【分析】根據(jù)絕對值與算術(shù)平方根的非負性求得的值，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值與算術(shù)平方根的非負性，熟練掌握絕對值與算術(shù)平方根的非負性是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知，滿足，則式子的值是______．【答案】【分析】根據(jù)平方和算術(shù)平方根的非負性求出x，y，代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，準確利用算術(shù)平方根和平方的非負性是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·廣東肇慶·七年級校考期中）已知，則的算術(shù)平方根是_____．【答案】4【分析】由非負數(shù)的性質(zhì)得出a和b的值，代入再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，則，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根，正確求出a和b的值是解答本題的關(guān)鍵．題型06求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分【典例1】（2023春·遼寧大連·七年級?？茧A段練習）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_________，_________．【答案】【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．【變式訓練】【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．【答案】3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為；故答案為3，．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為______．【答案】．【分析】先求出介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小數(shù)部分，再代入即可.【詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案為．【點睛】此題考查的是帶根號的實數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.題型07求代數(shù)式的平方根【典例1】（2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）已知的算術(shù)平方根是5，的平方根是是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根確定，，再由無理數(shù)的估算確定，將其代入代數(shù)式，然后計算平方根即可．【詳解】解：的算術(shù)平方根是5，，解得．又的平方根是，，解得．是的整數(shù)部分，而，，，的平方根為．【點睛】題目主要考查算術(shù)平方根及平方根，無理數(shù)的估算，求代數(shù)式的值，熟練掌握這些基本運算是解題關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023春·廣東潮州·七年級?？茧A段練習）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；（2）根據(jù)平方根定義，求解即可．【詳解】（1）解：∵的平方根是，的算術(shù)平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．（2）解：當a＝5，b＝4時，ab+5＝25，而25的平方根為，即ab+5的平方根是．【點睛】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義．【變式2】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，設(shè)點B所表示的數(shù)為m．(1)求的值；(2)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有|2c＋6|與互為相反數(shù)，求2c+3d的平方跟．【答案】(1)2(2)和【分析】（1）利用兩點間的距離公式計算即可；（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)，得到c，d的值，代入求值即可．【詳解】（1）解：∵AB＝2，∴，∴，∴；（2）∵|2c＋6|與互為相反數(shù)，∴，∵，，∴2c＋6＝0，d?4＝0，∴c＝?3，d＝4，∴，∴的平方根是．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離公式、平方根、非負數(shù)的性質(zhì)及絕對值的計算，解題的關(guān)鍵是求得m的值及非負數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，注意平方根有兩個．一、選擇題1．（2023春·上海奉賢·七年級?？计谥校┫铝杏嬎阒?，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：A.，故本選項符合題意；B.，故本選項不符合題意；C.，故本選項不符合題意；D.，故本選項不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了平方根化簡計算，正確掌握平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·安徽馬鞍山·七年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期末）下列說法正確的是（

）A．2是4的平方根 B．的平方根是C．4的平方根是2 D．的算術(shù)平方根是【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根的定義逐項判斷即可．【詳解】A．因為，所以2是4的平方根，故選項A符合題意；B．負數(shù)沒有平方根，故選項B不符合題意；C．4的平方根是，故選項C不符合題意；D．算術(shù)平方根是正數(shù)，故選項D不符合題意．【點睛】本題考查了平方根及算術(shù)平方根的定義，如果一個正數(shù)的平方等于,即，那么這個正數(shù)是的算術(shù)平方根；如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根，理解算術(shù)平方根及平方根定義是解題關(guān)鍵．3．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列選項中，化簡正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算平方，再進行化簡即可得．【詳解】解：A、，選項說法錯誤，不符合題意；B、，選項說法錯誤，不符合題意；C、，選項說法正確，符合題意；D、，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡，正確計算．4．（2023春·湖南長沙·七年級長沙市南雅中學校聯(lián)考階段練習）在0、、、、、、（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個）這七個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在、、、、、、它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個這七個數(shù)中，，無理數(shù)有：、、它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個，所以，無理數(shù)共有個，故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，熟練掌握無理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽合肥·七年級合肥八一學校?？茧A段練習）若，為實數(shù)，且滿足，則的算術(shù)平方根為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)偶次方和絕對值的非負性得出方程，求出方程的解，再代入求出算術(shù)平方根即可．【詳解】解：，，，，，，∴，的算術(shù)平方根為2，故選C．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負性，方程的思想，算術(shù)平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出、的值．二、填空題6．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）的平方根___，9的算術(shù)平方根是___．【答案】3【分析】根據(jù)平方根的定義、算術(shù)平方根的定義，進行計算即可得到答案．【詳解】解：，，的平方根為，，9的算術(shù)平方根是3，故答案為：；3．【點睛】本題主要考查了平方根的定義、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握平方根的定義、算術(shù)平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·北京西城·八年級期末）若，則______，______．【答案】1【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值即可．【詳解】解：∵，∴，解得，故答案為：1，．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．8．（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）某正數(shù)的兩個平方根分別是、，則這個正數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，可求出的值，再根據(jù)平方根即可求出這個正數(shù)．【詳解】解：正數(shù)的兩個平方根分別是、，正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，，解得：，，則這個正數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題考查了平方根，熟練掌握一個正數(shù)有兩個平方根，兩個平方根互為相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·河北滄州·七年級校考階段練習）在實數(shù)，，，，，，，中，無理數(shù)有_______個．【答案】【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)的小數(shù)，即可．【詳解】∵無限不循環(huán)的小數(shù)叫無理數(shù)，∴無理數(shù)為：，，，，∴無理數(shù)有個．故答案為：．【點睛】本題考查無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理解無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)的小數(shù)．10．（2023春·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學?？计谥校┤舻膬蛇呴L，滿足，則第三邊的長是__________．【答案】5或/或5【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，再分當邊長為a的邊是直角邊時，當邊長為a的邊是斜邊時，兩種情況利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，當邊長為a的邊是直角邊時，則由勾股定理得第三邊的長是，當邊長為a的邊是斜邊時，則由勾股定理得第三邊的長是，綜上所述，第三邊的長是5或，故答案為：5或．【點睛】本題主要考查了勾股定理，非負數(shù)的性質(zhì)，正確求出并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·江西南昌·七年級?？计谀┮阎猘、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【答案】的周長為17，是等腰三角形．【分析】依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可得到b和c的值，再根據(jù)a為方程的解，即可得到或1，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進而得出的周長，以及的形狀．【詳解】解：∵，∴，解得，∵a為方程的解，∴或1，當時，，不能組成三角形，故不合題意；∴，∴的周長，∵，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東湛江·七年級?？计谥校├闷椒礁笙铝衳的值：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）方程直接開平方即可求出解；（2）方程變形后，把看作一個整體，利用平方根定義開方即可求出解．【詳解】（1）解：，∴；（2），∴，∴，解得：或．【點睛】此題考查了立方根，平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春·廣東云浮·七年級?？计谥校┮阎粋€正數(shù)的兩個平方根分別為和．(1)這個正數(shù)是多少？(2)的算術(shù)平方根是多少？【答案】(1)這個正數(shù)是49(2)的算術(shù)平方根是5【分析】（1）根據(jù)“一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)”可得，即可求解；（2）由（1）可求，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，所以這個正數(shù)是．（2）解：由（1）得，所以，所以，所以的算術(shù)平方根是．【點睛】本題考查了平方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的求法