第2章第02講 立方根(5類熱點題型講練)（解析版）

第2章第02講立方根1.了解立方根的含義；了解立方根的性質.2.會用開立方運算求一個數(shù)的立方根，與立方互為逆運算.3.區(qū)分立方根與平方根的不同.知識點01立方根的概念1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.2.立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.知識點02立方根的性質【微點撥】1.第三個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點03立方根的應用利用立方根的定義解方程和求解實際問題.題型01立方根概念理解【典例】（2023春·上海靜安·七年級上海市回民中學?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）A．8的立方根為 B．立方根等于它本身的只有1C．的平方根是 D．平方根等于立方根的數(shù)只有0【答案】D【分析】根據(jù)平方根和立方根的性質分別判斷．【詳解】解：A、8的立方根為2，故錯誤，不合題意；B、立方根等于它本身的只有0，和1，故錯誤，不合題意；C、，平方根是，故錯誤，不合題意；D、平方根等于立方根的數(shù)只有0，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了立方根：若一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫的立方根，記作．也考查了平方根的定義．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）下列說法正確的是（）A．沒有立方根B．是的立方根C．一個非零數(shù)的立方根，仍然是一個非零的數(shù)D．的立方根是【答案】C【分析】根據(jù)立方根的定義逐個判斷即可．如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，也稱為三次方根，也就是說，如果，那么x叫做a的立方根．【詳解】解：A、有立方根，故A不正確，不符合題意；B、是的立方根，故B不正確，不符合題意；C、一個非零數(shù)的立方根，仍然是一個非零的數(shù)，故C正確，符合題意；D、的立方根是，故D不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了立方根的定義，解題的關鍵是掌握如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，也稱為三次方根，也就是說，如果，那么x叫做a的立方根．【變式2】（2023春·廣東惠州·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的有（

）．①負數(shù)沒有平方根，但負數(shù)有立方根；

②的平方根是；③的立方根是；

④的立方根是；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義逐項進行判斷即可得出答案．【詳解】解：①負數(shù)沒有平方根，但負數(shù)有立方根，故①正確；②的平方根是，故②正確；③的立方根是，故③錯誤；④的立方根是，故④正確；綜上分析可知，正確的有3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的定義，解題的關鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義，如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根或二次方根．如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的立方根．題型02求一個數(shù)的立方根【典例】（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）下列各式中，正確的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根據(jù)立方根，算術平方根的定義解答即可．【詳解】解：A、，故錯誤；B、，故錯誤；C、無意義，故錯誤；D、，正確；故選：D．【點睛】此題考查了求一個數(shù)的算術平方根及立方根，正確掌握計算法則是解題的關鍵．【變式1】（2023春·廣東肇慶·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)立方根的定義進行計算，即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的性質是解題關鍵．【變式2】（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】4【分析】由，從而可得答案．【詳解】解：，故答案為：4【點睛】本題考查的是求解一個數(shù)的立方根，理解立方根的含義是解本題的關鍵．【變式3】（2023春·四川南充·七年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）的平方根是，的立方根是．【答案】【分析】分別根據(jù)平方根及立方根的定義解答即可．【詳解】解：，，的平方根是；，．故答案為：，．【點睛】本題考查的是立方根、平方根及算術平方根，熟知以上知識是解題的關鍵．題型03已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)【典例】（2023春·黑龍江大慶·七年級?？计谥校┮粋€數(shù)的立方根是－2，則這個數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，所以這個數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了立方根的定義．掌握立方根的定義是解答本題的關鍵．【變式1】（2023春·四川廣安·八年級廣安二中?？茧A段練習）若一個數(shù)的立方根是4，則這個數(shù)為．【答案】64【分析】根據(jù)立方根的定義：一個數(shù)的立方為，則叫做的立方根，進行求解即可．【詳解】解：，∴這個數(shù)為：；故答案為：．【點睛】本題考查立方根．熟練掌握立方根的定義，是解題的關鍵．【變式2】（2023春·吉林·七年級統(tǒng)考階段練習）若的立方根是，則．【答案】3【分析】根據(jù)立方根的意義求解即可．【詳解】解：∵的立方根是，∴，∴，故答案為3【點睛】此題主要考查了立方根的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.題型04立方根的實際應用【典例】（2023春·北京海淀·七年級?？计谥校┙夥匠?1)(2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)平方根定義解方程即可得到答案；（2）根據(jù)立方根定義解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：，，解得或；（2）解：，，解得．【點睛】本題考查利用平方根定義及立方根定義解方程，熟記相關定義是解決問題的關鍵．【變式1】（2023春·廣東廣州·七年級?？计谥校┣笙铝懈魇街衳的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求解；（2）根據(jù)立方根的定義求解．【詳解】（1）變形為：，∴；（2）∴，∴,∴【點睛】本題考查了平方根，立方根，注意一個正數(shù)的平方根有2個，不要漏解．【變式2】（2023秋·甘肅定西·七年級?？计谀├盟鶎W知識解方程(1)(2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根的性質解方程即可；（2）根據(jù)立方根的性質解方程即可．【詳解】（1）解：，，，當時，，當時，．（2）解：，，，．【點睛】本題考查了利用平方根和立方根的性質解方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．題型05算術平方根和立方根的綜合應用【典例】（2023春·陜西安康·七年級統(tǒng)考期末）已知的立方根是3，的算術平方根是4．求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)立方根的定義及算術平方根的定義得到，求出x、y的值代入求值即可．【詳解】解：的立方根是3，的算術平方根是4，，解得．．的平方根是．【點睛】此題考查了立方根的定義及算術平方根的定義，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握立方根的定義及算術平方根的定義是解題的關鍵．【變式1】（2023春·重慶江北·七年級統(tǒng)考期末）已知的算術平方根是2，的立方根是3．(1)求的值；(2)求的算術平方根．【答案】(1)14(2)10【分析】（1）根據(jù)已知條件，求出、的值，即可求出最終答案；（2）把x、y的值代入，進而即可求解．【詳解】（1）解：∵的算術平方根是2，∴，解得：，又∵的立方根是3，∴，解得：，∵，∴的值為14.（2）解：由（1）可知，，，∵，∴的算術平方根是10．【點睛】本題主要考查了算術平方根、立方根的概念，掌握算術平方根、立方根的概念是關鍵．【變式2】（2023春·福建莆田·七年級統(tǒng)考期中）如果一個正數(shù)m的兩個平方根分別是和，n是的立方根．(1)求m和n的值．(2)求的算術平方根．【答案】(1)，；(2)6【分析】（1）根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)求出a的值，利用平方根和立方根即可求解；（2）將（1）中結果代入，然后求算術平方根即可．【詳解】（1）解：∵一個正數(shù)m的兩個平方根分別是和，∴，解得：，∴，∴，∵n是的立方根，∴；（2）由（1）得，，∴，∴的算術平方根為6．【點睛】本題考查了平方根的性質，立方根的性質．解決本題的關鍵是求出a．一、選擇題1．（2023春·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）27的立方根是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)立方根的定義，可以知道3的立方等于27，所以27的立方根是3．【詳解】因為，所以27的立方根是3，即．故選：A．【點睛】本題主要考查了立方根的定義，理解立方根的定義是解決本題的關鍵．2．（2023春·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求一個數(shù)的算術平方根，立方根，算術平方根的非負性，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項不正確，不符合題意；

C.，故該選項正確，符合題意；

D.無意義，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一個數(shù)的算術平方根，立方根，算術平方根的非負性，熟練掌握算術平方根、立方根的定義是解題的關鍵．3．（2023春·重慶江津·七年級重慶市江津中學校?？茧A段練習）下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的立方根是C．64的平方根是8 D．只有非負數(shù)才有立方根【答案】A【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義進行求解即可．【詳解】解：A、的立方根是，說法正確，符合題意；B、的立方根是，說法錯誤，不符合題意；C、64的平方根是，說法錯誤，不符合題意；D、所有的實數(shù)都有立方根，說法錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了立方根和平方根，熟知二者的定義是解題的關鍵．4．（2023春·廣東廣州·七年級廣州大學附屬中學?？茧A段練習）若4的平方根是x，的立方根是y，則的值為（

）A．7 B．11 C．或7 D．11或【答案】C【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義求出x、y的值即可得到答案．【詳解】解：∵4的平方根是x，的立方根是y，∴，∴或，故選C．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根，正確根據(jù)平方根和立方根的定義求出x、y的值是解題的關鍵．5．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）有一個數(shù)值轉換器，原理如下，當輸入時，輸出的y是（

）

A．4 B． C． D．【答案】D【分析】把代入數(shù)值轉換器中，依次計算確定出y即可．【詳解】解：，由題中所給的程序可知：當時，，當時，，故選：D．【點睛】此題考查了實數(shù)，弄清數(shù)值轉換器中的運算是解本題的關鍵．二、填空題6．（2023春·重慶江北·七年級統(tǒng)考期末）的值是．【答案】【分析】根據(jù)立方根的運算直接求解即可．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查了立方根的運算，解題的關鍵是掌握立方根的運算法則．7．（2023·全國·七年級專題練習）當x取時，有意義．【答案】任意實數(shù)【分析】根據(jù)立方根的定義，可得出的取值范圍．【詳解】解：∵任何實數(shù)都有立方根，∴可取任意實數(shù)，∴可取任意實數(shù)，∴當取任意實數(shù)時，有意義．故答案為：任意實數(shù)【點睛】本題考查了立方根，理解立方根的定義是正確解答的關鍵．8．（2023秋·云南·七年級?？计谀┮阎瑒t的立方根是．【答案】/0.5【分析】根據(jù)已知得出方程，求出的值，即可求出答案．【詳解】解：，，解得：，，則的立方根是，故答案為:．【點睛】本題考查了絕對值的意義，偶次方，立方根的應用，關鍵是求出的值．9．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）李師傅打算把一個長、寬、高分別為，，的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，問鍛造成的立方體鐵塊的棱長是多少？【答案】20【分析】根據(jù)題意，雖然形狀發(fā)生了變化，但是其體積仍然是沒有變化的，以此計算即可．【詳解】解：由題意得長方體體積為：，所以立方體棱長，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了立方根的運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵．10．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校校考開學考試）已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，化簡：的結果為．【答案】【分析】先判斷和的正負，然后根據(jù)絕對值的意義，算術平方根和立方根的意義化簡，再合并同類項即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值的意義，算術平方根和立方根的意義，以及整式的加減，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．三、解答題11．（2023春·七年級課時練習）求下列各數(shù)的立方根．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)立方根的定義直接求解即可；（2）根據(jù)立方根的定義直接求解即可；（3）根據(jù)立方根的定義直接求解即可；（4）先化為假分數(shù)，然后根據(jù)立方根的定義直接求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：，∴；（3）的立方根是，（4）∵，，∴．【點睛】本題考查立方根的定義，掌握立方根的概念及求一個數(shù)的立方根的方法是本題的解題關鍵．一個正數(shù)有一個正的立方根、0的立方根是0，一個負數(shù)有一個負的立方根．12．（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】6【分析】根據(jù)算術平方根和立方根以及絕對值求解即可．【詳解】解：．【點睛】此題考查了算術平方根和立方根以及絕對值，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．13．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)立方根、算術平方根可進行求解．【詳解】解：原式．．【點睛】本題主要考查立方根及算術平方根，熟練掌握立方根及算術平方根是解題的關鍵．14．（2023春·北京海淀·七年級校考期中）求下列等式中x的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的意義求解即可；（2）根據(jù)立方根的意義求解即可；【詳解】（1）解得；（2）解得．【點睛】此題考查了平方根和立方根的意義，解題的關鍵是熟練掌握平方根和立方根的意義．15．（2023春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）一個正數(shù)的兩個平方根是和，求的立方根．【答案】【分析】根據(jù)平方根的性質：一個正數(shù)的有兩個平方根且它們互為相反數(shù)解答即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根是和，∴，∴，∴，∴，∴，∴的立方根為．【點睛】本題考查了平方根的性質，一元一次方程，立方根的定義，掌握平方根的性質是解題的關