2023年高考數(shù)學(xué)第43講 利用圓錐曲線的定義解題

第43講利用圓錐曲線的定義解題——化歸思想的運(yùn)用

一、知識(shí)聚焦

數(shù)學(xué)定義是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，對(duì)定義的深刻理解是提高解題

能力的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，有關(guān)圓錐曲線的許多問題，往往可以化歸到運(yùn)用定義而簡(jiǎn)捷地獲解.

橢圓和雙曲線的定義是用曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的，因此在解題中凡涉及曲線

上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離如焦半徑、焦點(diǎn)三角形，應(yīng)先想到利用定義求解，會(huì)有事半功倍之效.拋

物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，由拋物線的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線

引垂線，由焦點(diǎn)弦、兩垂線和準(zhǔn)線圍成一個(gè)直角梯形，這個(gè)直角梯形有許多特殊的性質(zhì)，在

解題時(shí)要引起重視.

圓錐曲線的定義(包括第二定義)是相應(yīng)圓錐曲線的靈魂，許多復(fù)雜的圓錐曲線問題，如

果我們抓住了相應(yīng)的定義并在解題中加以運(yùn)用，可以簡(jiǎn)化解題過程.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1

⑴一動(dòng)圓過定點(diǎn)41，0),且與定圓(*+球+/=16相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

(2)又若定點(diǎn)為力(2,0),定圓為(x+2f+/=4,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

(3)已知雙曲線過點(diǎn)力(-2,4),用4,4),它的一個(gè)焦點(diǎn)是6(1,0),求它的另一個(gè)焦點(diǎn)

的軌跡.

解題策略第⑴問，利用兩圓相切，圓心距與圓半徑的關(guān)系找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的聯(lián)系.

然后由H1錐曲線定義確定曲線的類型、位置及參數(shù)，直接寫出軌跡方程，這種求軌跡的方法

叫“定義法”.第(2)問，兩8］相切，要考慮外切、內(nèi)切兩種情況，若指定外切或內(nèi)切，有時(shí)所

得軌跡方程會(huì)受到限制(部分曲線).第⑶問，可嘗試?yán)脠A錐曲線的定義求解，注意雙曲線定

義中的絕對(duì)值符號(hào)，故需要分類討論.

解:⑴設(shè)動(dòng)圓圓心Hx,y),定圓的圓心①1,0).

???點(diǎn)力在定圓內(nèi)部，，動(dòng)圓與定圓只能是內(nèi)切，因此|以|+|陽=4.

由橢圓的定義知?jiǎng)訄A圓心的軌跡方程是工+二=1.

43

⑵設(shè)動(dòng)圓圓心Rx,回，定圓的圓心儀-2,0),貝IJ||即|-|以||=2,

2

???由雙曲線的定義知?jiǎng)訄A圓心的軌跡方程是/-;=1.

⑶設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)是&X,必，實(shí)軸長(zhǎng)為2a

???點(diǎn)46都在雙曲線上，由雙曲線定義，得3=2"，忸尸|-忸3=2”,

3=］忸尸|一忸山.而|用|=|四=5,尸］一5|=|忸尸15|.

從而有|力士5=|例-5或|加-5=-(|8年5).

若|力樂5=|明-5|,則|力樂5=|郎-5|.

???點(diǎn)尸的軌跡是線段力8的垂直平分線，方程為產(chǎn)1C/W0).

若|/|年5二-(|8年5),貝!||2月+|81=10.

點(diǎn)尸的軌跡是以48為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，其中心坐標(biāo)為(1,4),方程

(i)\(y-4『

為=1…).

2516

變式訓(xùn)練1

已知圓M(x+1)'+/=1,圓A/(x-l)'+j/=9,動(dòng)圓Q與圓例外切并且與圓A/內(nèi)切，圓心

戶的軌跡為曲線C

(1)求曲線。的方程.

(2)/是與圓。，圓例都相切的一條直線，/與曲線。交于a6兩點(diǎn)，當(dāng)圓。的半徑最

長(zhǎng)時(shí)，求兇臼的值.

核心例題2

⑴點(diǎn)戶在雙曲線1649y二144上，R,E是雙曲線的焦點(diǎn)，若|用||跖|=32,求乙RPR.

⑵已知A,A為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)戶在。上，NA所二60。,

求仍句仍同的值.

解題策略本例兩小問的解If思維過程正好互逆，雙曲線的定義將起到關(guān)鍵作用.還應(yīng)指

出:橢圓或雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)

三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常用定義結(jié)合正弦定理或余弦定理求解.

x2y2

解:⑴雙曲線方程是二一9=1，a=3,Z?=4,c=5,

916

由雙曲線定義||尸耳|-|"||=6,又由1Mli陽=32,得

附『+|帆|2=||「用-怛閭『+2附||%|=100

由|AE|=2c=10,得|PK「+|P周'I4圖1，因此“陰=90。.

|P￡「+|P周2-忻工『

⑵由余弦定理，得cos&\PR;

2陷忖國

歸耳HP周『+2|「用歸國一閨用,

Icos60°=

2附||明

?叫-'解得I明附H

變式訓(xùn)練

設(shè)直線/與雙曲線C：rX-=V=l（a>0,。>0）相切于點(diǎn)4雙曲線。的左、右焦點(diǎn)分別

a~b~

為&凡

⑴若P為直線/上一點(diǎn),求|P周一|尸周的最大值.

（2）過點(diǎn)A作直線/的垂線，求垂足〃的軌跡.

核心例題3

如圖43-1所示，為拋物線〃=20乂夕>0）的焦點(diǎn)弦，A（xl,y1）,B（x2,>'2）,焦點(diǎn)《與，

0）,準(zhǔn)線/心一5,AC±/,BDL、且儀/V分別為48,。的中點(diǎn)，力8的傾斜角為4

⑴證明心I如懸y.

(2)證明,.S^AOB—SACOD----.

2sin6

解題策略拋物線的焦點(diǎn)弦有許多重要性質(zhì)，以圖43-1為例,

羅列如下：

2

2P

⑴必丁2=〃>XlX2~；

(2)ZC/CD==9O°,NF1AB、AN-LBN]

⑸升/^仁玉+&+2二叱應(yīng):一^^為的傾斜角)；

2psin~。

2

⑷直角梯形480C的對(duì)角線交于頂點(diǎn)(原點(diǎn))0,且SAX。產(chǎn)SAC3="(%_%)=上二.

42s\n0

(5)/W被拋物線平分，即R為例/V的中點(diǎn)；

⑹|件;例2=；|/何；

]12

⑺黃石+百莉=一(定值)；

|AF||BF|p

(8)以48為直徑的Bl必與準(zhǔn)線相切；

(9)分別以力￡8尸為直徑的圓必與J/軸相切；

(10)分別以48為圓心，且過準(zhǔn)線相切的IS必過定點(diǎn)(焦點(diǎn)).

本例證明的是上述性質(zhì)中的⑶和(4),拋物線定義的運(yùn)用是證明的關(guān)鍵.

證明：(1)因直線的傾斜角為0,由于直線46的斜率存在或斜率不存在且不為零時(shí)均符合

題意，故直線的方程可設(shè)為x=cot4y+K.

2

由拋物線定義可知質(zhì)向=|力目+|郎=|/1。+|%=%+]+々+]=玉+/+P

%,+々+p=cotG-y}+cot^-y2+p+p=cot"(y+y2)+2p.

x-cold-y+—,八,

而聯(lián)立,-2,得〃-2/%：01：夕片7?2=0,1.

y1=2px

2

'''"+%=2pcot。,代人①式得|力S|=2p(l+cot0)=2,八.

sin-0

TT

特別地，當(dāng)Z5與x軸垂直時(shí)，失,，此時(shí)|力闿叫做拋物線的通徑，顯然通徑為20.

2

⑵|%-閡=J4P2cot*+4P2（由y+%=2pcot0,yty2=-p代入得）

I.2(1COS202/?

4,"病?sin。

/.SA*08=-lOFlIy.-='lx-=---^—=————

△AO6II*>2|I>1.2|4sin2sin

24。。

22

同理可得S"OD=號(hào),即S"。,=鼠由=M

變式訓(xùn)練1

設(shè)拋物線C〃=20MQ>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)例在。上，|雨=5,若以必為直徑的圓過點(diǎn)

力(0,2),則拋物線。的方程為.

變式訓(xùn)練2

設(shè)拋物線上"=2/”,(f為參數(shù)，。>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過拋物線上一點(diǎn)力作/的

y=2pf

垂線，垂足為B,設(shè)ap,0),〃與交相交于點(diǎn)E,若|。8=2|力耳，且△/!&的面積為3/2,

則。的值為.

核心例題4

x2y2..........

已知橢圓一+K=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是八(-C0),&c0)Q是橢圓外的

ab-t

動(dòng)點(diǎn)，滿足|忻。|=2"，點(diǎn)Q是線段「Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段EQ上，并且滿足

PTTF=0,優(yōu)|H0.

2

⑴設(shè)X為點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，證明:匝]=。+].

(2)求點(diǎn)7"的軌跡。的方程.

⑶試問:在點(diǎn)廠的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M使△國般的面積S=Z/.若存在，求4加石的

正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解題策略第⑴問，實(shí)質(zhì)是求橢圓的焦半徑，可以有多種推導(dǎo)方法:①利用點(diǎn)戶在橢圓上,

運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算并化簡(jiǎn)；②利用橢圓的定義石+0=2/解出△即為所求的焦

半徑之一；③利用橢圓的第二定義求得.第⑵問，題設(shè)給出的向量有兩個(gè)，給出同。|=2。|,

可結(jié)合橢圓的定義得到|P0=|PK],出現(xiàn)等腰三角形；給出PT-7R=0,|*則出現(xiàn)

PTLTR、從而使得廠成為QA的中點(diǎn)，求點(diǎn)廠的軌跡就變得相當(dāng)容易.這里有一個(gè)細(xì)節(jié)要注

意，題設(shè)給出的數(shù)量積為0時(shí)，并沒有指出PT是否為零向量，所以要進(jìn)行分類討論.第⑶

問，首先要探究點(diǎn)例的存在性，再求乙處的正切值，由于給出△月例E的面積S=",就

給出了;N司闋sinNF|g=〃，只要求出M與Mg的數(shù)量積，勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)

MFtMF2=\MF^MF^COSZF]MF2,這時(shí)，求tan乙就不困難了，所以解決第⑶問

的關(guān)鍵是求"耳與加用的數(shù)量積.

⑴證法一

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,回，由/V，勿在橢圓上.

得忖P卜yJ(X+C)2+y2=?x+cY+/一,12=J(。+/無

由x三一a,知ad—xN-c+s>0,「.忻P|=QH—x.

a11a

解法二設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(X,回，記忻:=小歸p|=N，,

則4=J（x+c『+y2,4=J（無-cY+y2

由4+rz=2a，L—g-4cx,得忖p[=4-a+—x\.

c

證法三設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（X,歷，橢圓的左準(zhǔn)線方程為Q+—X=o.

a

由橢圓第二定義，得即忻尸|=a1c

?￡XH---=ClH---X

cra11aca

由xN—3,知Q+二xN-c+a>0,.二忻p[二a+二X.

a11a

(2)解法一如圖43-2所示，設(shè)點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(x,回，當(dāng)

叫=0時(shí)，點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(-80)在軌跡上.

當(dāng)|p4片0且|匹|KO時(shí)，由Pna=0=0,得PTJ_叫.

由眼卜2a及歸耳+|3=2R得|尸。卜颶卜

."為線段AQ的中點(diǎn)，在中，[0T|=*@=a,.??+/=/

綜上，點(diǎn)7"的軌跡C的方程是4+〃=才.

解法二設(shè)點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(X回，當(dāng)附|=0時(shí)，點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(-a0)在軌跡上.

當(dāng)附卜0且閥卜。時(shí)，由PT?叫=0,得PTLT8,又PQ=PF>

???7'為線段AQ的中點(diǎn).

x'+c

x=-------c，=2_

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(HV),貝IJ2,因此“一，①

上卜=2)，

U2

由忻@=2a,得"+c)”=