習(xí)題課-數(shù)列的綜合問(wèn)題

綜合考法一等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題[典例]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求Tn.[解]

(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝2an，則an＋1＝3an(n≥2)．因?yàn)閍1＝S1＝1，a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1.[方法技巧]等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題技巧(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解．求解時(shí)，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．求解過(guò)程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論．(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即{an}為等差數(shù)列?{aan}(a＞0且a≠1)為等比數(shù)列；{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列?{logaan}(a＞0且a≠1)為等差數(shù)列．

[針對(duì)訓(xùn)練]設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為T(mén)n(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數(shù)n的值．綜合考法二數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題[典例]實(shí)施“二孩”政策后，專家估計(jì)某地區(qū)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2021年開(kāi)始到2030年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬(wàn)人，從2031年開(kāi)始到2040年，每年人口總數(shù)為上一年的99%.已知該地區(qū)2020年人口總數(shù)為45萬(wàn)．(1)求實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬(wàn)人)的表達(dá)式(記2021年為第一年)；(2)若“二孩”政策實(shí)施后，2021年到2040年人口平均值超過(guò)49萬(wàn)，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施，問(wèn)到2040年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.9910≈0.9)[方法技巧]數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型等差模型如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差等比模型如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第(n＋1)項(xiàng)an＋1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前(n＋1)項(xiàng)和Sn＋1之間的遞推關(guān)系[針對(duì)訓(xùn)練]一件家用電器用分期付款的方式購(gòu)買，單價(jià)為1150元，購(gòu)買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的第1個(gè)月為分期付款的第1個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢(qián)？全部貨款付清后，買這件家用電器實(shí)際花了多少錢(qián)？綜合考法三數(shù)列與不等式相結(jié)合數(shù)列與不等式知識(shí)相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題；三是考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明．[典例]已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2,4Sn＝anan＋1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；[解]

(1)∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，則a2＝4.當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.由題意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4.當(dāng)n＝2k＋1，k∈N*時(shí)，a2k＋2－a2k＝4，即a2，a4，…，a2k是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；當(dāng)n＝2k，k∈N*時(shí)，a2k＋1－a2k－1＝4，即a1，a3，…，a2k－1是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，∴a2k－1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1)．綜上可知，an＝2n，n∈N*.[方法技巧]數(shù)列與不等式相結(jié)合問(wèn)題的解題策略(1)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，如果是證明題，要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或數(shù)軸穿