第2章第03講 估算、實數(shù)(11類熱點題型講練)（原卷版）

第2章第03講估算、實數(shù)1、會估算一個無理數(shù)的大致范圍，比較兩個無理數(shù)的大小2、了解實數(shù)的意義，能對實數(shù)按要求進(jìn)行分類;3、了解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能根據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小;4、了解實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義（同有理數(shù)的意義完全一樣）.知識點01估算【微點撥】日常生活中有些數(shù)據(jù)不需要十分精確時，可以通過應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行估算，但要盡可能地減小誤差，方法要科學(xué)．估算法：（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個重要的關(guān)系，我們通常可以找距離a最近的兩個平方數(shù)和立方數(shù)，來估算和的大小．例如：，則；，則．常見實數(shù)的估算值：，，．知識點02實數(shù)概念及分類【微點撥】無理數(shù)常見的三種類型：（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù).題型01無理數(shù)的估算【典例】（2023春·重慶潼南·七年級校聯(lián)考期中）估算的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【變式1】（2023·天津東麗·統(tǒng)考一模）估計的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【變式2】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）若a和b為兩個連續(xù)整數(shù)，且，那么，．題型02實數(shù)概念理解【典例】（2023春·七年級課時練習(xí)）有下列說法：①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；②無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；③無理數(shù)是無限小數(shù)；④所有實數(shù)都是分?jǐn)?shù)．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）下列說法中，正確的是（）A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．無理數(shù)都是帶有根號的數(shù)C．、都是分?jǐn)?shù) D．實數(shù)分為正實數(shù)，負(fù)實數(shù)和零【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）關(guān)于實數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) B．實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)C．無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù) D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)題型03實數(shù)的分類【典例】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線上：正有理數(shù)集合：整數(shù)集合：負(fù)分?jǐn)?shù)集合：無理數(shù)集合：【變式1】（2023春·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期中）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合中：，，，，，，，，，(每兩個1之間依次多1個0)．有理數(shù)集合：｛

…｝無理數(shù)集合：｛

…｝【變式2】（2023春·七年級課時練習(xí)）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合中．，，，，，，，（每相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次加1）．(1)有理數(shù)集合：{

…}；(2)無理數(shù)集合：{

…}；(3)正實數(shù)集合：{

…}；(4)負(fù)實數(shù)集合：{

…}．題型04實數(shù)的性質(zhì)【典例】（2023春·甘肅定西·七年級校考階段練習(xí)）的絕對值是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．題型05實數(shù)與數(shù)軸【典例】（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，小明將一個直徑為1個單位長度的圓環(huán)（厚度忽略不計）從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達(dá)點，則下列實數(shù)與點表示的數(shù)最接近的是（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023秋·七年級單元測試）如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q【變式2】（2023春·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在數(shù)軸上，點與點關(guān)于點A對稱，A、B兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是和，那么點所對應(yīng)的實數(shù)是（

）

A． B． C． D．題型06實數(shù)的大小比較【典例】（2023春·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期末）比較大小：______，______；【變式1】（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）比較實數(shù)大小：______（填“”、“”或“”）．【變式2】（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）比較大?。篲____．（填寫“”、“”或“”）題型07實數(shù)的混合運算【典例】（2023春·甘肅定西·七年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【變式1】（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【變式2】（2023春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)題型08程序設(shè)計與實數(shù)運算【典例】（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，根據(jù)如圖的程序進(jìn)行計算，當(dāng)輸入的值為64時，輸出的值是__________．【變式1】（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設(shè)計的計算小程序，當(dāng)輸入為時，輸出的值是____________【變式2】（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學(xué)校考階段練習(xí)）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結(jié)果為___________．題型9無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計算【典例】（2023春·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）已知a是的小數(shù)部分，則．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值為．【變式2】（2023春·黑龍江雙鴨山·七年級?？计谀┑男?shù)部分是，的小數(shù)部分為．則．題型10新定義下的實數(shù)運算【典例】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數(shù)．例如：，則的值為__________．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）定義一種運算：對于任意實數(shù)，都有，則的值為_________．【變式2】（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）在正實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解是___________．題型11與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題【典例】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）探究題：(1)計算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通過上面的計算，比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是；請用這一規(guī)律計算：．【變式1】（2023春·福建莆田·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過程：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……(1)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第4個等式：__________________．(2)利用這一規(guī)律計算：．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③．(1)根據(jù)上而三個等式提供的信息，請你猜想______．(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：______．對任何實數(shù)a可表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值一、選擇題1．（2023春·廣西防城港·七年級統(tǒng)考期末）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是(

)

A．點P B．點Q C．點R D．點S3．（2023春·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）下列各式中計算正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·陜西安康·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的時，輸出的y等于（

）

A．8 B． C． D．45．（2023春·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）設(shè)的整數(shù)部分用表示，小數(shù)部分用表示；的整數(shù)部分用表示，小數(shù)部分用表示，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·天津東麗·七年級統(tǒng)考期末）計算的絕對值是．7．（2023春·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）實數(shù)，，，中最小的數(shù)是．8．（2023春·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期中）已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么的值為.9．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上，點為原點，點在數(shù)2位置上，過點作，且．以點為圓心，為半徑作弧，交數(shù)軸的右側(cè)于點，則點表示的數(shù)為．

10．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為．

三、解答題11．（2023春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）計算：12．（2023春·安徽黃山·七年級統(tǒng)考期末）計算13．（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．14．（2023春·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達(dá)點，若點表示數(shù)，設(shè)點所表示的數(shù)為．

(1)實數(shù)的值是______；(2)求的值．15．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】∵，，∴的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為．【解決問題】(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______．(2)已知，其中x是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．16．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）同學(xué)們學(xué)過數(shù)軸知道，數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有A，B，C三點，其中，，，如圖，設(shè)點A，B，C所對應(yīng)數(shù)的和是P．

(1)若以B為原點，寫出點A，C所對應(yīng)的數(shù)，并計算P的值．(2)若原點О在點C的右側(cè)，且，求P的值．17．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）設(shè)n是正整數(shù)，則按整數(shù)部分的大小可以這樣分組：整數(shù)部分為1：，，；，，…