2021年上海市虹口區(qū)中考數學二模試卷（含解析）

第1頁（共3頁）2021年上海市虹口區(qū)中考數學二模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上。1．（4分）下列各數中，2的相反數是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）當x≠0時，下列運算正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．x4﹣x2＝x2 C．x4?x2＝x8 D．x4÷x2＝x23．（4分）如果將拋物線y＝2x2向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣14．（4分）某校足球隊16名隊員的年齡情況如表，這些隊員年齡的中位數和眾數分別是（）年齡（歲）14151617人數3533A．15，15 B．15.5，15 C．15.5，16 D．16，165．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AD和BE交于點G，設＝，＝，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．6．（4分）在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結果直接填入答題紙的相應位置]7．（4分）計算：（3a）2＝．8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝．9．（4分）方程的解是．10．（4分）不等式組的解集是．11．（4分）關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍．12．（4分）已知點A（1，y1）、點B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是．13．（4分）一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，小球除顏色不同外其它都相同．如果要設計一個游戲，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，那么n＝．14．（4分）為了解學生們零用錢的使用情況，某校從全校800名學生中隨機抽取了40名學生進行調查，并將這部分學生平均每月使用零用錢的金額繪制成了頻率分布直方圖（如圖）．請估計該校學生中平均每月使用零用錢的金額小于200元的約有名．15．（4分）如果正六邊形的半徑是1，那么它的邊心距是．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以點C為圓心，r為半徑作⊙C．如果⊙C與線段BE有兩個交點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是．17．（4分）當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分割成兩個等腰三角形時，我們稱這個四邊形為“等腰四邊形”，其中這條對角線稱為這個四邊形的“等腰線”．如果凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度數為．18．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，將△BCM沿直線BM翻折，使得點C落在同一平面內的點C′處，聯(lián)結DC′并延長交正方形ABCD一邊于點N．當BN＝DM時，CM的長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10．（1）求AB的長；（2）如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．22．（10分）一輛汽車從甲地出發(fā)前往相距350千米的乙地，在行駛了100千米后，因降雨，汽車每行駛1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如圖中的折線ABC反映了該汽車行駛過程中，油箱中剩余的油量y（升）與行駛的路程x（千米）之間的函數關系．（1）當0≤x≤100時，求y關于x的函數解析式（不需要寫出定義域）；（2）當汽車到達乙地時，求油箱中的剩余油量．23．（12分）如圖，在?ABCD中，點G是邊BC延長線上一點，聯(lián)結AG分別交BD和CD于點E和F，聯(lián)結DG．（1）求證：AE2＝EF?EG；（2）如果∠ABD＝∠AGD，求證：四邊形ABGD是等腰梯形．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x+b與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線H：y＝交于點P（2，），直線x＝m分別與直線l和雙曲線H交于點E、D．（1）求k和b的值；（2）當點E在線段AB上時，如果ED＝BO，求m的值；（3）點C是y軸上一點，如果四邊形BCDE是菱形，求點C的坐標．25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，點M是射線AB上一點，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點D．（1）如圖，當MC＝AC時，求CD的長；（2）當點D在線段AC的延長線上時，設BM＝x，四邊形CBMD的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長．

2021年上海市虹口區(qū)中考數學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上。1．（4分）下列各數中，2的相反數是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】直接利用相反數的定義得出答案．【解答】解：2的相反數是：﹣2．故選：B．2．（4分）當x≠0時，下列運算正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．x4﹣x2＝x2 C．x4?x2＝x8 D．x4÷x2＝x2【分析】利用合并同類項法則、同底數冪的乘除法法則，逐個計算得結論．【解答】解：x4與x2不是同類項，不能加減，故選項A、B計算錯誤；x4?x2＝x6≠x8，故選項C計算錯誤；x4÷x2＝x2，故選項D計算正確．故選：D．3．（4分）如果將拋物線y＝2x2向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1【分析】根據“左加右減”的法則即可得出結論．【解答】解：∵拋物線y＝2x2向左平移1個單位后，所得新拋物線的表達式為y＝2（x+1）2，故選：A．4．（4分）某校足球隊16名隊員的年齡情況如表，這些隊員年齡的中位數和眾數分別是（）年齡（歲）14151617人數3533A．15，15 B．15.5，15 C．15.5，16 D．16，16【分析】根據中位數和眾數的定義求解即可．【解答】解：這組數據的眾數為15歲，中位數為＝15.5（歲），故選：B．5．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AD和BE交于點G，設＝，＝，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【分析】利用三角形的法則求出，再根據三角形重心的性質解決問題即可．【解答】解：∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD，BE是△ABC的中線，∴G是△ABC的重心，∴BG＝BE，∴＝﹣+，故選：A．6．（4分）在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝CD，故選項C不符合題意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的長為AD、BC間的距離，又∵AB＝CD，∴CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴選項D不符合題意；故選：C．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結果直接填入答題紙的相應位置]7．（4分）計算：（3a）2＝9a2．【分析】利用積的乘方的性質求解即可求得答案．【解答】解：（3a）2＝9a2．故答案為：9a2．8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝x（x﹣4）．【分析】直接提取公因式x進而分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案為：x（x﹣4）．9．（4分）方程的解是6．【分析】把方程兩邊平方去根號后求解．【解答】解：由原方程的兩邊平方，得x+3＝9，移項，得x＝6；故答案是：6．10．（4分）不等式組的解集是﹣3＜x＜1．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣3，所以不等式組的解集是﹣3＜x＜1．故答案為：﹣3＜x＜1．11．（4分）關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍k＜1．【分析】關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，即判別式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到關于k的不等式，從而求得k的范圍．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．12．（4分）已知點A（1，y1）、點B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】利用A、B坐標且y1＜y2和二次函數的性質即可判斷．【解答】解：由已知拋物線為y＝ax2﹣2，∴對稱軸為x＝0，∵x1＜x2，要使y1＜y2，則在x＞0時，y隨x的增大而增大，∴a＞0，故a的取值范圍是：a＞0．13．（4分）一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，小球除顏色不同外其它都相同．如果要設計一個游戲，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，那么n＝20．【分析】直接利用紅球個數除以總數得出摸出紅球的概率，即可得出答案．【解答】解：∵一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，∴＝0.2，解得：n＝20．故答案為：20．14．（4分）為了解學生們零用錢的使用情況，某校從全校800名學生中隨機抽取了40名學生進行調查，并將這部分學生平均每月使用零用錢的金額繪制成了頻率分布直方圖（如圖）．請估計該校學生中平均每月使用零用錢的金額小于200元的約有240名．【分析】根據題意和頻數分布直方圖中的數據，可以計算出該校學生中平均每月使用零用錢的金額小于200元的約有多少名．【解答】解：由直方圖可得，該校學生中平均每月使用零用錢的金額小于200元的約有：800×（0.1+0.2）＝240（名），故答案為：240．15．（4分）如果正六邊形的半徑是1，那么它的邊心距是．【分析】根據正六邊形的中心角為60°以及正六邊形邊心距的性質解直角三角形△OBG可得結論．【解答】解：∵ABCDDEF為正六邊形，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．∴∠BOG＝∠BOC＝30°．在Rt△BOG中，cos∠BOG＝．∵OB＝1，∴OG＝OB?cos∠BOG＝1×＝．故答案為：．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以點C為圓心，r為半徑作⊙C．如果⊙C與線段BE有兩個交點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是2＜r≤2．【分析】連接CE，過C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，計算得出AD，AE的長，通過說明△BFC～△ADE，得出CF的長，利用勾股定理計算CE的長，因為⊙C與線段BE有兩個交點，可以確定r的取值范圍．【解答】解：連接CE，過C作CF⊥AB于F．∵DE∥BC，∴．∵CD＝2AD，∴＝．∵AB＝9，BC＝6，∴DE＝BC＝2，AE＝AB＝3．∵AC＝，CD＝2AD，∴CD＝．∴CE＝．∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACF＝90°．∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF＝90°．∴∠BCF＝∠FAC．∵∠BFC＝∠EDA＝90°，∴△BFC～△ADE．∴．∴．∴CF＝2．∴當r＝2時，⊙C與線段BE相切．∵⊙C與線段BE有兩個交點，∴2＜r≤2．故答案為：2＜r≤2．17．（4分）當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分割成兩個等腰三角形時，我們稱這個四邊形為“等腰四邊形”，其中這條對角線稱為這個四邊形的“等腰線”．如果凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度數為75°．【分析】根據“等腰四邊形”的定義畫出圖形，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，所以△CBD和△ABD為等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分兩種情形：①AB＝BD，②AD＝BD．當AB＝BD時，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC為等邊三角形，∠ABC＝90°，則∠ABD＝30°，結論可得；當AD＝BD時，過點D作DE⊥AB，根據等腰三角形的三線合一，BE＝AB，過點D作DF⊥CB，交CB延長線于點F，根據四邊形EBFD為矩形，DF＝＝CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，從而∠BAD可求．【解答】解：∵凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，∴△CBD和△ABD為等腰三角形．由于AB≠AD，在△ABD中分兩種情形：①AB＝BD，②AD＝BD．當①AB＝BD時，如下圖：∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．∴BC＝CD＝BD．∴△BDC為等邊三角形．∴∠DBC＝60°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°．∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°．當②AD＝BD時，如下圖，過點D作DE⊥AB，過點D作DF⊥CB，交CB延長線于點F，∵AD＝BD，DE⊥AB，∴BE＝AB．∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°，∴四邊形EBFD為矩形．∴DF＝BE＝AB．∵AB＝CD，∴DF＝CD．在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，∴∠DCF＝30°．∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝75°．∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD＝75°．綜上，∠BAD＝75°．故答案為：75°．18．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，將△BCM沿直線BM翻折，使得點C落在同一平面內的點C′處，聯(lián)結DC′并延長交正方形ABCD一邊于點N．當BN＝DM時，CM的長為2或8﹣4．【分析】分兩種情形：如圖1中，當BN＝DM時，連接CC′交BM于J．如圖2中，當BN＝DM時，過點C′作C′T⊥CD于T．分別求解即可．【解答】解：如圖1中，當BN＝DM時，連接CC′交BM于J．∵BN＝DM，BN∥DM，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∴BM∥DN，∵CJ＝JC′，∴CM＝DM＝CD＝2．如圖2中，當BN＝DM時，過點C′作C′T⊥CD于T．∵CB＝CD，BN＝DM，∴CN＝CM＝MC′，在△BCM和△DCN中，，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBM，∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，∴∠CBM＝∠C′CD，∴∠C′CD＝∠DCN，∴C′D＝C′C，∵C′T⊥CD，∴DT＝TC＝2，∵C′T∥CN，∴DC′＝C′N，∴C′T＝CN，設C′T＝x，則CN＝CMMC′＝2x，TM＝x，∴2x+x＝2，∴x＝4﹣2，∴CM＝8﹣4，綜上所述，CM的值為2或8﹣4．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．【分析】利用絕對值，零指數冪、負整數指數冪，二次根式的化簡的方法進行計算即可．【解答】解：原式＝﹣1﹣1+﹣＝﹣1﹣1+2+2﹣＝2．20．（10分）解方程：．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：6+x2﹣9＝x+3，整理得：x2﹣x﹣6＝0，即（x﹣3）（x+2）＝0，解得：x＝3或x＝﹣2，檢驗：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，把x＝﹣2代入得：（x+3）（x﹣3）＝﹣5≠0，則x＝3是增根，分式方程的解為x＝﹣2．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10．（1）求AB的長；（2）如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．【分析】（1）過點A作AE⊥BC，構造兩個直角三角形，分別用特殊角和三角函數求解．（2）過D作DF⊥BC，分別在兩個直角三角形中求解．【解答】解：（1）過A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∵∠BCA＝45°，在Rt△AEC中，AE＝EC，∵cotB＝，在Rt△BEA中，＝，設BE＝3x，AE＝2x，∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，∴x＝6，∴BE＝6，EA＝EC＝4，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2．即AB2＝36+16＝52．∴AB＝．（2）由（1）知AB＝2，又∵D為AB的中點，∴BD＝AD＝，∵DF⊥BC，AE⊥BC，∴DF∥AE，∵BD＝AD，∴BF＝FE＝BE＝3．∴DF＝AE＝2，∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．22．（10分）一輛汽車從甲地出發(fā)前往相距350千米的乙地，在行駛了100千米后，因降雨，汽車每行駛1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如圖中的折線ABC反映了該汽車行駛過程中，油箱中剩余的油量y（升）與行駛的路程x（千米）之間的函數關系．（1）當0≤x≤100時，求y關于x的函數解析式（不需要寫出定義域）；（2）當汽車到達乙地時，求油箱中的剩余油量．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）分別求出前100千米與后250千米的耗氧量，再根據減法的意義列式計算即可．【解答】解：（1）設當0≤x≤100時，y關于x的函數解析式為y＝kx+b，根據題意，得：，解得，∴y＝﹣x+50；（2）由題意可知，前100千米耗氧量為10升，后250千米的耗氧量為：250×（0.1+0.02）＝30（升），油箱中的剩余油量為：50﹣10﹣30＝10（升）．23．（12分）如圖，在?ABCD中，點G是邊BC延長線上一點，聯(lián)結AG分別交BD和CD于點E和F，聯(lián)結DG．（1）求證：AE2＝EF?EG；（2）如果∠ABD＝∠AGD，求證：四邊形ABGD是等腰梯形．【分析】（1）通過說明△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，利用相似三角形的性質得出比例式可得結論．（2）由已知得出△DEF∽GED，可以推出DE2＝EF?EG，利用（1）的結論可得DE＝AE，進而說明△AEB≌△DEG，結論可得．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴△ABE∽△FDE．∴．∴ADE∽△GBE．∴．∴．∴AE2＝EF?EG．（2）∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵∠ABD＝∠AGD，∴∠CDB＝∠AGD．∵∠DEF＝∠GED，∴△DEF∽GED．∴．∴DE2＝EF?EG．由（1）知：AE2＝EF?EG．∴DE＝AE．在△ABE和△DEG中，．∴△ABE≌△DEG（AAS）．∴AB＝DG．∵AD∥BG，∴四邊形ABGD是等腰梯形．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x+b與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線H：y＝交于點P（2，），直線x＝m分別與直線l和雙曲線H交于點E、D．（1）求k和b的值；（2）當點E在線段AB上時，如果ED＝BO，求m的值；（3）點C是y軸上一點，如果四邊形BCDE是菱形，求點C的坐標．【分析】（1）利用待定系數法將點P（2，）分別代入直線l和雙曲線H的解析式中，即可求出k和b的值；（2）由題意可得E（m，m+3），D（m，），可得ED＝m+3﹣，利用ED＝BO，建立方程求解即可；（3）過點E作EF⊥y軸于點F，運用勾股定理求出BE＝|m|，由于四邊形BCDE是菱形，可得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．【解答】解：（1）把點P（2，）代入y＝，得：＝，解得：k＝9；把點P（2，）代入y＝x+b，得：+b＝，解得：b＝3；（2）在直線y＝x+3中，令x＝0，得：y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令y＝0，得：x+3＝0，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵直線x＝m分別與直線y＝x+3和雙曲線y＝交于點E、D．∴E（m，m+3），D（m，），∵點E在線段AB上，∴﹣4≤m≤0，∴ED＝m+3﹣，∵ED＝BO，∴m+3﹣＝3，解得：m1＝﹣2，m2＝2，經檢驗，m1＝﹣2，m2＝2都是原方程的解，但﹣4≤m≤0，∴m＝﹣2；（3）如圖，過點E作EF⊥y軸于點F，∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），∴F（0，m+3），∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（m+3）]2+m2＝m2，∴BE＝|m|，又有DE＝|m+3﹣|，∵四邊形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，∴|m|＝＝|m+3﹣|，解得：m1＝﹣3，m2＝，當m1＝﹣