2023年高考數(shù)學(xué)第19講 解幾最值求有妙法構(gòu)造函數(shù)多方出擊

第19講解幾最值求有妙法，構(gòu)造函數(shù)多方出

擊

一、攻關(guān)方略

與圓錐曲線有關(guān)的最值或范圍問題大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強(qiáng)，涉及代數(shù)函

數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何等方面的知識求最值常見的解法有幾何法和代數(shù)法兩利J若題目的

條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，如與圓錐曲線的定義相關(guān)或涉及過焦點(diǎn)的弦長、焦

半徑、焦點(diǎn)三角形等，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的

函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值圓錐曲線中的最值問題的載體是

直線與圓錐曲線的關(guān)系，特別是相交所引出的圖形的最值問題，大致可分為兩類：①涉及距

離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些

元素存在最值時求解與之有關(guān)的一些問題本講重點(diǎn)放在用目標(biāo)函數(shù)法求最值的策略。

建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題是一種常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷?/p>

目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值。

運(yùn)用目標(biāo)函數(shù)法解此類題的難點(diǎn)體現(xiàn)在兩個方面①如何建立目標(biāo)函數(shù)。關(guān)鍵要把相關(guān)圖形的

特點(diǎn)吃透，變量可以是直線的斜截、距、曲線上的動點(diǎn)坐標(biāo)、變動的線段等等，通常所得到

的解析式的形式不會太簡單，對下一步的求解會帶來困難②對所求得的目標(biāo)函數(shù)如何求其最

值。常常需要進(jìn)行再次構(gòu)造為常見函數(shù)并運(yùn)用相應(yīng)的【解題策略】解之，比如轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用配方法、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界

性等，尤其是對復(fù)雜函數(shù)解析式的再構(gòu)造，其方法并非唯一不同的構(gòu)造必有多種不同的解

法，或繁或簡，通過解題經(jīng)驗(yàn)的積累，盡可能找到最為巧妙的構(gòu)造，得到最為簡捷的解法。

真可謂：

解幾最值求有妙法，

構(gòu)造函數(shù)多方出擊。

思維發(fā)散或繁或簡，

縱橫聯(lián)結(jié)枝繁葉茂。

二、例題展不

例1已知點(diǎn)4(0,-2),橢圓E:5+4=l(a>">0)的離心率為是橢圓E的

a"h"2

右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為羊,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線I與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時，求I

的方程.

【解題策略】

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)方法當(dāng)然離不開比較復(fù)雜的計

算，高考命題特別提出多考想，少考算”，突出考查學(xué)生分析推理、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)邏輯思維能力

如何在解析幾何中避免繁雜、冗長的計算，即簡化計算，也就成了處理這類問題的難點(diǎn)與關(guān)

鍵解析幾何題目中常用的簡化運(yùn)算的技巧有：圓錐曲線的概念、條件等價轉(zhuǎn)化、以形助數(shù)、

設(shè)而不求以及通過構(gòu)造以巧妙的方法減少運(yùn)算量等。本例第(1)問，根據(jù)已知條件，利用基

本量求橢圓方程；第(2)問，先建立△OPQ面積的函數(shù)表達(dá)式，再求最值。其中函數(shù)變量的

選取尤為重要，不同的解析式有不同的求最值的方法

策略一由弦長公式求PQL由點(diǎn)到直線距離公式求d,由S=；|PQHZ得解析式，

換元法轉(zhuǎn)化為用基本不等式求最值和/的方程

策略二由SPOQ=SAOQ-SAOP得函數(shù)解折式再進(jìn)一步求解

策略三利用坐標(biāo)法求解析式再進(jìn)一步求解：

⑴解：設(shè)F(c,0),由條件知，一=」-,得c=JJ.又

c3

￡=且,；.&=2,戶=/一/=1,故E的方程為—+/=1.

a24

(2)【解法一】當(dāng)LJ_x軸時，不合題意，故設(shè)L將y=kx-2代人橢圓方程，整理得

(4攵2+1卜2一［6近+12=0.

則4=(16%)2-48(4f+1)=16(4公_3)當(dāng)△>(),即^>|時由弦長公式得

_______________________________---

IPQ|—|x1—x,|=Jl++%)~-—\ji+k~-----7----

2

又由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)。到直線I的距離d=.

ViTF

八八八”如c八…,1L7T4,4k2—324y14k2-3

二AOPQ的面積S=一|PQ\xd--\\+k-----；-------1------------------------

224k2+14A2+1

貝ij4k2=t2+3且f>0,

當(dāng)/=；,即t=2時，_OPQ的面積最大.此時*—3=2,解得k=±*

故所求直線I的方程為y=^-x-2或y=-^-x-2.AQ_L

22

工474o得（4公+1卜2—16日+12=0,玉+々=原12

由＜

4公+1'內(nèi)々-41+1

sPQQ=s八。2-王|=J（N+工2）_一4%々=3

N十1

則4k2=t2+3且t＞0,

當(dāng)t=~,即，=2時，—。尸。的面積最大.此時*—3=2,解得kd

t，

故所求直線/的方程為y=gx—2或y^-^x-2.

【解法二】

設(shè)直線/:丁=丘一2交橢圓E于R%,y）,Q（%，必）。且P在線段AQ上。

由〈、辰3'得（4%2+1%2-16入+12=0,%+看=,中）二——

x2+4y2-4=0'）?24尸+1?-4公+1

3

由△＞（）得k\0,~.

4

則SPQQ=S-S=1X2|X-X|=加|+%2）2-4中2=—青].同【解法

ADQAOP2I

一】得所求直線I的方程為y=-x-2或y=--x-2.

22

【解法三】

y=—2

設(shè)I的方程為y=kx-2,與橢圓方程聯(lián)立得—2'

x+4y=4,

消去y整理得（4公+1卜2一]6自+12=0.

貝I]X]+/=4女2],西工2=4攵21,且由△＞（）,得

設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（5,y）,（9,必），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0），用坐標(biāo)法求

..OPQ

x\y1

的面積s可表示為s=—9%1.

2o01

glx%-|=（［王（3-2）一%（例-2）］=%一x|

即S2

4左2+1

同【解法一】得所求直線I的方程為y=-x-2或y=--x-2.

22

22

例2已知橢圓的方程為、+十=1,月，鳥分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，線段PQ是橢圓上

過點(diǎn)F2的弦，則./片。內(nèi)切圓面積的最大值為.

【解題策略】

求三角形內(nèi)切圓面積的最大值即求內(nèi)切圓半徑的最大值。問題就集中到對三角形的研究，

三角形的一條邊是過橢圓右焦點(diǎn)的一條弦，就涉及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，勢必設(shè)出PQ

所在直線方程，再深入求解，三角形面積可用其內(nèi)接圓半徑r來表示，也可以用

5閨用瓦一%|求出

策略一設(shè)直線方程的“點(diǎn)斜式”別忘了對斜率不存在時的討論。求.P￡Q面積關(guān)于k的

表達(dá)式可用S=|PQ|d（其中d為Fl到直線PQ的距離），而面積的又一表示形式為

S=L（三角形周長）xr（r為內(nèi)切圓半徑）題中各元素的關(guān)系就理順了

2

策略二由于《（1,0）,可設(shè)直線方程為了=/政+1如此可以避免對斜率存在與否的討論，

求,P"Q面積關(guān)于m的表達(dá)式可用5=；忻圖|y％]，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求最大值

【解法二】

如圖19—1所示，設(shè)PF{Q的內(nèi)切圓的半徑為r,則SPFiQ=”|+以|+

|PQ|）"=4r

S1

:.r=^-.當(dāng)直線$PQ$的斜率不存在時，易得|P。|=3,此時SPM].

\F}F2\-\PQ\=3,:.r=^;當(dāng)直線PQ的斜率為k時，直線PQ的方程為y=k（x-l）.

22

將y=Z（x—1）代人y+^-=l,并整理得：（4公+3）/一8A2%+4公—12=0.設(shè)

?~8k24左2—12

。（內(nèi)，乂），。（工2，%），則%+“2=4心2；，中2=4心2;.

^TK十J^TK十D

圖19-1

=ji+%2.ja-x2)~=ji+女，,Ja+*2)2—4中2

弘2丫蟲2i212(公+1)

=J1+左2?

ZFTir軟2+34公+3

2|%|

點(diǎn)F到直線$PQ$的距離d=

ty]k2+1

2\2

則S^=^\PQ\-d=n\k\yJk+\(S

PF,則PFQ

4k2+312)(4攵2+37

k2(k2+1)

-————^-r，設(shè)”=X+i,u=r

[3儼+1)+左2]

UV_1且〃_公+1

(3〃+v)2-9義y+上+6,「k2

Vu

設(shè)《…，設(shè)即生+*,則a）=9/

uV

當(dāng)，>1時，r(0>0,/.9—+-+6>/(1)=16

Vu1

/o、2

1°c3

則

I12J<百二^APF,Q<3,，r<-

3

綜上，當(dāng)直線PQ垂直于x軸時，AP耳。的內(nèi)切圓半徑/"取得最大值i，

9

■,?片。的內(nèi)切圓面積的最大值為7乃.

16

評注:上述解法中若用焦半徑公式求IPQI則可以減少運(yùn)算，有

|PQ^ia-ex^+ia—exA-la—eix,+%,）=4---—^——=—+—=1,

V"、27V124公+34/+33

并整理得（3m2+4）/+6噂，—9=0,

設(shè)P（&y）,。（赴,%）,則%+必=y％=一5^7^,

；?SA曄=g|6閭I*-%I=J（M+y2）2-4y%12』府+112

3m2+421

3y]m+\H—/

\m2+1

—----------，令t=ylm24-1..1.

3，川+1|丁1—

\Jm2+1

設(shè)/⑺=3，+；則廣⑺=3->

則當(dāng)，>1時,r⑺>o,

yjm2+lG[1+OO）,.-.36n。+1+-F^=.J（l）=4（當(dāng)m=0時等號成立）,

yjnr+1

?,■S&PFiQ的最大值為3.

S33

此時r="產(chǎn)=7,即r的最大值為：.

444

9

，的內(nèi)切圓面積的最大值為；7乃.

16

例3、(3017年高考數(shù)學(xué)浙江卷第21題)如圖19-2所示，已知拋物線/=y，點(diǎn)

4W、嗚'*拋物線上的點(diǎn)p?y)(—］過點(diǎn)，作直線”的垂線，垂足

為。.

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求1PAiIPQI的最大值.

解題策略本例兩問以直線與拋物線的位置關(guān)系為載體，考查范圍與最值的求解，可以有多種解

法，特別是第(2)問，更是妙思巧解迭出.

第⑴問

策略一

利用直線的斜率公式及X的取值范圍求解

根據(jù)圖形分析，抓住極端位置，利用導(dǎo)數(shù)確定拋物線在點(diǎn)A處

策略二

切線斜率及直線A6的斜率，從而確定開區(qū)間上斜率的范圍

策略三

轉(zhuǎn)化為直線AP與拋物線在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，由一元二次方程在內(nèi)有交點(diǎn)運(yùn)用

方程理論求解

第⑵問

策略一

先聯(lián)立直線AP與3Q的方程，得出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，并表示出|B4|、|PQ|,然后構(gòu)造函數(shù)求

IE4IPQI的最大值

策略二

由弦長公式求IAPI,利用勾股定理求|AQ|,而IPQHAQIIAPI,從而得|PA||PQI解析式，

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最大值

策略三

運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求IAP||PQ|.再進(jìn)一步求解

策略四

利用AP,AQ共線，6Q,AQ垂直得方程組求氣,進(jìn)一步求${|PQ|}$,而|AP|易求，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)

法求解

策略五

運(yùn)用向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)或四元均值不等式或配方法求解

束:蠟八

運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解

策略七

使用極化恒等式，構(gòu)造以中點(diǎn)M為圓心的圓與拋物線相切求解

策略八

構(gòu)造以A8為直徑的圓，利用相交弦定理求解

策略九

利用直線AP的參數(shù)方程的幾何意義求解

策略十

直接運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合均值不等式求解

人---11O

(1)解法一設(shè)直線AP的斜率為k,k=一小=

x+—

2

直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).

解法二由題意可知，直線AP的斜率介于拋物線在點(diǎn)A處切線斜率與直線AB的斜率之

間.由于y=V的導(dǎo)函數(shù)y=2x,y|x=_i=-1,

即拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為-1,又直線AB的斜率為1.

故直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).

解法三設(shè)直線AP的斜率為k,則直線AP的方程為了一；=女［》+；］

一/

1=n

y—Kx4—2k.+1

由.4I2人得關(guān)于x的一元二次方程為/一日------=0.

,4

由題意可知，上述方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

A=(-A:)2-4xlxf-^lj>0

1-k3

---<------<一解得一1＜攵＜1.

22x12

2A+1

>0

4

故直線AP斜率的取值范圍是(-1.1).

,1,1八

kx-y+—k+—=Q,

-24

⑵解法一聯(lián)立直線AP與BQ的方程

93

x+ky——k——=0.

-42

-k2+4G+3

解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是q="-

|E4|=Jl+12(x+；僅一女+

=ViT淳(%+1),IPQ1=ViT尸(q_x)=_1)(1/

VF+1

■.\PA\\PQ\=-(k-l)(k+\)3.

令f(k)=Tk-W+1)3vf'{k)=-(4k-2)(女+1)2

???/(幻在區(qū)間(一1,；)上單調(diào)遞增，(g,1]上單調(diào)遞減.

127

因此，當(dāng)％=q時，1PAiIPQI取得最大值”.

216

解法二設(shè)A(x”yJ、0(馬,%)，設(shè)直線AP：y=Z(x+g]+；，聯(lián)立拋物線方

[xt+x2=k

程f=y得W一日一左一=0,由韋達(dá)定理得]1，

24x,Xj=-k—

I1-24

AP\=J1+P宙_/I=(左+1)J1+L

|AQI=J|A8|2_|%]=等12,

“2+]

??.IPAIIPQ\=\PA\(\AQ\-\AP\)

2

=(k+1)71+A:12，+D-(k+1)J1+1=(1-巧(1+%)2

令/(&)=(1-&2/1+&)2=一伙一[)伏+1)3,以下同解法一

解法三設(shè)A(X|，x)、。(馬，%)、。(工3，%)?

設(shè)直線AP:y=Z(x+g]+：,聯(lián)立拋物線方程爐=y得f_履_；%_；=o

Xj+%2=k,x、———,X-,=k+3

y=^+―,^2+^+—I

274I24j

222

?'.IAP|=y/(x,-x2)+(y,-y2)=(女+l)y/l+k

??,點(diǎn)Q坐標(biāo)為左(x,+；)+(),H.AQ-BQ=O,

_-k2+4k+3_9k2+Sk+l

T=不可,.』=4儼+1)，

?'-IPQ\=#3一/)2+(%-%『

??.|PA|-|PQ|=(1—二)(1+62.

令/（X）=（l—公/1+左）2=_（左_1）伏+］）3,以下同解法一

解法四：設(shè)尸）（_（</<,）,Q（七，%）

???AP與A。共線,

-4/+20/+3

由此,求得點(diǎn)。橫坐標(biāo)為七=

2(4/一4f+5)

16

記g("二5(-16〃+24/2+⑹+3),則短⑺=(1—。(2,+1)2

27

?1?當(dāng)?=1時取得最大值.此時g?)max=—

16

解法五：|PA||PQ|=-PAPQ=—PA(P3+5。),PABQ=O

”川及?麻麗=1+黑7卜卜-提-4卜+班刊

令y(x)=(x+g)[|—q(-：<%<(此函數(shù)求最大值的方法有多種).

(1V

方法1:7'(%)=4x+—(1-x),

k2)

.??當(dāng)一；<X<1時，0,f(x)單調(diào)遞增；

3

當(dāng)1<X<2時，r(x)vO,/(x)單調(diào)遞減.

27

當(dāng)尤=1時，/(%)取得最大值，且"(磯陋=/⑴=/.

16

27

??.|PA||PQ|的最大值為7T.

(1Yf3

方法2:7(x)=x+---x

<2JV2

27

「(四元均值不等式).

316

19

當(dāng)且僅當(dāng)一+x=-—3x,即％=1時取等號,

22

27

?.IPAII尸。|的最大值為7.

16

(l?f3、

方法3:/(x)=|x+不--x

\2)\27

=-x4+—x2+x+—=-(x2—l)2-■-(x-1)2+—?27

216v721616

當(dāng)且僅當(dāng)》2-1=0,工一1=0得8=1€取等號.

27

.?■IPAIIPQ|的最大值為二.

16

解法六:???IPQI是所在PQ上的投影，

PA||PQ|=-PA-PQ=-PA-PB設(shè))(一g<.<!).

則9/8=。+,,/2」]0_3戶_2]=/4_3/2__2_

(24A24)216

33

記g。)=「一，一；7,則,(，)=。一1)(2，+1)2,

216

/、27

..?當(dāng)，=1時,^(0^=-—,

16

27

??.|PA||PQ|的最大值為二.

16

解法七：IPQI是在PQ上的投影,??.|PA||PQ|=-PA?PQ=-PAP3

.2-2

取AB中點(diǎn)/，則由極化恒等式可得PA-P5=PM-BM.

???|8"|是定值，」.要求PA最小值，只要求的最小值.

以M為圓心作圓使得圓和拋物線相切，此時|PM|最小.

(1V(5丫

設(shè)圓M:x——+y——=a(a>0),

I2jV4；

(iA2(5、2

與拋物線方程V=y聯(lián)立得x——+%2--=a(a>0)

II4；

設(shè)2(馬,%)，則拋物線在點(diǎn)P處的斜率為左2=(/)'［、=2%.

25

%2---

,?k2kMp=-1,?:=-1,得/二］

*2-二

-2

.2-22727

??.可得尸（1,1）,m\PA\\PQ\=PM—即|B4||PQ|的最大值為.

16t716T

解法八：由題意易得點(diǎn)。在以A