2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)16　函數(shù)的單調(diào)性

課時(shí)分層作業(yè)(十六)函數(shù)的單調(diào)性

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'選擇題

1.(2021.浙江學(xué)軍中學(xué)模擬涵數(shù)>=於)的導(dǎo)函數(shù)尸了⑴的圖象如圖所示,

則函數(shù)y=Ax)的圖象可能是()

D[利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證.，(x)>0的解集對(duì)應(yīng)y=/(x)的增區(qū)

間，f(x)<0的解集對(duì)應(yīng))，=/(x)的減區(qū)間，驗(yàn)證只有D選項(xiàng)符合.]

InY

2.已知兀6=牛，則()

A..穴2)》修)次3)B..43)>/(e)次2)

C.穴3)/2)/e)D.7(e)/3)/2)

D[*x)的定義域是(0,+°°),

1—Inx人

/(x)=-p—，令/(x)=0，傍x=e.

所以當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/'(x)X),/U)單調(diào)遞增，當(dāng)xG(e,+8)時(shí)，f(x)<0,

;(x)單倜遞減，故當(dāng)x=e時(shí),7U)max=Ae)=[,而人2)=；-=7~,<3)=亍=%-,

所以人e)次3)次2)，故選D.]

3.下列函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.7(x)=sin2xB.fix)=xex

C.於)=爐一xD.f(x)=-x+\nx

兀兀

B[對(duì)于A,&x)=sin2%的單調(diào)遞增區(qū)間是桁一不也十^(Z^Z);對(duì)于B,

f(x)=er(x+l),當(dāng)x€(o,+8)時(shí)，f(x)>0,所以函數(shù)式x)=xe》在(0,+°0)

上為增函數(shù)；對(duì)于C,f(x)=3x2—1,令，(x)>0,得x>坐或光<一乎，所以函數(shù)

上單調(diào)遞增；對(duì)于：

f(x)=x3-x在_8D,7'(x)=—l+=

x-1

—:~,令/(x)>0,得04<1,所以函數(shù)兀0=—x+lnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞

增.綜上所述，應(yīng)選B.]

4.若函數(shù)兀0=29—3機(jī)f+6x在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.(-8,2]D.(一8,2)

C[Ax)=69—6mx+6,由已知條件知xG(l,+8)時(shí),/(x)20恒成立.設(shè)

g(x)=6J?—6mx+6,則g(x)20在(1,+8)上恒成立.

即加在(1,+8)上恒成立，

X

設(shè)/?(x)=x+L則％(x)在(1,+8)上是增函數(shù)，

：.h(x)>2,從而〃?W2,故選C.]

5.(2021?廣東韶關(guān)一模)已知函數(shù)段)=lnC+1)—%,若。=/(log41),b

=/(log56),c=/(log64),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.b>a>cB.a>b>c

C.c>b>aD.c>a>b

B[因?yàn)?x)=ln(e"+1)—定義域?yàn)镽,所以次一x)=ln化-'+l)+；x=

1iA'11

in?+i)—x+/=ine+i)—>=於)，所以為偶函數(shù)./⑴75ei_「=/一

目1，當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xVO時(shí)，/'(x)V0,函數(shù)單調(diào)

遞減.

又a=/(log"J=Alog45),0=/(k)g56),c=/(log64),且由基本不等式知1g4?]g

6<(一"陰

所以..6啕-蹺嗎淺皿>。,

2

所以log45>log56>1>log64>0,則a>Z?>c.故選B.]

6.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)兀r)滿足OV〃x)</W，對(duì)。W(1,+°°),則

下列不等關(guān)系均成立的是()

A./U)>e7⑷，X?)>e7d)

Bg)>e7⑷，加)Ve%l)

C-DVe飲a),仙),eT⑴

D./U)<e"*a),犬a(chǎn))Ve7U)

D[設(shè)函數(shù)g(x)=?r)?ev,

則g'(x)=/(x)c'+#x>eX>0,

即g(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閍￡(l,4-0o),

則e%a)>eTU)>/U)，令〃。)=一—，

f(x)—f(x)

則h\x)=--------T-----V0,〃a)在R上單調(diào)遞減，則式a)Ve"T/U)Ve"U),

即加)〈巧⑴.]

二'填空題

7.已知函數(shù)4x)=f—5x+21nx,則函數(shù)y(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

(0,3和(2,+8)[由題可得，f㈤=2x-5+：=2'二：+2(工>0).

2f—5x+2(2x—1)(x—2)1

令―(幻=---------=------------------>0(x>0),解得x>2或OVxV,

綜上所述，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,(J和Q,+°°).]

8.若函數(shù)兀v)=lnx—；加一2》存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

11—cix^—2x

(-1,+8)|/(x)=—ar-2=——-―由題意知f(x)VO有實(shí)數(shù)解，

Vx>0,

.\0?4-2^-1>0有實(shí)數(shù)解.

當(dāng)a20時(shí)，顯然滿足；

當(dāng)aVO時(shí)，只需/=4+4a>0,

3

二?—1VqVO.

綜上知4>-11

9.定義在（0,+8）上的函數(shù)人工）滿足力'（尤）+1>0,11）=4,則不等式式犬）

>7+3的解集為.

(1,+8)[由力’(x)+l>0得/(x)+E>0,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/U)-；-3,則8?0=/(》)+5>0,

即g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

又犬1)=4,則g(l)=/U)—l—3=0,

從而g(x)>0的解集為(1,+°0),

即/(x)>:+3的解集為(1，+°°).]

三'解答題

10.函數(shù)?r)=a2+tu+與葭，，若加)在點(diǎn)(0,10))處的切線方程為6%一》一

5=0.

⑴求a,b的值;

(2)求函數(shù)_Ax)的單調(diào)區(qū)間.

[解](1*(x)=(2x+a)ef-(f+以+/?>屋工

=[—x2+(2—a)x+a—Z7]ex>

：.fQ)=a—b,

又火0)=6,

.7/U)在(0,7(O))處的切線方程為y-b=(a-b)x,

即(a—b)x—y+0=0,

ci-b=6,a=l,

解得1

：.\b=—5,[/?=—5.

(2)VXx)=(x2+x-5)e-\xGR,

".f'(x)=(—x24-x+6)e-x

=-(x+2)(x-3)e"\

當(dāng)x<-2或x>3時(shí)，f(x)<0;

當(dāng)一2<x<3時(shí)，f'(x)>0,

4

故犬X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一2,3),

單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,—2),(3,+°°).

11.(2021,全國(guó)乙卷)已知函數(shù)次處二%3—f+ac+l.

(1)討論_/U)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］(1)由題意知/U)的定義域?yàn)镽,/'(x)=3/—2x+a,對(duì)于/(x)=0,2

=(-2)2-4X3a=4(l-3n).

①當(dāng)“2；時(shí)，/(x)20,人處在R上單調(diào)遞增；

j1—\11—31fl

②當(dāng)aVg時(shí)，令/(x)=0,即3f—2x+a=0,解得x\=3，及=

1+N1-3a

3，

令/(X)>O，則X<X\或X>X2\

令/(X)VO,則Xl〈xV%2.

所以y(x)在(-8,X1)上單調(diào)遞增，在(無1，X2)上單調(diào)遞減，在(X2，+8)上單

調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí),7U)在R上單調(diào)遞增：當(dāng)aV：時(shí),/U)在(一8,

上單調(diào)遞增，在(匕當(dāng)三，上曾三可上單調(diào)遞減，在仔野三，+8)上

單調(diào)遞增.

⑵記曲線y=?r)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為/,切點(diǎn)為尸(沏，/+。M)+1)，

因?yàn)椤?M))=3/一2x()+a,所以切線I的方程為y—(XQ—/+〃x()+1)=(3/一

2%O+Q)(X—尤0).

由/過坐標(biāo)原點(diǎn)，得2焉一/一1=0,解得犬o=l,所以切線/的方程為y=(l

+a)x.

令x3—f+ox+lna+q)%,則%3—X2—x+l=0,解得x=±l.

所以曲線y=?r)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1+

〃)和(一1,

［6組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

5

1.已知函數(shù)_/U)=(f—2x)e\若方程式x)=a有3個(gè)不同的實(shí)根xi，也，無3(即

〈龍2Vx3),則士的取值范圍是()

兒2乙

B.40

0，

D.(0,啦寸)

A[由.*x)=(x2—2x)e*得f(x)=(x2—2)e”,

所以/(X)在(一8,一也)，(6，+8)上單調(diào)遞增，在(一啦，近)上單調(diào)遞

減，作出/(X)的圖象，如圖.

結(jié)合於)的圖象可得一/<X2<0,又丁。2=[1)；=X2"2，

設(shè)g(x)=xeX(一6VxVO),則g'(x)=(x+l)e*,

所以g(x)在(一色，一1)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

由g(—l)=T，g(-M=—/-正g(0)=0,

的取值范圍是一二

可得一0.故選A.]

X2—2

2.(2021?濟(jì)南模擬)已知OVa,且3。-25皿夕=9/'-0!,則()

A.a</32B.a>/32

C.a>2BD.a<2§

D[設(shè).*x)=x-sinx,

則f(x)=1—cosx>0,上單調(diào)遞增,

所以?<)>40)=0,故龍〉sinx,

因?yàn)?a-2sin^=9/f-a,

所以3a+a=2sin4+小=2sin。+科<2。+科,

6

令g(x)=3*+x,所以g(a)Vg(2/0，

顯然g(x)單調(diào)遞增，所以aV2K故選D.］

h

3.已知尤=1是y(x)=2x+F+lnx的一個(gè)極值點(diǎn).

⑴求函數(shù)/U)的單調(diào)遞減區(qū)間；

2I

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/U)——,若函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

［解］(l)*x)=2x+§+lnx,定義域?yàn)?0，4-°°).

b,1/?

(x)=2-^+-=

b

因?yàn)閤=l是/(x)=2x+(+lnx的一個(gè)極值點(diǎn),

所以1(1)=0,即2—8+1=0.

解得。=3,經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以。=3.

..3.12X2-\-X~3

所以/(%)=2-^+~=---?----

令/(x)<0,又無e(0,+8),得。令<1

所以函數(shù)/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)g(x)=fix)-^-^=2x+Inx-，(x>0),

g'a)=2+:+￡(x>0).

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以g〈x)20在口，2］上恒成立，

即2+(+320在［1,2］上恒成立，

所以“2—2A2—x在［1,2］上恒成立，

所以。2(—2X2—X)max，x￡［l,2］.

因?yàn)樵冢?,2］上，(一2/一X)max=-3,所以。2—3.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-3,+8).

［C組在創(chuàng)新中考查理性思維］

7

1.(2021?上海松江二模)已知函數(shù)段)=(十|2x—a|,若存在相異的實(shí)數(shù)內(nèi),

尤2G(—8,0),使得兀T|)=/(X2)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

B.(―8,一6)

D.(&,+8)

[2x+~~a9

1x2

B[函數(shù)於)=;+|2%一〃|=1

lx2

①當(dāng)a=0,xVO時(shí)，危)=:—2x,/'(%)=—?-2V0,?x)在(一8,0)上單

調(diào)遞減，不成立，舍去；

②當(dāng)a>0,xVO時(shí)，兀r)=；—2x+a,f(x)=-4-2<0,7(x)在(一8,Q)

上單調(diào)遞減，不成立，舍去；

[2x+~—a,gWxVO,

x2

③當(dāng)aVO,xVO時(shí)，fix)=<1

IcI/

一一2x十a(chǎn),xV不，

lx2

當(dāng)時(shí)，fa)=一最一2V0,#x)在(一8,爭(zhēng)上單調(diào)遞減；

?歷

當(dāng)/WxVO時(shí)，f(x)=2—蘆，由/(x)=0,可得x=一乎，

若。2一啦，即一乎，不￡2,0時(shí)，/'(x)WO恒成立，人元)單調(diào)遞減，

不成立，舍去；

若“V一啦，即扛一坐當(dāng)xe看一書時(shí)加)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(一乎，o)

時(shí)，危)單調(diào)遞減.則對(duì)于任意M)G修一書，敘)>/圖滿足題意.

綜上，存在相異的實(shí)數(shù)汨，及6(—8，0),使得兀⑴可及)成立，此時(shí)aV

一夜，故選B.]

2.如果力⑴是定義在區(qū)間。上的函數(shù)，且同時(shí)滿足：①"(x)〃(x)>0；②1(x)

與的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)〃(x)在區(qū)間。上是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”.已知函數(shù)_/U)

8

-y-x—1,g(x)=1—y—cosx.

(1)判斷函數(shù)/U)與g(x)在(0,+8)上是否是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”，并說明理由;

4sinx

(2)求證：當(dāng)x〉0時(shí)，e^+cos2>'7T-----

3+cosx

［解］(l?(x)=e*—x—1,令〃?)=&'-x—1,則加(x)=e"一1,

Vx>0,：.m'(x)>0,(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又了(0)=0,...當(dāng)x〉0時(shí)，f'(x)>0,7U)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又